2021-2022学年湖南省高二下学期3月大联考数学试题【含答案】

2021-2022学年湖南省高二下学期3月大联考数学试题一、单选题1．已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高二（3）班有38人，现从这三个班中任选1人去参加活动，则不同的选法共有（

）A．125种 B．135种 C．155种 D．375种【答案】A【分析】根据分类加法计数原理可得【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有42+45+38=125种．故选：A2．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A，B，C，D四人在自由式滑雪和花样滑冰这两项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（

）A．8种 B．12种 C．16种 D．24种【答案】C【分析】每一人都可在两项运动中选一项，即每人都有两种选法，根据分步乘法原理可得答案.【详解】由题意可知：每一人都可在两项运动中选一项，即每人都有两种选法，可分四步完成，根据分步乘法原理，不同的选法共有2×2×2×2=16种，故选：C3．在正项等比数列中，是与的等差中项，则的公比为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【分析】由题意可得，从而可求出公比【详解】设的公比为，因为是与的等差中项，所以，所以，所以，解得或（舍去）．故选：B4．甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有（

）A．144种 B．72种 C．36种 D．246种【答案】A【详解】甲乙相邻，看作一个整体，内部排列，他们两人都和丙不相邻，因此采用插空法，先排甲乙丙外的三人，三人之间或两边会出现四个空，将甲乙看作的一个人和丙选两空排列，由此可知，不同的排法共有种,故选:A5．已知是函数的极值点，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】求导，根据是的极值点，由求解.【详解】因为，所以．又是的极值点，所以，解得，经检验知不符合条件．故选：A6．如图，杨辉三角出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中，它揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．由此可得图中第10行排在偶数位置的所有数字之和为（

）A．256 B．512 C．1024 D．1023【答案】B【分析】由图形以及二项式系数和的有关性质可得.【详解】由图知，第10行的所有数字之和为，由二项式系数和的性质知，第10行排在偶数位置的所有数字之和为．故选：B7．有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（

）A．1512种 B．1346种 C．912种 D．756种【答案】D【分析】先从A区域涂色，讨论B，D区域涂相同、不同颜色的两种情况，再确定C，E，F区域涂色方法，应用分类分步计数原理求不同涂色方法数.【详解】1、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂相同颜色，则有3种方法，C，E，F区域分别有3种方法，共有4×3×3×3×3=324种方法．2、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂不同颜色，则有3×2种方法，则E区域有2种方法，C，F分别有3种方法，共有4×3×2×2×3×3=432种方法．故不同的涂色方法共有756种．故选：D8．在0，1，2，3，4，5，6这7个数中任取4个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被5整除，且比4351大的数共有（

）A．54个 B．62个 C．74个 D．82个【答案】C【分析】由题意分千位数为4，百位数为3；千位数为4，百位数为5；千位数为4，百位数为6；千位数为5；千位数为6五种情况分析求解即可【详解】若这个数的千位数为4，百位数为3，则这个数可以是4360，4365，共2个．若这个数的千位数为4，百位数为5，则这个数的个位只能是0，满足条件的数共有个．若这个数的千位数为4，百位数为6，则满足条件的数共有个．若这个数的千位数为5，这个数的个位只能是0，则满足条件的数共有个．若这个数的千位数为6，则满足条件的数共有个．故满足条件的数共有74个．故选：C二、多选题9．的展开式中所有项的二项式系数的和为64，项的系数为-4320，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】首先根据二项式系数和公式，求，再根据指定项系数求，即可判断选项.【详解】因为的展开式中所有项的二项式系数的和为64，所以，解得．又项的系数为-4320，所以，解得．故选：BC10．费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有如下形式：（，1，2，…）．若，则（

）A．数列的最大项为 B．数列的最大项为C．数列的最小项为 D．数列的最小项为【答案】BD【分析】先求出，利用单调性求出最大项和最小项.【详解】，因为函数单调递增，且当时，，当时，，所以数列的最大项为，数列的最小项为．故选：BD11．将14个相同的玩偶分给甲、乙等5个人，每人至少分到1个玩偶，则（

）A．不同的分配方法共有1287种B．不同的分配方法共有715种C．若甲分得3个玩偶，则不同的分配方法有120种D．若甲、乙各分得3个玩偶，则不同的分配方法有21种【答案】BCD【分析】元素相同的分配问题常使用隔板法求解.【详解】每人至少分到1个玩偶，可看作在14个玩偶中间产生的13个空位中插入4个隔板，故不同的分配方法共有种，A不正确，B正确．若甲分得3个玩偶，可看作在11个玩偶中间产生的10个空位中插入3个隔板，则不同的分配方法有种，C正确．若甲、乙各分得3个玩偶，可看作在8个玩偶中间产生的7个空位中插入2个隔板，则不同的分配方法有种，D正确．故选：BCD12．已知（e为自然对数的底数），则（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】利用指数函数的单调性，可比较大小，然后将，，变形并构造函数，利用导数判断其单调性，进而比较出，，的大小关系，由此可判断A，B，C，D.【详解】因为，所以，，．对，，这三个数先取自然对数再除以，则，，,设，则，由，解得，所以在上单调递增，故，即，则，故，故选：AD．三、填空题13．已知函数，则__________．【答案】10【分析】求导，根据，利用导数的定义求解.【详解】因为，所以，，，，，．故答案为：1014．的展开式中的系数为________．【答案】【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．【详解】，故它的展开式中的系数为，故答案为：．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．已知数列满足，，令，则数列的前100项和为___________．【答案】－5050【分析】由递推关系求得，依照求得的递推式，从而可求得，代入求得，利用平方差公式因式分解，结合等差数列的前项和公式可得结论．【详解】因为，所以当时，，故．当时，，所以，整理得．又，，所以，所以．故答案为：．四、双空题16．在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，则不同的路径共有__________条，其中途径C地的不同路径共有__________条．【答案】

210

90【分析】根据图形可知从A地出发去往B地的最短路径共10步，其中4步向上，6步向右，结合排列与组合的概念即可得出结果.【详解】由图可知，从A地出发去往B地的最短路径共10步，其中4步向上，6步向右，则不同的路径共有条．途径地，则不同的路径共有条．故答案为：210；90五、解答题17．（1）解关于的方程．（2）求关于的不等式的解集．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由排列数的定义化简后求解；（2）由组合数的定义化简后求解．【详解】解：（1）因为，所以，解得．（2）因为，所以原不等式等价于，即，解得．又，且，所以原不等式的解集为．18．已知函数．(1)若，求的图象在处的切线方程；(2)若，在上存在最小值，且最小值不大于，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，（2）对函数求导，由导数的正负求出函数的单调区间，由在上存在最小值，且最小值不大于，得从而可求出的取值范围【详解】(1)因为，所以，，则．因为，所以的图象在处的切线方程为．(2)因为，，所以当时，；当时，．故的单调递增区间为和，单调递减区间为．因为在上存在最小值，且最小值不大于，所以解得，即的取值范围为．19．某医疗小组共有5名医护人员，其中有3名男性，2名女性．(1)若从中任选2人参加A，B两项救护活动，每人参加其中一项活动，求该小组中的成员甲没有参加A项救护活动的选法种数；(2)这5名医护人员将去往3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去往一地，每地至少有1人前往医疗支援，若2名女性去往同一地方，求不同的分配方案种数．【答案】(1)16种；(2)36种.【分析】（1）对甲是否被选中分两种情况讨论得解；（2）对5个人的去向，分两种情况讨论得解.【详解】(1)解：若成员甲被选中，则甲没有参加项救护活动的选法有种；若成员甲未被选中，则不同的选法有种．故该小组中的成员甲没有参加项救护活动的选法有16种．(2)解：若这5人中有3人去同一个地方，另外2人去剩下的地方，则不同的分配方案共有种；若这5人中有2人去一个地方，另外2人去另一个地方，剩下1人去最后一个地方，则不同的分配方案共有种．故不同的分配方案共有36种．20．正项数列的前项和为，已知．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）十字叉乘法可得，再由与的关系可解；（2）根据分组求和法和错位相减法可得.【详解】(1)因为，所以或（舍去）．当时，当时，．显然时，上式也成立，所以．(2)由（1）可知，．令，①则，②①-②得，即，则．21．已知．(1)求；(2)求．【答案】(1)；(2)0.【分析】（1）化简，再利用二项式展示式的通项求解；（2）两边求导，再赋值即得解.【详解】(1)解：因为，所以．(2)解：两边求导得，令，则．22．已知函数．(1)判断函数的单调性．(2)证明：．【答案】(1)上单调递增，在上单调递减(2)证明见解析【分析】（1）先求导，再根据导函数分析导函数的正负，从而得到单调区间；（2）通过二次求导得到的单调性，从而得到其最大值的表达式，再证明最大值小于可求