2023-2024学年湖南省怀化市麻阳县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省怀化市麻阳县八年级第一学期期末数学试卷一、选择题：（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置.每小题3分，共30分）1．若分式的值为0，则x的值为（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣2．下列长度的3条线段，能首尾依次相接组成三角形的是（）A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm C．12cm，5cm，6cm D．1cm，3cm，4cm3．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（）A．a2＜b2 B．2a＜2b C．a﹣3＜b﹣3 D．﹣＞﹣4．下列命题是真命题的是（）A．对应角相等的三角形全等 B．相等的角是对顶角 C．等腰三角形的两底角相等 D．若a＞b，则a2＞b25．不等式x＞4的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．6．下列说法错误的是（）A．1的平方根是1 B．﹣1的立方根是﹣1 C．的平方根是±2 D．3是9的一个平方根7．计算的结果是（）A． B． C． D．8．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝5，CF＝3，则BD的长是（）A．0.5 B．1 C．2 D．1.59．若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（）A．m≤4 B．m＜4 C．m≥4 D．m＞410．已知，如图，在△ABC中，∠ACB是钝角，依下列步骤进行尺规作图：（1）以C为圆心，CA为半径画弧；（2）以B为圆心，BA为半径画弧，交前弧于点D；（3）连接BD，交AC延长线于点E．小明同学依据作图，写出了下面四个结论，其中正确的是（）A．∠ABC＝∠CBE B．BE＝DE C．AC⊥BD D．S△ABC＝AC•BE三、填空题：（本题共8个小题，请将正确答案填写到答题卡上相应的位置.每小题3分，共24分。）11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．在0，，﹣0.101001，π，中无理数的个数是个．13．某红外线波长为0.0000094mm，用科学记数法表示这个数是mm．14．已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x+y等于．15．如图，在△ABC（AB＜AC）中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝15cm，△ABE的周长为24cm，则AB的长为．16．当m＝时，解分式方程会出现增根．17．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝20cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是cm．18．如图，在△ABC中，设∠A＝x°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2022与∠A2022CD的平分线相交于点A2023，得∠A2023，则∠A2023度数是．三、解答题：（本题共8个小题，共66分。解答题要求写出证明步骤或解答过程.）19．计算：．20．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC边上的一点D，连接AD，AD＝BD，求∠CAD的度数．21．先化简，再求值：，其中．22．解不等式组，并写出它的所有非负整数解．23．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D．在射线CD上截取CE＝CA，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F．（1）求证：△ABC≌△CFE；（2）若AB＝9，EF＝4，求BF的长．24．某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？25．阅读下列解题过程：，，请回答下列问题：（1）观察上面的解答过程，请写出＝；（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的解法，请化简：．26．已知，如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．BF⊥CE于点F，BF交CD于点G．（1）若∠ACE＝20°，则∠CBG＝度；（2）求证：AE＝CG；（3）如图2，AH⊥CE，垂足为点H，AH的延长线交CD的延长线于点M，请找出图中与BE相等的线段，并证明．

参考答案一、选择题：（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置.每小题3分，共30分）1．若分式的值为0，则x的值为（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而得出答案．解：∵分式的值为0，∴x﹣2＝0，x+1≠0，解得：x＝2．故选：A．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．2．下列长度的3条线段，能首尾依次相接组成三角形的是（）A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm C．12cm，5cm，6cm D．1cm，3cm，4cm【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，分别判断出即可．解：∵三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，∵1+2＜4，∴无法围成三角形，故此选项A错误；∵4+6＞8，∴能围成三角形，故此选项B正确；∵5+6＜12，∴无法围成三角形，故此选项C错误；∵1+3＝4，∴无法围成三角形，故此选项D错误．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，此定理应用比较广泛，同学们应熟练应用此定理．3．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（）A．a2＜b2 B．2a＜2b C．a﹣3＜b﹣3 D．﹣＞﹣【分析】根据不等式的性质即可求出答案．解：（A）当a＝﹣3，b＝1时，此时a2＞b2，故A错误．故选：A．【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．4．下列命题是真命题的是（）A．对应角相等的三角形全等 B．相等的角是对顶角 C．等腰三角形的两底角相等 D．若a＞b，则a2＞b2【分析】根据全等三角形的定义、对顶角的定义、等腰三角形的性质等判断求解即可．解：对应角相等的三角形相似，但不一定全等，故A是假命题，不符合题意；相等的角不一定是对顶角，故B是假命题，不符合题意；等腰三角形的两底角相等，故C是真命题，符合题意；若a＞b，则a2＞b2或a2＝b2或a2＜b2，故D是假命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．5．不等式x＞4的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据不等式解集在数轴上的表示方法进行判断即可．解：不等式x＞4的解集在数轴上表示，故选：D．【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上的表示方法是正确解答的前提．6．下列说法错误的是（）A．1的平方根是1 B．﹣1的立方根是﹣1 C．的平方根是±2 D．3是9的一个平方根【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．解：A、1的平方根是±1，故A符合题意．B、﹣1的立方根是﹣1，故B不符合题意．C、＝4，4的平方根是±2，故C不符合题意．D、3是9的平方根，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练正确理解平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．7．计算的结果是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．解：原式＝2+3＝5，故选：C．【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．8．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝5，CF＝3，则BD的长是（）A．0.5 B．1 C．2 D．1.5【分析】根据平行线的性质，得出∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，根据全等三角形的判定，得出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质，得出AD＝CF，根据AB＝5，CF＝3，即可求线段DB的长．解：∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF＝3，∵AB＝5，∴DB＝AB﹣AD＝5﹣3＝2．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定△ADE≌△FCE是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等．9．若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（）A．m≤4 B．m＜4 C．m≥4 D．m＞4【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式组有解得出3﹣m＜，再求出不等式的解集即可．解：，解不等式①，得x＜3﹣m，解不等式②，得x＞，∵关于x的不等式组有解，∴3﹣m＞，解得：m＜4，故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．10．已知，如图，在△ABC中，∠ACB是钝角，依下列步骤进行尺规作图：（1）以C为圆心，CA为半径画弧；（2）以B为圆心，BA为半径画弧，交前弧于点D；（3）连接BD，交AC延长线于点E．小明同学依据作图，写出了下面四个结论，其中正确的是（）A．∠ABC＝∠CBE B．BE＝DE C．AC⊥BD D．S△ABC＝AC•BE【分析】利用作法得到CA＝CD，BD＝BA，则BC垂直平分AD，然后根据等腰三角形的性质可判断BC平分∠ABD．解：由作法得CA＝CD，BD＝BA，∴BC垂直平分AD，∴BC平分∠ABD，∴∠ABC＝∠CBE．故选：A．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．三、填空题：（本题共8个小题，请将正确答案填写到答题卡上相应的位置.每小题3分，共24分。）11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【分析】根据二次根式的性质即可直接求解．解：根据二次根式的性质可知，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题主要考查二次根式的性质，二次根式中的被开方数是非负数．12．在0，，﹣0.101001，π，中无理数的个数是1个．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．解：0，，是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；﹣0.101001是有限小数，属于有理数；无理数有π，共1个．故答案为：1．【点评】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．13．某红外线波长为0.0000094mm，用科学记数法表示这个数是9.4×10﹣6mm．【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．解：0.0000094＝9.4×10﹣6．故答案为：9.4×10﹣6．【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．14．已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x+y等于1．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y，然后代入代数式进行计算即可得解．解：由题意得，x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，所以，x+y＝2+（﹣1）＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．15．如图，在△ABC（AB＜AC）中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝15cm，△ABE的周长为24cm，则AB的长为9cm．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE＝CE，然后求出△ABE的周长＝AB+AC，代入数据进行计算即可得解．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+CE＝AB+AC，∵AC＝15cm，△ABE的周长为24cm，∴AB+15＝24，解得AB＝9，故答案为：9cm．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△ABE的周长＝AB+AC是解题的关键．16．当m＝6时，解分式方程会出现增根．【分析】分式方程的增根使分式中分母为0，所以分式方程会出现增根只能是，增根不符合原分式方程，但是适合分式方程去分母后的整式方程，于是将代入该分式方程去分母后的整式方程中即可求出m的值．解：分式方程会出现增根，则2x﹣1＝0即，，去分母得，2x﹣1+m＝6，将代入得m＝6，即当m＝6时，原分式方程会出现增根．故答案为：6．【点评】本题考查了分式方程增根的概念，增根是使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程．17．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝20cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是20cm．【分析】连接AB．利用等边三角形的判定可得结论．解：连接AB．∵OA＝OB，∠AOB＝60°．∴△OAB是等边三角形．∴AB＝OA＝20cm．故答案为：20．【点评】本题考查了等边三角形，掌握等边三角形的判定和性质是解决本题的关键．18．如图，在△ABC中，设∠A＝x°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2022与∠A2022CD的平分线相交于点A2023，得∠A2023，则∠A2023度数是x°．【分析】利用三角形的外角性质及角平分线的性质，可得出∠A1＝∠A＝x°，同理，可得出∠A2＝∠A1＝x°，∠A3＝∠A2＝x°，∠A4＝∠A3＝x°，∠A5＝∠A4＝x°，……，再根据角的变化，即可找出∠An＝x°（n为正整数），进而可得出∠A2023＝x°．解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC．∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，∵∠A1CD是△A1BC的外角，∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC＝（∠A+∠ABC）﹣∠ABC＝∠A＝x°．同理，可得：∠A2＝∠A1＝x°，∠A3＝∠A2＝x°，∠A4＝∠A3＝x°，∠A5＝∠A4＝x°，……，∴∠An＝x°（n为正整数），∴∠A2023＝x°．故答案为：x°．【点评】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的性质以及规律型：数字的变化类，根据各角之间的关系，找出“∠An＝x°（n为正整数）”是解题的关键．三、解答题：（本题共8个小题，共66分。解答题要求写出证明步骤或解答过程.）19．计算：．【分析】根据立方根，算术平方根，平方差公式进行计算即可求解．解：原式＝3﹣（﹣1）﹣4+2﹣1＝3+1﹣4+2﹣1＝1．【点评】本题考查实数的运算和平方差公式，熟记运算法则是解题的关键．20．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC边上的一点D，连接AD，AD＝BD，求∠CAD的度数．【分析】根据三角形内角和定理算出∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质解答即可．解：∵∠B＝45°，∠C＝30°∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝105°，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝45°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝105°﹣45°＝60°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．21．先化简，再求值：，其中．【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后把x的值代入计算即可．解：原式＝•＝•＝，当x＝+1时，原式＝＝．【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．22．解不等式组，并写出它的所有非负整数解．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定非负整数解即可．解：，解①得x＞﹣2，解②得x≤．则不等式组的解集是：﹣2＜x≤．则非负整数解是：0，1、2．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．23．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D．在射线CD上截取CE＝CA，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F．（1）求证：△ABC≌△CFE；（2）若AB＝9，EF＝4，求BF的长．【分析】（1）由同角的余角相等得到∠A＝∠ECF，根据“ASA”定理即可证得△ABC≌△CFE；（2）根据全等三角形的性质即可求得答案．【解答】（1）证明：∵EF⊥CE，∴∠E＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ECF＝90°﹣∠ACE，在△ABC和△CFE中，，∴△ABC≌△CFE（ASA）；（2）解：∵△ABC≌△CFE，∴CF＝AB＝9，CB＝EF＝4，∴BF＝CF﹣CB＝5．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．24．某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？【分析】（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，根据A商品的数量不少于B商品数量的4倍并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方案．解：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，依题意，得：＝，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，∴x+10＝15．答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，依题意，得：，解得：15≤m≤16．∵m为整数，∴m＝15或16．∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．25．阅读下列解题过程：，，请回答下列问题：（1）观察上面的解答过程，请写出＝10﹣3；（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的解法，请化简：．【分析】观察所给例子得出（1）（2）答案；运用（2）的答案先对（3）的每项化简去掉分母，再把中间相邻的两项两两相消得到（3）的答案．解：（1）＝＝﹣＝；故