模型42 单、多角平分线模型（教师版）

PAGE1模型介绍模型介绍模型一、角平分线垂两边模型二、角平分线垂中间模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形模型四、利用角平分线作对称模型五、内外模型例题精讲例题精讲考点一：角平分线垂两边模型【例1】．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是30．解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝4，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，＝AB•DE+BC•CD，＝×6×4+×9×4，＝30．故答案为：30．变式训练【变式1-1】．如图，已知：∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：（1）AM平分∠DAB；（2）AD＝AB+CD．（1）证明：过点M作ME⊥AD于E，∵∠B＝∠C＝90°，∴MB⊥AB，MC⊥CD，∵DM平分∠ADC，ME⊥AD，MC⊥CD，∴ME＝MC，∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MB＝ME，又∴MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB．（2）∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C＝∠DEM＝90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中，，∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD＝DE，同理AE＝AB，∵AE+DE＝AD，∴CD+AB＝AD．

【变式1-2】．已知：如图所示，点P为∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP＝180°，求证：OA+OB＝2OC．证明：作PD⊥OB于D．∴∠PDO＝90°．∵P为∠AOB的平分线OP上一点，PC⊥OA∴PC＝PD．∠PCA＝90°．∴∠PCA＝∠PDO．在Rt△PCO和Rt△PDO中，∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），∴OC＝OD．∵∠OBP+∠DBP＝180°，且∠0AP+∠0BP＝180°，∴∠OAP＝∠DBP．在△ACP和△BDP中，，∴△ACP≌△BDP（AAS），∴AC＝BD．∵AO+BO＝AC+CO+BO，∴AO+BO＝BD+BO+CO，∴AO+BO＝DO+CO，∴AO+BO＝2CO，考点二：角平分线垂中间模型【例2】．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为45°．解：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABF＝∠EBF＝∠ABC＝17.5°，又∵AE⊥BD，∴∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣35°﹣50°＝95°，∴∠ADB＝180°﹣95°﹣17.5°＝67.5°，由于BD是△BDE的对称轴，由对称性可知，∠ADB＝∠EDB＝67.5°，∴∠CDE＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，故答案为：45°．变式训练【变式2-1】．如图，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：BD＝2CE．证明：如图，延长CE与BA的延长线相交于点F，∵∠EBF+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°，∴∠EBF＝∠ACF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠EBC＝∠EBF．在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF，∴CF＝2CE，∴BD＝CF＝2CE．【变式2-2】．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延长BE交AC于点F）．证明：如图：延长BE交AC于点F，∵BF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEF．∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（ASA）∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF．∵∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝3∠C，∴∠C+2∠CBF＝3∠C，∴∠CBF＝∠C．∴BF＝CF，∴BE＝BF＝CF．∵CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB，∴BE＝（AC﹣AB）．考点三：角平分线＋平行线构造等腰三角形【例3】．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为6．解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°，∵AN＝1，∴MN＝2，∴AC＝AN+NC＝3，∴BC＝6，故答案为6．变式训练【变式3-1】．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为9．解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN，∴MN＝ME+EN，即MN＝BM+CN．∵BM+CN＝9∴MN＝9，故答案为：9．【变式3-2】．（1）如图△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试说明BE+CF＝EF的理由．（2）如图，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACG，过D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，则BE、CF、EF有怎样的数量关系？并说明你的理由．解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝ED，同理DF＝CF，∴BE+CF＝EF；（2）BE﹣CF＝EF，由（1）知BE＝ED，∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，∴CF＝DF，又∵ED﹣DF＝EF，∴BE﹣CF＝EF．考点四：利用角平分线作对称【例4】．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的角平分线交BC于D．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC取一点E使AB＝AE，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED，∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∵∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，∵∠AED是△EDC的外角，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴BD＝EC，∴AB+BD＝AE+EC＝AC．变式训练【变式4-1】．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC＝AE+CD．证明：在AC上取AF＝AE，连接OF，∵AD平分∠BAC、∴∠EAO＝∠FAO，在△AEO与△AFO中，∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE＝∠AOF；∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC＝∠ACB+∠BAC＝（∠ACB+∠BAC）＝（180°﹣∠B）＝60°则∠AOC＝180°﹣∠ECA﹣∠DAC＝120°；∴∠AOC＝∠DOE＝120°，∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，则∠COF＝60°，∴∠COD＝∠COF，∴在△FOC与△DOC中，，∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC＝FC，∵AC＝AF+FC，∴AC＝AE+CD．【变式4-2】．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，求证：BC＝BD+AD．证明：如图，在BC上截取BE＝BA，延长BD到F使BF＝BC，连接DE、CF．又∵∠1＝∠2，BD是公共边，BE＝BA，∴△ABD≌△EBD∴∠DEB＝∠A＝100°，则得∠DEC＝80°∵AB＝AC，BD平分∠ABC，∴∠ABC＝∠3＝＝40°，∴∠1＝∠2＝＝20°，∠3＝40°∵BC＝BF，∠2＝20°，∴∠F＝∠FCB＝（180°﹣∠2）＝80°则∠F＝∠DEC∴∠4＝80°﹣∠3＝40°，∴∠3＝∠4，∠F＝∠DEC，又∵DC＝DC，∴△DCE≌△DCF（AAS）∴DF＝DE＝AD∴BC＝BF＝BD+DF＝BD+AD【变式4-3】．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，连接DE、DF，∠EDF+∠BAC＝180°．求证：DE＝DF．证明：在AB上截取AG＝AF，连接DG，如图所示：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2，在△ADG与△ADF中，，∴△AGD≌△AFD（SAS）∴∠AGD＝∠AFD，DG＝DF又∵∠AED+∠EDF+∠DFA+∠FAE＝360°，∠EDF+∠BAC＝180°．∴∠AED+∠AFD＝180°，又∠4+∠AGD＝180°，∴∠4＝∠3，∴DE＝DG，∴DE＝DF．1．已知∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，OD是∠AOB的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，则∠DOE＝65°或15°．解：∵∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，且OD，OE分别为∠AOB，∠BOC的角平分线，∴∠BOD＝∠AOB＝40°，∠EOB＝∠BOC＝25°，①当OC在∠AOB内时，如图1，∴∠DOE＝∠DOB﹣∠EOB＝40°﹣25°＝15°．②当OC在∠AOB外时，如图2，∠DOE＝∠DOB+∠EOB＝40°+25°＝65°．综上所述，∠DOE的度数为65°或15°．故答案是：65°或15°．2．（1）如图①在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么点D到AB的距离是2cm（2）如图②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC．解：（1）如图①，作DE⊥AB于E，∵BC＝6cm，BD＝4cm，∴CD＝2cm，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝2cm，即点D到AB的距离是2cm，故答案为：2；（2）证明：如图②，作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∵∠1＝∠2，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD＝PE，同理，PF＝PE，∴PD＝PF，又PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC．3．如图，已知在△ABC中，BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BE、CD相交于点I，且BD+CE＝BC．求∠A的度数．解：在BC上截取BF＝BD，∵BD+CE＝BC，∴CF＝CE，∵BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠1＝∠2，∠ECI＝∠FCI，在△BDI与△BFI中，，∴△BDI≌△BFI（SAS），∴∠BFI＝∠BDI，同理，∠CFI＝∠CEI，∵∠BFI+∠CFI＝180°，∴∠BDI+∠CEI＝180°，∴∠ADI+∠AEI＝180°，∴∠A+∠DIE＝180°，∵∠DIE＝∠BIC＝180°﹣∠2﹣∠ICF＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣∠A，∴∠A＝60°．4．如图，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，DE∥AB，DF∥AC．若BC＝6，则△DEF的周长为6．解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD，∵ED∥AB，∴∠BDE＝∠ABD＝∠EBD，∴BE＝ED．同理可得DF＝FC，∴DE+EF+DF＝BE+EF+FC＝BC＝6．故答案为：6．5．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC＝AB．证明：如图，延长BE交AP于点F，∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CBE，∵∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，∴∠FAE＝∠BAE，∠CBE＝∠ABE，∴∠AFE＝∠ABE，在△AFE和△ABE中，，∴△AFE≌△ABE（AAS），∴FE＝BE，AF＝AB，在△DEF和△CEB中，，∴△DEF≌△CEB（ASA），∴DF＝BC，∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB．6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE＝BF．证明：∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠2，DE⊥AC，∠ABC＝90°∴DE＝BD，∵∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，∴∠3＝∠4，∵BF∥DE，∴∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，∴BD＝BF，∴DE＝BF．7．如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于点E，若△BCD的面积为16，则BD的长为（）A．16 B．8 C．6 D．4解：方法一：过D作DF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，∴AD＝DF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴DF＝CF，设AD＝DF＝CF＝x，∴CD＝＝x，∴AB＝AC＝（1+）x，在Rt△ABD与Rt△FBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△FBD（HL），∴BF＝AB＝（1+）x，∴BC＝BF+CF＝（2+）x，∵△BCD的面积为16，∴BC•DF＝×（2+）x•x＝16，∴x2＝16（2﹣），∴DF2＝16（2﹣），BF2＝16（+2），∴BD＝＝8．方法二：延长延长CE和BA交于F，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠CAF＝90°，∵BD平分∠ABC，BE⊥CF，∴∠ABD＝∠CBD，∠BEC＝90°，∵∠BDA＝∠CDE，∴∠ABD＝∠ACF，∴△ABD≌△ACF（AAS），∴BD＝CF，∵ABE＝∠CBE，BE⊥CF，∴CF＝BD＝2CE，设CE＝x，则BD＝2x，∵△BCD的面积为16，∴BD•CE＝2x•x＝16，∴x＝4，∴BD＝8，故选：B．8．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．解：PB+PC＞AB+AC．如图，在BA的延长线上取一点E，使AE＝AC，连接EP，由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠CAP＝∠EAP，又AP是公共边，AE＝AC，在△ACP与△AEP中，，∴△ACP≌△AEP（SAS），从而有PC＝PE，在△BPE中，PB+PE＞BE，而BE＝AB+AE＝AB+AC，故PB+PE＞AB+AC，所以PB+PC＞AB+AC．9．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求证：AC﹣AB＝2BE．证明：延长BE交AC于M∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°在△ABE中，∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，∴∠3＝90°﹣∠1同理，∠4＝90°﹣∠2∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM∵BE⊥AE，∴BM＝2BE，∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，∵∠4是△BCM的外角∴∠4＝∠5+∠C∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C∴∠5＝∠C∴CM＝BM∴AC﹣AB＝BM＝2BE10．如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：（1）证明：ED＝FD；（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；（3）求EF的长．（1）证明：过D点分别作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，K，H，如图，∴∠EKD＝∠FHD＝90°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴DK＝DG＝DH，在△EKD和△FHD中，，∵AE＝AF∴∠AEF＝∠AFE，∴△EKD≌△FHD（AAS），∴ED＝FD；（2）解：∠BDC＝90°+∠A．理由如下：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB），∵∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，∴∠BDC+（∠ABC+∠ACB）＝180°，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BDC+（180°﹣∠A）＝180°，∴∠BDC＝90°+∠A；（3）解：如图，∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠2+∠7+∠4＝180°，∠5+∠6+∠7＝180°，∴∠2+∠4＝∠5+∠6，即∠1+∠3＝∠5+∠6，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠1+∠5＝∠3+∠6，∴∠5＝∠3，∠1＝∠6，∴△BED∽△CED，∴ED：CF＝BE：DF，∵DE＝DF，则ED2＝CF⋅BE＝2×4＝8，则ED＝，∴EF＝2ED＝．11．感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC．探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC．应用：如图3，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB﹣AC＝a（用含a的代数式表示）探究：证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB（AAS），∴DC＝DB．应用：解：如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，在△DFC和△DEB中，∴△DFC≌△DEB（AAS），∴DF＝DE，CF＝BE，在Rt△ADF和Rt△ADE中，，∴△ADF≌△ADE（HL），∴AF＝AE，∴AB﹣AC＝（AE+BE）﹣（AF﹣CF）＝2BE，在Rt△DEB中，∵∠DEB＝90°，∠B＝∠EDB＝45°，BD＝a，∴BE＝a，∴AB﹣AC＝a．故答案为a．12．如图，已知△ABC的三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且AD＝AO，CB＝CD，连接BD．（1）求证：∠OBD＝∠ODB；（2）若∠BAC＝80°，求∠ACB的长度．证明：（1）∵△ABC三个内角的平分线交于点O，∴∠ACO＝∠BCO，在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴OD＝OB，∠OBC＝∠ODC，∴∠OBD＝∠ODB；（2）∵∠BAC＝80°，∴∠BAD＝100°，∴∠BAO＝40°，∴∠DAO＝140°，∵AD＝AO，∴∠ODA＝20°，∴∠CBO＝20°，∴∠ABC＝40°，∴∠BCA＝60°．13．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D．如果作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为AB＝AC+CD；（2）如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，交BC于点D．（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，试说明理由；若成立，请证明．解：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，在△CAD和△EAD中，∴△CAD≌△EAD（AAS），∴CD＝DE，AC＝AE，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，∴DE＝EB，∴DC＝BE，∴AE+BE＝AC+DC＝AB；故答案为：AB＝AC+CD．（2）成立．证明：如图2，在AB上截取AE＝AC，连接DE．∵在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD＝ED，∠C＝∠AED，又∵∠C＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，又∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴2∠B＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴ED＝EB∵AB＝AE+EB，ED＝EB＝