第4章时变电磁场

两边取旋度4.1

波动方程考虑均匀无耗媒质的无源区域麦氏方程为得电场E

的波动方程同理磁场H的波动方程得式中为拉普拉斯算符，在直角坐标系中而波动方程在直角坐标系中可分解为三个标量方程

波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。

电磁波的传播问题归结为在给定边界条件和初始条件下求解波动方程。由麦氏第三方程，可令由麦氏第二方程于是式中A称为动态矢量位，简称矢量位（Wb/m)。称为动态标量位，简称标量位(V)。4.2

电磁场的位函数4.2.1矢量位和标量位

静态场中为问题简化引入了标量位和矢量位。

时变场中也可引入相应的辅助位，使问题的分析简单化。由麦氏第二方程将将矢量恒等式即

已知矢量位A和标量位可求相应的磁场和电场。

矢量位和标量位由源决定。其满足的方程讨论如下。由麦氏第四方程所以

以上二方程称为达朗贝尔方程。

此方程表明矢量位的源是，而标量位的源是。时变场中和是相互联系的。

同理得即

由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。

前面定义A的旋度等于磁感应强度B。为确定矢量位A还需规定其散度。

令（洛仑兹条件)。4.3

电场能量守恒定律

电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律——坡印廷定理；

坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。

一、坡印廷定理由麦氏第一、第二方程得其中取体积分，并应用散度定理得在时变场中总电磁能量密度为于是得单位体积损耗的的焦耳热为于是得坡印廷定理单位时间穿过闭合面S进入体积V的电磁场能量体积V内单位时间电场能量和磁场能量的增加单位时间体积V内变为焦耳热的电磁能量

表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，S的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。

二、坡印廷矢量

定义坡印廷矢量W/m2

例4.3.1

一同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I，内、外导体间的电压为U。求同轴线的传输功率和能流密度矢量。解：分别根据高斯定理和安培环路定律，可以求出同轴线内、外导体间的电场和磁场：上式说明电磁能量沿z轴方向流动，由电源向负载传输。通过同轴线内、外导体间任一横截面的功率为这一结果与电路理论中熟知的结果一致。SSEEH⊙⊕4.4唯一性定理4.5

时谐（正弦）电磁场时谐电磁场：场源与其产生的电磁场随时间呈时谐（正弦或余弦）变化。任意电磁场都可通过傅里叶分析方法展开为不同频率时谐电磁场的叠加。4.5.1

时谐电磁场的复数表示时变电磁场的任一坐标分量随时间作正弦变化时，其振幅和初相也都是空间坐标的函数。以电场强度为例，在直角坐标系中：式中电场强度的各个坐标分量为与电路理论中的处理相似，利用复数或相量来描述正弦电磁场场量，可使数学运算简化：对时间变量t进行降阶(把微积分方程变为代数方程)减元(消去各项的共同时间因子ejωt)。例如，因此，我们也把称为Ex(x,y,z,t)=Exm(x,y,z)cos

［ωt+φx(x,y,z)］的复数形式。给定函数Ex(x,y,z,t)=Exm(x,y,z)cos［ωt+φx(x,y,z)］，有唯一的复数与之对应；反之亦然。由于所以，采用复数表示时，正弦量对时间t的偏导数等价于该正弦量的复数形式乘以jω，即同理，电场强度矢量也可用复数表示为式中

称为电场强度的复振幅矢量或复矢量，它只是空间坐标的函数，与时间t无关。这样我们就把时间t和空间x、y、z的四维(x,y,z,t)矢量函数简化成了空间(x,y,z)的三维函数，即若要得出瞬时值，只要将其复振幅矢量乘以ejωt并取实部，便得到其相应的瞬时值：例4.5.1将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式（1）（2）解：（1）由于（2）因为所以例4.5.2已知电场强度矢量其中和为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。解：电场强度的瞬时矢量为：4.5.2

复矢量的麦克斯韦方程在复数运算中，对复数的微分和积分运算是分别对其实部和虚部进行的，并不改变其实部和虚部的性质，故复数形式的麦克斯韦方程为：以及电流连续性方程的复数形式：4.5.3复电容率和复磁导率在有耗媒质中：导电媒质复电容率电极化损耗电介质复电容率：表征电介质损耗特性的损耗角正切：表征电介质损耗特性的损耗角正切：当时，媒质为绝缘体；当时，媒质为良导体磁化损耗磁介质复电容率：4.5.4亥姆霍兹方程时变电磁场波动方程：时谐（正弦）电磁场波动方程：式中：4.5.5时谐场的位函数时谐场的场矢量与位函数的关系：4.5.6

平均能量密度和平均能流密度矢量利用矢量恒等式可知这个公式表示了作为点函数的功率密度关系。对其两端取体积分，并应用散度定理得这就是用复矢量表示的坡印廷定理，称为复坡印廷定理。设宏观电磁参数σ为实数，磁导率和介电常数为复数，则有式中pav,c、pav,e、pav,m分别是单位体积内的导电损耗功率、极化损耗功率和磁化损耗功率的时间平均值；wav,e和wav,m分别是电场和磁场能量密度的时间平均值。4.5.6

平均坡印廷矢量由坡印廷矢量的定义——坡印廷矢量的瞬时值对正弦电磁场，需讨论该量在一个周期内的平均值——平均坡印廷矢量正弦变化矢量式中为相应的复矢量虚部实部于是故其平均值考查得平均坡印廷矢量例4.5.4

已知无源(ρ=0,J=0)的自由空间中，时变电磁场的电场强度复矢量

式中k、E0为常数。求：