2021学年成都市高一数学（理）下学期期末调研考试卷附答案解析

学年成都市高一数学（理）下学期期末调研考试卷考试时间120分钟，满分150分3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，则=（）A. B.1 C.2 D.52.（）A. B. C. D.3.等差数列中，若，，则公差d=（）A.2 B.3 C.4 D.54.若，，，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.5.已知l，b，c为空间中三条不同的直线，为空间中一个平面，若，，，则l与的关系是（）A. B. C.l在内 D.不确定6.（）A. B. C. D.7.下列说法正确的是（）A.若，则向量与的夹角一定为钝角B.等比数列前n项和公式为C.D.圆台（棱台）体积公式为（其中，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高）8.已知都是锐角，若，，则（）A B. C. D.9.如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的关系是（）A.相交 B.平行 C.异面 D.不确定10.已知递减等比数列中，，，若，则（）A.6 B.7 C.8 D.911.在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，将△ABC沿对角线AC折起，则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为（）A.36π B.64πC.100π D.与二面角B-AC-D的大小有关12.如图，在平面四边形中，，，，，，若点F为边上的动点，则的最小值为（）A.1 B. C. D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，，且，则________．14.若圆锥的高为，底面半径为2，则其侧面积为________．15.如图，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的擦掉，得到第2个图形，重复上面的步骤，得到第3个图形．这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线，又名“雪花曲线”．根据上图可知，第3个图形边长为________，第4个图形的周长为________．16.在三棱锥A-BCD中，有，，，且，分别经过三条棱AB，AC，AD作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系是________（按从大到小顺序排列，并用“>”号连接）．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且，．（1）若，求角A；（2）若________，求△ABC的面积．请从①，②，这两个条件中任选一个，将（2）中的条件补充完整，并作答（注意：只需选一个，若两个都选，则按所选的第一个计分）．18.已知，是夹角为60°的单位向量，设．（1）若，且，求的值；（2）求的最小值．19.设函数．（1）求的周期和最值；（2）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C对边，，，，，求线段CD的长．20.已知正项数列的前n项和为，，且．（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．21.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD矩形，平面ABCD⊥平面PAB，点E，F分别在线段CB，AP上，且，．（1）求证：平面PCD；（2）若，，求点D到平面EFP的距离．22.数列在实际生活中有很多应用．例如某县城一位居民为了改善家庭的住房条件，决定重新购房．2022年7月1日，他来到了当地一个房屋交易市场，面对着房地产商林林总总的宣传广告，是应该购买一手商品房还是二手房呢，他一时拿不定主意．经过一番调查，这位居民收集到一些住房信息，然后在下表中列出了他的家庭经济状况和可供选择的方案：家庭经济状况家庭每月总收入3000元，即年收入3.6万元．现有存款6万元，但是必须留2万元~3万元以备急用．预选方案①买一手商品房：一套面积为80平方米的住宅，每平方米售价为1500元．②买二手房：一套面积为110平方米的二手房，售价为14.2万元，要求首付4万元．购房还需要贷款，这位居民选择了当地一家商业银行申请购房贷款．该银行的贷款评估员根据表格中的信息，向他提供了下列信息和建议：申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率为5.04%，购房的首付款一般为实际购房总额的30%（最低20%），贷款额一般为实际购房总额的70%，还款方式可选择等额本金还款，一般采用按季还款的方式，每季还款额可以分成本金部分和利息部分，其计算公式分别为：本金部分=贷款本金÷贷款期季数；利息部分=（贷款本金－已归还贷款本金累计额）×季利率．请用学过的数列知识帮这位居民算一算需要偿还的贷款总和，根据计算结果，你认为预选方案①、②到底哪个是他的最佳选择？阐述你的建议，并说明理由．参考资料i．对于家庭经济收入的分配，国内外经济学家提供了下述参考标准：家庭收入的30%用于偿还购房贷款，30%用于投资储蓄，20%用于子女教育，20%用于日常开销．因此，偿还购房贷款的金额占家庭总收入的20%~30%为宜．ⅱ．月利率=年利率÷12，季利率=年利率÷4．2021~2022学年度下期期末高一年级调研考试理科数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，则=（）A. B.1 C.2 D.5【答案】A【解析】【分析】根据向量模的坐标表示求解即可.【详解】解：因为向量，所以.故选：A2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角余弦公式计算可得.【详解】解：.故选：D3.等差数列中，若，，则公差d=（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】直接用等差数列的通项公式求解即可．【详解】解：依题意，∴，故选：A．4.若，，，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积和模求夹角即可.【详解】由题意，，∴与的夹角为；故选：C5.已知l，b，c为空间中三条不同的直线，为空间中一个平面，若，，，则l与的关系是（）A. B. C.l在内 D.不确定【答案】D【解析】【分析】利用线面垂直的性质和判定分析判断即可【详解】因为，，，所以当为相交直线时，，当为平行直线时，则或l在内都有可能，所以l与的关系不确定，故选：D6.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用正切两角差公式即可求解.【详解】∵，∴，；故选：C.7.下列说法正确的是（）A.若，则向量与的夹角一定为钝角B.等比数列前n项和公式为C.D.圆台（棱台）体积公式为（其中，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高）【答案】D【解析】【分析】对于AB，举例判断，对于C，先确定的范围，然后比较大小即可，对于D，利用台体的体积公式判断即可【详解】对于A，若与的夹角为，则对于非零向量与，有，所以A错误，对于B，当公比时，等比数列前n项和不能利用求解，而，所以B错误，对于D，因为，所以为第二象限的角，所以，所以C错误，对于D，圆台（棱台）体积公式为（其中，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高），所以D正确，故选：D8.已知都是锐角，若，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由已知条件求出，再由两边取余弦函数化简可求得结果【详解】因为为锐角，，所以，因为都是锐角，所以，因为，所以，所以，故选：B9.如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的关系是（）A.相交 B.平行 C.异面 D.不确定【答案】C【解析】【分析】取的中点，可得，进而可得平面，平面，平面，即得.【详解】取的中点，连接，则，又，∴，则确定平面，又平面，平面，，平面，∴直线FQ与PB是异面直线.故选：C.10.已知在递减等比数列中，，，若，则（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】【分析】根据下标和性质得到，即可求出、，根据数列为递减数列求出，即可判断；【详解】解：因为，，所以，解得或，因为数列为递减等比数列，所以，所以，解得，所以；故选：A11.在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，将△ABC沿对角线AC折起，则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为（）A.36π B.64πC.100π D.与二面角B-AC-D的大小有关【答案】C【解析】【分析】设,判断出O为三棱锥B-ACD的外接球的球心，直接求出外接球的表面积.【详解】在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，所以.设,则.所以O为三棱锥B-ACD的外接球的球心，半径为.所以三棱锥B-ACD的外接球的表面积为.故选：C12.如图，在平面四边形中，，，，，，若点F为边上的动点，则的最小值为（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设出点坐标，求得的表达式，进而求得的最小值.【详解】以为原点建立如图所示平面直角.依题意，，，在三角形中，由余弦定理得.所以，所以.而，所以.在三角形中，由余弦定理得.所以，所以.在三角形中，，所以三角形是等边三角形，所以.所以，设依题意令，即，所以，所以，所以.对于二次函数，其对称轴，开口向上，所以当时，有最小值，也即有最小值为.故选：B【点睛】本小题主要考查向量数量积的最值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，，且，则________．【答案】3【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可.【详解】解：因为，，且，所以，解得故答案为：14.若圆锥的高为，底面半径为2，则其侧面积为________．【答案】6π【解析】【分析】根据底面半径和高，运用勾股定理求出母线长，也就是侧面展开的半径，再计算底面的周长，用扇形面积公式即可求解.【详解】由题意，母线长，底面的周长，侧面积；故答案为：.15.如图，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的擦掉，得到第2个图形，重复上面的步骤，得到第3个图形．这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线，又名“雪花曲线”．根据上图可知，第3个图形的边长为________，第4个图形的周长为________．【答案】①.②.【解析】【分析】根据题中给出的图形，先分析边长之间的变换规律，再分析边数的变化规律即可.【详解】由观察知，第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的，则各个图形的边长构成首项为1，公比为的等比数列，所以边长，所以第3个图形的边长为.由观察知，各个图形的边数构成首项为3，公比为4的等比数列，数，周长为.所以第4个图形的周长为故答案为:；.16.在三棱锥A-BCD中，有，，，且，分别经过三条棱AB，AC，AD作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系是________（按从大到小顺序排列，并用“>”号连接）．【答案】【解析】【分析】根据题意，可由，直接计算出，，，可得，，，在用作差法，可得最后答案.【详解】因为，，，所以三棱锥A-BCD可由以点为顶点的长方体所截，设三边分别为，即，经过三条棱AB作一个截面平分三棱锥的体积，作图如下：因为，，且，所以平面，在平面内，分别过作，因为平面，所以，因为，所以平面，同理平面，因为截面平分三棱锥的体积，所以，易得为的中点，从而易得，同理可得：，，则，因为，所以，同理可得：，所以，故答案为：.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且，．（1）若，求角A；（2）若________，求△ABC的面积．请从①，②，这两个条件中任选一个，将（2）中的条件补充完整，并作答（注意：只需选一个，若两个都选，则按所选的第一个计分）．【答案】（1）或（2）选①：或；选②：【解析】【分析】（1）运用正弦定理求得，根据角的范围可求得答案；（2）若选①：由正弦的二倍角公式得或，再由三角形的面积公式可求得答案．选②：由余弦定理求得，从而得，运用三角形的面积公式可求得答案.小问1详解】解：在△ABC中，由可得：，又，∴或；【小问2详解】解：选①：∵，∴，∴或．∴或．选②：∵，∴，∴.18.已知，是夹角为60°的单位向量，设．（1）若，且，求的值；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题知，再根据，结合向量数量积的运算律求解即可；（2）根据向量模的计算公式得，再结合二次式求最值即可.【小问1详解】解：由向量，是夹角为60°的单位向量，可得，．所以，．因为，所以，即，解得．所以【小问2详解】解：∵，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴的最小值为19.设函数．（1）求的周期和最值；（2）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，，，，，求线段CD的长．【答案】（1）．，（2）【解析】【分析】(1)对作恒等变换，将表示为单个三角函数的解析式即可求解；(2)先算出角B，再运用余弦定理求出c，再根据D点的位置即可求解.【小问1详解】∵，∴，∴，；【小问2详解】∵，，∴，∵，∴，∴（舍）．∵，∴，∴，∴；综上，的周期为，最大值为2，最小值为-2，.20.已知正项数列前n项和为，，且．（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）由可得，所以数列是以公差为3的等差数列，可求出数列的通项公式（2）求出，由裂项相消法求出.【小问1详解】由得，∴．又，∴，∴．∴数列是以公差为3的等差数列．又，∴，，∴．【小问2详解】由（1）知．∴．21.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面PAB，点E，F分别在线段CB，AP上，且，．（1）求证：平面PCD；（2）若，，求点D到平面EFP的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，即可得到且，再由且，即可得到是平行四边形，从而，即可得证．（2）由面面垂直的性质得到平面，再证平面，即可得到点到平面的距离等于点到平面的距离，最后根据等体积法计算可得．【小问1详解】证明：如图，取的中点，连接，．在中，点，分别为，的中点，∴且．在矩形中，点为的中点，∴且，∴且．∴.四边形是平行四边形，∴．又∵平面，平面，∴平面．【小问2详解】解：∵四边形是矩形，∴．∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，∵，，，平面.∴平面，即就是点到平面的距离．∵，平面，平面，所以平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离．又∵，∴．同理可证平面，即，且，，平面，∴平面.∴，即．∴，∴点到平面的距离为．22.数列在实际生活中有很多应用．例如某县城一位居民为了改善家庭的住房条件，决定重新购房．2022年7月1日，他来到了当地一个房屋交易市场，面对着房地产商林林总总的宣传广告，是应该购买一手商品房还是二手房呢，他一时拿不定主意．经过一番调查，这位居民收集到一些住房信息，然后在下表中列出了他的家庭经济状况和可供选择的方案：家庭经济状况家庭每月总收入3000元，即年收入3.6万元．现有存款6万元，但是必须留2万元~3万元以备急用．预选方案①买一手商品房：一套面积为80平方米的住宅，每平方米售价为1500元．②买二手房：一套面积为110平方米的二手房，售价为14.2万元，要求首付4万元．购房还需要贷款，这位居民选择了当地一家商业银行申请购房贷款．该银行的贷款评估员根据表格中的信息，向他提供了下列信息和建议：申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率为5.04%，购房的首付款一般为实际购房总额的30%（最低20%），贷款额一般为实际购房总额的70%，还款方式可选择等额本金还款，一般采用按季还款的方式，每季还款额可以分成本金部分和利息部分，其计算公式分别为：本金部分=贷款