第4章 稳定性分析

现代控制理论

——第4章系统稳定性分析邓晓刚dengxiaogang@中国石油大学（华东）信息与控制工程学院自动化系ModernControlTheory:Chapter-4稳定性是自动控制系统最重要的特性系统的稳定性：外界干扰作用下偏离平衡状态，扰动消失后系统自身恢复到原先平衡状态的一种“顽性”线性定常系统的稳定性的判定只取决于系统的结构和参数，稳定的条件是特征方程的根都具有负实部(在左半根平面)劳斯判据、乃奎斯特判据非线性系统的稳定性的判定同时与初始条件和外部扰动的大小有关，无法使用线性定常系统的稳定性判据如何判断稳定性？

李雅普诺夫（Lyapunov)方法（适用于线性、非线性系统）§4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义经典控制理论中没有给出关于稳定性的一般定义，俄国数学家Lyapunov给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的，线性定常系统由于只有唯一的一个平衡状态，所以才笼统地讲所谓的系统稳定性问题，对于非线性系统则由于可能存在多个平衡状态，不同的平衡状态可能表现不同的稳定性，必须逐个分别加以讨论。一、系统状态的运动及平衡状态平衡状态：状态空间中满足的一个状态。即平衡状态的各分量相对时间不再发生变化。自治系统：系统的齐次状态方程为状态轨线：系统的齐次状态方程由初始状态x0引起的状态运动轨迹，称为系统的运动或状态轨线对于任意系统，不一定存在平衡状态，即使存在也不唯一二、李雅普诺夫稳定性定义状态空间中x0点至xe点之间的距离为：邻域：点集S(e)表示以xe为中心，以e为半径的超球体，x∈S(e)表示为||x-xe||≤e，当e很小时，则称S(e)为xe的邻域有界自由响应：若状态方程的解F(t;x0,t0)位于球域S(e)内，便有

||F(t;x0,t0)-xe||≤e，t≥t0，表明状态方程由初始状态引起的自由响应是有界的Lyapunov根据自由响应是否有界给出四种稳定性定义：欧几里德范数1.李雅普诺夫意义下稳定对于任意小的实数e>0，均存在另一实数d(e,t0)>0

，当初始状态满足||x0-xe||≤d(e,t0)时，系统从x0出发运动轨迹满足||F(t;x0,t0)-xe||≤e，t≥t0

，则称该平衡状态xe

是李雅普诺夫意义下稳定的，简称xe是稳定的。如果齐次状态方程有平衡状态xe⑴李亚普诺夫意义下一致稳定通常时变系统的

与t0有关，时不变系统的

与t0无关。只要

与t0无关，这种平衡状态称为一致稳定的。⑵时不变系统的稳定属性时不变系统李亚普诺夫意义下的稳定和一致稳定必为等价。⑶李亚普诺夫意义下稳定的实质上是工程意义下的临界稳定。2、渐近稳定性如果平衡状态xe是稳定的，而且当时间t趋于无穷大时，轨线不仅不超出S(e)，而且最终收敛于xe，则称这种平衡状态xe渐近稳定渐近稳定是一个局部概念，只确定某个平衡状态的渐近稳定性并不意味着整个系统可以正常运行渐近稳定性是工程意义下的稳定性尽可能扩大渐近稳定的区域是重要的。

3、大范围渐近稳定如果平衡状态xe是稳定的，而且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性，则称这种平衡状态xe大范围渐近稳定大范围渐近稳定的必要条件是状态空间中只有一个平衡状态。对于线性系统而言，如果平衡状态时渐近稳定的，必然是大范围渐近稳定的非线性系统中，平衡状态一般只具有小范围渐近稳定⑴一致渐近稳定⑵时不变系统的渐近稳定属性渐近稳定

一致渐近稳定⑶小范围和大范围渐近稳定⑷大范围渐近稳定的必要条件：xe唯一⑸线性系统的渐近稳定属性渐近稳定

大范围渐近稳定⑹渐近稳定的工程含义渐近稳定＝工程意义下稳定4、不稳定如果对于某个实数e>0和任一实数d>0，不管d

这个实数多么小，从S(d)内出发的轨线，至少有一个轨线越过S(e

)，则称这种平衡状态不稳定

稳定性的概念分析不管初始偏差有多大，系统总是稳定的，则称系统是大范围稳定的。不管初始偏差有多大，系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是小范围稳定的。对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定§4.2李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法（间接法）,其思想是利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。线性定常系统：求解特征方程的根非线性系统：线性化处理，求解特征方程一、线性定常系统的稳定判据线性定常系统平衡状态xe=0渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部特征值均具有负实部以上指的是状态稳定性(内部稳定性)，工程中往往更注意输出稳定性(外部稳定性)输出稳定性：有界输入u引起的输出y是有界的充要条件：传函的极点全部位于左半s平面。无零极点对消时，内部稳定性与外部稳定性一致[例]分析系统的状态稳定性和输出稳定性解：求解特征方程特征值为系统的状态不是渐进稳定的求传递函数传递函数的极点位于左半S平面，因此系统输出稳定二、非线性系统的稳定性设将f(x)在平衡点xe邻域内展开为泰勒级数，得xe为孤立平衡点。雅可比矩阵为高阶导数项若令Dx=x-xe，并取一次近似式，可得系统的线性化方程为李雅普诺夫稳定性结论：①如果A阵的所有特征值都具有负实部,则平衡状态渐近稳定，②如果A阵的特征值至少一个为正实部，则不稳定；③如A阵的特征值至少一个实部为0，则的稳定性由高阶导数项R(x)来决定。

试分析其平衡状态的稳定性。例

已知非线性系统状态方程解：令可以求出平衡状态，系统有两个平衡点xe1=[0,0]T;xe2=[1,1]T在xe1=[0,0]T处将其线性化有其中雅可比矩阵A为其特征值为：l1=1，l2=-1，可判原非线性系统在xe1不稳定在xe2=[1,1]T处将其线性化有雅可比矩阵为其特征值为：l1=j，l2=-j，实部为零，不能应用线性化方法判断原非线性系统在xe2的稳定性。§4.3李雅普诺夫第二法基本思路：从能量观点进行稳定性分析：1)如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，则这个平衡状态是渐近稳定的；

2)反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，则这个平衡状态是不稳定的；

3)如果系统的储能既不增加，也不消耗，则这个平衡状态就是Lyapunov意义下的稳定。

由于实际系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系;

于是Lyapunov定义了一个正定的标量函数V(x)，作为虚构的广义能量函数，用其一阶微分的符号特征来判断系统的稳定性。一、预备知识1.标量函数的符号性质由n维向量x定义标量函数V(x),且V(x)一阶导数存在，V(0)=0，如果x≠0

时若V(x)>0则称V(x)是正定的若V(x)<0则称V(x)是负定的若V(x)≥0则称V(x)是半正定的若V(x)≤0则称V(x)是半负定的若V(x)<0或V(x)>0则称V(x)是不定的分析举例，判断下列函数是否为正定的？

正定的 半正定的 负定的 半负定的 不定的2.二次型标量函数设x=[

x1,x2,

···,xn]T，则实二次型标量函数记为：V(x)=V(x1,x2,

···,xn)=xTPx

其中，P称为二次型的矩阵(实对称矩阵)

二次型函数在李雅普诺夫稳定性判断中有重要意义。二次型标量函数V(x1,x2,

···,xn)=xTPx，式中P为实对称矩阵①如果x

0,若xTPx>0,则称二次型函数V(x)为正定的，同时称P为正定矩阵，记为P>0。②如果x

0,若xTPx≥0，则称二次型函数V(x)为半正定的，称P为半正定矩阵，记为P≥0。③如果x

0,若xTPx<0,则称二次型函数V(x)为负定的，称P为负定矩阵，记为P<0。④如果x

0,若xTPx≤0,则称二次型函数V(x)为半负定的，称P为半负定矩阵，记为P≤0。⑤若V既不是半正定又不是半负定，则称P为不定的。3.希尔维斯特(Sylvester)判据(P的定号判别准则)

i(i=1,2,…,n)为其各阶主子行列式：V(x1,x2,

···,xn)=xTPx的符号判断取决于P的符号矩阵P定号的充要条件是：(1)若

i>0(i=1,2,…,n)，则P为正定的。(2)若

i，则P为负定的。>0i为偶数<0i为奇数(3)若

i，则P为半正定的。

0i=(1,2,…,n-1)=0i=n(4)若

i，则P为半负定的。0i为偶数

0i为奇数=0i=n二、稳定性判据设系统的状态方程为xe=0为系统平衡状态，满足f(xe)=0，若可构造标量函数V(x)满足：①标量函数V(x)对x具有连续一阶偏导数②

V(x)

是正定的，即V(0)=0，且对状态空间中所有非零状态x满足V(x)>0

③V(x)沿状态轨迹方向计算的时间导数V(x)=dV(x)/dt．系统稳定性可做如下判断：

为半负定的，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下稳定——稳定判据；为负定的；或者为半负定，但对任意初始状态x(t0)≠0，

对x≠0，不恒为零，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下渐近稳定的.如果进一步还有||x||→∞时，V(x)→∞，那么平衡状态xe为大范围渐近稳定的——渐近稳定判据；为正定的，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下不稳定——不稳定判据。[例]设系统状态方程为试确定该系统平衡状态的稳定性。解：由平衡状态方程得解得唯一的平衡状态为x1=0,x2=0,

即xe=0,

为坐标原点。为一负定的标量函数，平衡状态（0,0）渐近稳定。并且||x||→∞，有V(x)→∞，系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。选取一正定的标量函数其一阶导数为[例]设系统状态方程为x1=0,x2=0为系统唯一的平衡状态，试确定该系统平衡状态的稳定性。解：选取一正定的标量函数≤0半负定必定满足李雅普诺夫意义下稳定，是否是渐进稳定呢？且‖x‖→∞，有V(x)→∞。系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。结合①和状态方程

x10

即原点，排除！矛盾！结合②和状态方程

对于x≠0,是否恒为0？可能性①：x20，

x1任意可能性②：x2

-1，

x1任意即对x≠0,

不恒为0关于李雅普诺夫函数的说明：(1)普适性。该判据适用线性和非线性、时变和时不变等各类动态系统；(2)Lyapunov函数V(x)不等同于物理意义上的能量，是一个正定标量函数，可视为一个广义能量函数；(3)系统渐