弧长和扇形面积

24.4弧长和扇形面积（第1课时）文昌市第三中学

陈艺顺弧长和扇形面积公式是与圆有关的计算中的两个常用公式．应用弧长和扇形面积公式可以计算一些与圆有关的图形的周长和面积，也可以解决一些简单的实际问题．学习这两个公式也为圆锥侧面积公式的推导打下了基础．弧长公式是在圆周长公式的基础上，借助部分与整体之间的联系推导出来的．运用相同的研究方法，可以在圆面积公式的基础上推导出扇形面积公式，进而通过弧长表示扇形面积．课件说明学习目标：1．理解1°的圆心角所对的弧长等于圆周长的，所对的扇形面积等于圆面积的；能够发现n°的圆心角所对的弧长和扇形面积都是1°的圆心角

所对的弧长和扇形面积的n

倍；能利用弧长表示扇

形面积．并能利用公式计算弧长和扇形面积．

2．在弧长和扇形面积公式的推导过程中，发现弧长与

圆周长、扇形面积与圆面积都是部分与整体之间的

关系，从而将计算弧长和扇形面积的问题转化为求

圆周长和圆面积的一部分来解决，体会转化、类比

的数学思想．课件说明学习重点：

弧长和扇形面积公式的推导及运用．课件说明1．思考

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB。弧：OAB..弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分．半径为R的圆周长为如何计算弧长？2．探究弧长公式问题：

半径为R的圆，半圆所对的弧长为

用来表示弧长也可用AB表示AB的长半径为R的圆，圆所对的弧长为半径为R的圆，圆心角所对的弧长为（1）圆的周长可以看作是

度的圆心角所对的弧长。2．探究弧长公式360

（2）1°圆心角所对弧长是

。（3）n°圆心角所对的弧长是R·n°O·On°1°·OR应用：已知公式中的任意两个量，可以求第三个量。(1)已知圆的半径为10cm,半圆的弧长为()(2)已知圆的半径为9cm，60°圆心角所对的弧长为()(3)已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______.

(4)已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为_______。

10πcm60024牛刀小试3πcm3．应用弧长公式例1、制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L（结果取整数）解：由弧长公式，可得弧AB的长l

（mm）

因此所要求的展直长度

L（mm）

答：管道的展直长度为2970mm．

例题讲解1.弧长相等的两段弧是等弧吗？

答：不一定，因为它们不一定完全重合.也就是说形状不一定相同.练习题度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．2.有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R.练习题什么是扇形？扇形的定义：

如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。半径半径OBA圆心角弧OBA扇形1°的圆心角所对的扇形面积是

.

圆心角为n°的扇形面积是:n°的圆心角所对的扇形面积是

.

圆的面积公式：R·n°1°O探索研究

已知扇形的圆心角为120°,半径为2，则这个扇形的面积为多少？练习解：问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？精讲点拨

例2.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积。（结果保留小数点后两位）。0BACD弓形的面积S=S扇-S⊿提示：要求的面积，可以通过哪些图形面积的和或差求得解：如图，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交弧AB于点C,连接AC∵OC=0.6，DC=0.3在Rt△OAD中，OA=0.6，利用勾股定理可得：∴OD=OC-DC=0.3∴∠AOD=60°，∠AOB=120°在Rt△OAD中，∵OD=0.5OA∴∠OAD=30°有水部分的面积S=0BACD练习.如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C

为圆心，以为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积．ABCFED解：连接AD，则垂足为D根据勾股定理，得2.扇形面积公式与弧长公式与圆的知识的联系：S扇形＝S圆360nl弧＝C圆360n1.扇形的弧长和面积大小与哪些因素有关？（2）与半径的长短有关（1）与圆心角的大小有关归纳小结教科书习题24.4第4，6题．作业2．探究并应用扇形面积公式问题2

同学们已经学习了扇形：由组成圆心角的两条半径

和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．你能否类比

刚才我们研究弧长公式的方法推导出扇形面积的计算公式？2．探究并应用扇形面积公式问题3

比较扇形面积公式和弧长公式，你能用

弧长表示扇形面积吗？归纳：

S扇形．例2

如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．2．探究并应用扇形面积公式

（1）你能否在图中标出截面

半径和水高？

（2）分析截面上有水部分图

形的形状，如何求它的面积？OABCD教科书第113

页练习第1，2，