专题13 一网打尽外接球、内切球与棱切球问题 （练习）（解析版）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

【淘宝店铺：向阳百分百】【淘宝店铺：向阳百分百】专题13一网打尽外接球、内切球与棱切球问题目录01正方体、长方体外接球 202正四面体外接球 303对棱相等的三棱锥外接球 704直棱柱外接球 805直棱锥外接球 906正棱锥与侧棱相等模型 1607侧棱为外接球直径模型 1908共斜边拼接模型 2109垂面模型 2510二面角模型 3011坐标法 3612圆锥圆柱圆台模型 4213锥体内切球 4414棱切球 4801正方体、长方体外接球1．（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）在长方体中，已知，，在该长方体内放置一个球，则最大球的体积为.【答案】/【解析】在长方体中，，，由长方体的结构特征知，长方体的内置球直径不超过最短棱长，于是得球直径小于等于2，球半径的最大值为1，此时有，所以最大球的体积为.故答案为：2．（2023·全国·高三专题练习）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为【答案】【解析】设正方体的棱长为，因为正方体的表面积为，可得，解得，则正方体的对角线长为，设正方体的外接球的半径为，可得，解得，所以外接球的表面积为.故答案为：.3．（2023·吉林·高三校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为，则球的表面积为．【答案】【解析】该球为正方体外接球，其半径与正方体棱长之间的关系为，由，可得，所以球的表面积.答案：02正四面体外接球4．（2023·山东·高三济南一中校联考阶段练习）在正四面体中，以为直径作球，点在球与的中垂面相交所得的圆上运动，当三棱锥的体积的最小值为时，该正四面体外接球的体积为．【答案】【解析】设正四面体的棱长为a，设点D到平面的距离为h，则当h最小时，最小.因为球O的半径为，如图所示，当D在如图所示的位置时h最小.取AC的中点F，连接PF、BF，则，所以.因为则，，.所以h最小值为，所以，解得.设正四面体的外接球的半径为,球心为.如图所示，正四面体的棱长为，过P作平面于，由于,所以，利用勾股定理得，所以中，，解得，所以正四面体的外接球的体积为.故答案为：5．（2023·河北·统考模拟预测）在正四面体中，为的中点，点在以为球心的球上运动，，且恒有，已知三棱锥的体积的最大值为，则正四面体外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题知，为的中点，点在以为球心的球上运动，，所以都在以为球心的球上，又因，则在的中垂面上，如图，连接，都为正三角形，且为的中点，，，平面，平面，平面，平面是的中垂面，即在平面上，所以点在平面与以为球心，为半径的球的交线上，即在以为圆心，为半径的平面内的圆上，取中点，连接，延长至点，使，作在平面内，以为圆心，为半径的圆，则圆上的点到平面的距离最远，故在处，设，则，，平面，平面，,,,在中，，点到平面的距离，所以，解得，如图则其外接正方体的边长为，所以正四面体外接球即为边长为正方体的外接球，故外接球半径，所以外接球体积.故选：A6．（2023·山东济南·高三统考期末）若正四面体的表面积为，则其外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设正四面体的棱长为，由题意可知：，解得：，所以正四面体的棱长为，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，正方体的体对角线长为，因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球半径，则外接球的体积为，故选：.7．（2023·河南·西平县高级中学校联考模拟预测）一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体，则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为，正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径，所以正四面体的外接球体积为．故选：A03对棱相等的三棱锥外接球8．（2023•罗湖区月考）已知在四面体中，，则四面体的外接球表面积为．【解析】解：如下图所示，将四面体放在长方体内，在四面体中，，设该长方体的长、宽、高分别为2、2、1，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为，所以，该四面体的外接球直径为，因此，四面体的外接球的表面积为，故答案为：．9．（2023•孟津县校级期末）若四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为．【解析】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别，，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为，，的长方体，并且，，，则有为球的半径），所以球的表面积为．故答案为：．10．（2023•三模拟）在四面体中，，，，则其外接球的表面积为．【解析】解：如下图所示，将四面体放在长方体内，设该长方体的长、宽、高分别为、、，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为，由勾股定理得，上述三个等式全加得，所以，该四面体的外接球直径为，因此，四面体的外接球的表面积为，故答案为：．04直棱柱外接球11．（2023·陕西西安·高三高新一中校考阶段练习）在直三棱柱中，，则三棱柱外接球体积等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在直三棱柱中，因，即，则，于是得，将其补形成棱长为2的正方体，如图，则直三棱柱的外接球即为棱长为2的正方体的外接球，球半径，因此，，所以三棱柱外接球体积等于.故选：A12．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知球O为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为1，高为3，则球O的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设三棱柱的高为h，底边边长为a．设球O的半径为R，则三棱柱底面三角形的外接圆半径满足：，解得：由题知，，，故球O的表面积为，故选：B.05直棱锥外接球13．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）如图，在体积为的三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AD＝BD，PD⊥底面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球体积的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，由题意是直角三角形，AB的中点为D，连结PD，很明显球心在PD上，设球心为O，PD＝h，AC＝x，，OC＝R，则，解得，在中，，

，则，解得，当且仅当时等号成立，即，当且仅当，即时等号成立，即R的最小值是在时取得，经检验正确，即满足题意时三棱锥的高为2，，故外接球体积的最小值为：，故选：A.14．（2023·广东广州·高三广州市第十七中学校考阶段练习）在三棱锥中，平面BCD，，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，设，，为的外心，为三棱锥外接球的球心，则平面，又平面，所以，平面，则，四边形是直角梯形，设，，，由平面，平面，得，则，，，即，又，则，，令，则，，，当且仅当，即时等号成立，所以三棱锥外接球表面积，故选：B．15．（2023·浙江温州·统考模拟预测）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，在等腰中，，设的外心是，外接圆半径是，则，∴，设外接球球心是，则平面，平面，则，同理，，又平面，所以，是直角梯形，设，外接球半径为，即，则，所以，在直角中，，，，，∴，，令，则，，当且仅当，时等号成立，所以的最小值是．故选：D.16．（2023·河南开封·高三河南省杞县高中校联考开学考试）在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，则四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】设四棱锥的外接球与内切球的半径分别为.因为，四棱锥的表面积，所以，因为两两垂直，四棱锥可补形为长方体，所以，所以四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为.故选：B.17．（2023·浙江丽水·高三统考期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥的外接球体积的最大值为（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】如图，取中点为，中点为，连接，取的中点为，连接.因为为直角三角形，所以外接圆的圆心即为.同理，外接圆的圆心即为.所以，当位于顶点时（不妨假设点与点重合），三棱锥的外接球的球心恰好与三棱柱的外接球的球心重合，即三棱锥的外接球的半径等于三棱柱的外接球的半径，此时体积有最大值.因为分别为的中点，根据三棱柱的性质可知，，且，所以，四边形是平行四边形，所以，且，.根据三棱柱的性质可知平面，所以平面.又分别为以及外接圆的圆心，所以，线段的中点即为三棱柱的外接球的球心，所以，三棱柱的外接球的半径即等于.又，所以，.因为平面，平面，所以，即，所以，，所以，三棱锥的外接球体积的最大值为.故选：C.18．（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中点，的中点，连，，，，因为平面，平面，所以，，，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，在直角三角形中，是斜边的中点，所以，在直角三角形中，是斜边的中点，所以，所以是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径.因为，是斜边的中点，所以，因为，是斜边的中点，所以，所以是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径.设，则，则，，所以.故选：B.06正棱锥与侧棱相等模型19．（2023·云南保山·高三统考期末）已知正三棱锥的侧棱与底面所成的角为，高为，则该三棱锥外接球的表面积为.【答案】/【解析】设顶点P在底面的投影为（为等边的中心），则该三棱锥外接球的球心O在上，连接，因为底面，则侧棱与底面所成的角为，可得，设棱锥外接球的半径为R，因为，即，解得，所以外接球的表面积为.故答案为：.20．（2023·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球体积为．【答案】【解析】在正三棱锥中为等边三角形，顶点在底面的射影为底面的重心，所以，又，，所以，所以，同理可得、，即，，两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得三棱锥的外接球半径，所以三棱锥的外接球体积.故答案为：21．（2023·上海闵行·高三上海市文来中学校考期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为，则该正四棱锥的体积最大值为．【答案】/【解析】因为球的体积为，所以球的半径为，如图，设正四棱锥的底面边长，高，外接球的球心为，根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，又，在中，，即，所以正四棱锥的体积为，整理得，，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值，故答案为：．22．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知正四棱锥的侧面是边长为3的正三角形，它的侧棱的所有三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为．【答案】【解析】如图，正四棱锥的侧棱的所有三等分点构成一个正四棱台，棱台上底面是边长为1的正方形，棱台下底面是边长为2的正方形，侧棱长为1，可求得棱台的高为，设该棱台的外接球的半径为，球心到下底面的距离，球心到上底面的距离，①球心在两个底面之间时，所以，因为，则，则上式无解；②球心在下底面下方时，，，两边同时平方：，，解得：，表面积，故答案为：.07侧棱为外接球直径模型23．（2023•保山期末）已知三棱锥的顶点都在球的球面上，是边长为6的正三角形，为球的直径，且此三棱锥的体积为，则球的表面积为A． B． C． D．【解析】解：是边长为6的正三角形，外接圆的半径，设点到平面的距离为，则棱锥的体积，解得，又为球的直径，点到平面的距离为，则三棱锥外接球的半径，可得球的表面积．故选：．24．（2023•大连模拟）球的直径，，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为A． B． C． D．【解析】解：球的直径，，是该球球面上的两点，，，由题意知，在棱锥中，，都是等腰直角三角形，其中，，．取的中点，则，，垂直于面，棱锥的体积为两个棱锥和的体积和，棱锥的体积．故选：．25．（2023•迎泽区校级月考）已知球的直径，、是该球面上的两点，且，，，则三棱锥的体积为A． B． C． D．【解析】解：设球心为，连结、，为球的直径，、是球面上的点，．又，，，，，．又，，为直角△，的外心为中点，连接，根据球的性质，可得面，在中，，，，，，三棱锥的体积为．故选：．08共斜边拼接模型26．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形､若二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：取的中点，连接，因为，所以，所以，所以，因此为二面角的平面角，设，则，，，在中，由余弦定理得，即，解得：，所以三棱锥的外接球的直径，所以三棱锥的外接球的表面积为．故选：C．27．（2023·全国·高三专题练习）三棱锥D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD，AB⊥DB．则三棱锥D-ABC外接球的表面积是（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中点为，连接，因为AC⊥CD，AB⊥DB∴即为棱锥D-ABC外接球的球心，又AB=DC=3，AC=DB=2，∴，∴三棱锥D-ABC外接球的表面积为．故选：B．28．（多选题）（2023·山东·泰安一中高一期中）三棱锥中，平面平面ABC，，，则（

）A．B．三棱锥的外接球的表面积为C．点A到平面SBC的距离为D．二面角的正切值为【答案】AD【解析】对于A，因为平面平面ABC，，即，平面平面，平面SAB，所以平面ABC，又因为平面ABC，所以，故A正确；对于B，因为，，，所以平面SAB，因为平面SAB，所以．又平面ABC，平面ABC，所以，即，所以三棱锥外接球的直径为SC．因为，所以，所以三棱锥的外接球的表面积，故B错误；对于C，因为平面SAB，平面SBC，所以平面平面SBC，过点A作，交SB于点G，根据面面垂直的性质定理，可得平面SBC，故点A到平面SBC的距离为AG，由，，得，则，则，故C错误；对于D，，，所以∠SBA为二面角的平面角，在中，，故D正确；故选：AD．09垂面模型29．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）在三棱锥中，已知，且平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，设外接球的半径为R，取AB的中点，连接，则由，得，因为平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面ABC，则球心O在直线上．连接OA，则，因为，所以；因为，所以.因为，所以球心在线段上．在中，由勾股定理，得，即，解得，所以三棱锥的外接球表面积为.故选：B．30．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）如图，在梯形中，，将沿对角线折起，使得点翻折到点，若面面，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，设为的中点，为的中点，为的外心，为三棱锥的外接球球心，则面面.由题意得为的外心，在中，，所以，又四边形为矩形，，设外接球半径为，则外接球表面积，故选：B.31．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知四棱锥的底面是矩形，其中，，平面平面，，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示四棱锥，平面平面，，取中点E，则，平面，故，又，可知平面，故.依题意，底面是矩形，直线与所成角的余弦值为，即直线与所成角的余弦值为，故中，，由知，，故，又由，知，是等边三角形，故的三等分点F（距离E近的三等分点）是三角形中心，过F作平面的垂线，过矩形的中心O作平面的垂线，两垂线交于点I，则I即外接球球心.，，设外接球半径R，则，所以四棱锥的外接球表面积为.故选：A.32．（2023·四川泸州·统考一模）已知三棱锥中，平面平面，且和都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意画出图形分别取与的外心，过分别作两面的垂线，相交于，结合已知由，求出三棱锥外接球的半径，则外接球的表面积可求.如图，由已知可得，与均为等边三角形，取中点，连接，，则，∵平面平面，则平面，分别取与的外心，过分别作两面的垂线，相交于，则为三棱锥的外接球的球心，由与均为边长为的等边三角形，可得，，，∴三棱锥A−BCD的外接球的表面积为.故选：D.33．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，则所得三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在边长为2的菱形中，，如图，由已知可得，与均为边长为2的等边三角形，取中点，连接，，则，，平面平面，交线为，而平面，则平面，分别取与的外心，，过，分别作两面的垂线，相交于，则为三棱锥的外接球的球心，由与均为等边三角形且边长为2，可得，，，即三棱锥外接球的半径：，三棱锥的外接球的表面积为：.故选：C.34．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，，且面面ABCD，则四棱锥P-ABCD的外接球表面积为A． B． C． D．【答案】D【解析】P-ABCD的外接球转化为三棱柱PAB-EDC的外接球，球心位于上､下底面中心连线段中点O处，由正弦定理求出，勾股定理求出，代入球体表面积公式即可得解.P-ABCD的外接球与三棱柱PAB-EDC外接球相同.球心位于上､下底面中心连线段中点O处，设外接球半径为R，因为，所以△PAB为等边三角形，由正弦定理得，，..故选：D10二面角模型35．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）在边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体（如图），则此四面体的外接球表面积为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图，取的中点M，和的外接圆半径为，和的外心，到弦的距离（弦心距）为.法一：四边形的外接圆直径，，；法二：，，；法三：作出的外接圆直径，则，，，，，，，，，.故选：A36．（2023·湖南郴州·高三统考阶段练习）在边长为的菱形ABCD中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，，，，，设，则，，由勾股定理可得，，四面体的外接球的表面积为，故选：．37．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使二面角的大小为，则所得三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于四边形是边长为的菱形，且，则，所以，、都是边长为的等边三角形，由于菱形的对角线互相垂直，则，，所以，为二面角的平面角，即，过点作平面的垂线，垂足为点，则点在线段上，由，，可得，且是等边三角形，所以，，设的外心为点，的中点，在平面内，过点、分别作平面、的垂线交于点，则点为三棱锥的外接球的球心，则，，，则，由于、、、四点共圆，可得，所以，三棱锥的外接球的表面积为.故选：B.38．（2023·河南·高三校联考阶段练习）在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形､若二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中点，连接，因为，所以，所以，所以，因此为二面角的平面角，设，则，，，在中，由余弦定理得，即，解得：，所以三棱锥的外接球的直径，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：C.39．（2023·湖北·高三统考期末）在三棱锥中，，，设侧面与底面的夹角为，若三棱锥的体积为，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，（

）A． B． C． D．4【答案】B【解析】因为，，所以，所以，所以，所以，所以为的外接圆的直径，设的中点为，则为的外接圆的圆心，因为，设到平面的距离为，则，所以，当该三棱锥外接球表面积取最小值时，半径最小，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则平面，若点和点在平面的同侧，如图：则，即，当且仅当三点共线时，取等号，在中，，所以，所以，所以，当且仅当三点共线时，取等号，若点和点在平面的异侧，则，所以，若与重合时，，不合题意，综上所述：的最小值为，且当时，三点共线，此时平面，取的中点，连，，则，因为平面，平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以，所以是侧面与底面的夹角，即，因为，，所以.故选：B11坐标法40．（2023·河南郑州·模拟预测）在长方体中中，，AD＝2，M是棱的中点，过点B，M，的平面交棱AD于点N，点P为线段上一动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为．【答案】【解析】设三棱锥外接球球心为，半径为R，则在过直角斜边的中点与平面垂直的直线上，且满足.以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设球心，，又，设，，则，由，得，则，由，，可得，又，所以当时，取最小值，最小值为，所以三棱锥外接球表面积的最小值为.故答案为：.41．（2023·上海·统考模拟预测）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是、、、，则该四面体的内切球与外接球体积之比为【答案】/【解析】点、、、恰为棱长为的正方体的四个点，该四点构成了一个棱长为的正四面体（如图所示）.设该正四面体的内切球和外接球半径分别为、，体积分别为、，则该正四面体的外接球也是正方体的外接球，则，即.由图可得该四面体的体积为：，又，所以，解得，则，.故答案为：.42．（2023·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位：）的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为【答案】【解析】如图将正方体补全，依题意可得、、、为正方体底面边上的中点，要使球的表面积最小，即为求的外接球的表面积，如图建立空间直角坐标系，则，，则几何体外接球的球心必在上、下底面中心的连线上，设球心为，球的半径为，则，即，解得，所以，所以外接球的表面积，即该球表面积的最小值为.故答案为：43．（2023·福建龙岩·统考二模）正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的周长为，由于为定值，即最小时，的周长最小，如图，将平面展成与平面同一平面，则当点共线时，此时最小，在展开图中作，垂足为，，解得：，如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，，，连结，因为平面，平面，所以，又因为，且，平面，平面，所以平面，平面，所以，同理，且，所以平面，且三棱锥是正三棱锥，所以经过△的中心．所以三棱锥外接球的球心在上，设球心，，，则，即，解得：，，所以外接球的表面积.故选：C.44．（2023·江苏扬州·高三统考期中）中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为．【答案】/【解析】如图，为正方形，设垂直于平面，由题，，因为，，所以平面ADP，所以，为直角三角形，由题，，四棱锥表面积，体积，设内切球半径为r，则，得，内切球表面积为；以DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，因为内切球半径，所以内切球球心，因为该四棱锥可以补全为棱长分别为3，3，4的长方体，所以外接球球心，两点间距离.故答案为：；45．（2023·山西·统考一模）如图①，在中，，，D，E分别为，的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体的外接球体积是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，，，平面，所以平面，又，如图建立空间直角坐标系，则、、、、、，依题意为直角三角形，所以的外接圆的圆心在的中点，设外接球的球心为，半径为，则，即，解得，所以，所以外接球的体积；故选：B12圆锥圆柱圆台模型46．（2023·全国·高三专题练习）已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上､下底面的圆周均在球面上，若球的体积为，则圆柱的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设圆柱的底面圆半径为，高为，球O的半径为，由题可知，解得，则，可得，所以.故选：C.47．（2023·云南昆明·高三开学考试）“云南十八怪”描述的是由云南独特的地理位置、民风民俗所产生的一些特有的现象或生活方式，是云南多元民族文化的写照.“云南十八怪”中有一怪“摘下草帽当锅盖”所指的锅盖是用秸秆或山茅草编织成的，因其形状酷似草帽而传为佳话.一种草帽锅盖呈圆锥形，其母线长为6dm，侧面积为，若此圆锥的顶点和底面圆都在同一个球面上，则该球体的表面积等于______.【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，由，解得，如图，设外接球的球心为半径为，由圆得，即，解得，由得，所以该球体的表面积等于.故答案为：.48．（2023·云南师大附中高三阶段练习）已知一个半球内含有一个圆台，半球的底面圆即为圆台的下底面，圆台的上底面圆周在半球面上，且上底面圆半径为3，若半球的体积为，则圆台的体积为___________.【答案】【解析】设半球半径为，圆台上底面圆半径为，圆台的高为.所以，作出轴截面，如图，因为半球的体积为，所以，解得，由题意知，代入解得，所以，圆台体积.故答案为：49．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表面积为______．【答案】【解析】如图所示，设外接球半径为r，球心到上底的距离为h，则球心到下底的距离为则有，，解得，．所以外接球的表面积为．故答案为：13锥体内切球50．（2023·江苏·校联考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为.【答案】【解析】因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直三棱锥中，面与面的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面与面最大即可，而且；，当时，取得最大值.过点向平面作垂线，设的中点为垂足为，因为，，所以由余弦定理知，所以，易得.所以.因为，设内切球的半径为，则根据等体积法，有：，即，解之得，所以其内切球的表面积为故答案为：51．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知圆锥的顶点为，轴截面为锐角，，则当时，圆锥的内切球与外接球的表面积的比值最大，最大值为．【答案】//【解析】如下图所示：不妨设，，为线段的中点，连接，圆锥的内切球球心为，半径为；外接球球心为，半径为.圆锥的内切球与外接球的表面积之比为，在中，，，，在中，，，，即，所以，，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，圆锥的内切球与外接球的表面积的比值的最大值为.故答案为：；.52．（2023·江西抚州·高三临川一中校考期末）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为.【答案】【解析】如图所示正四面体，记棱长为，高为，为正四面体内切球的球心，延长交底面于，是等边三角形的中心，过作交于，连接，则为正四面体内切球的半径，因为，，，所以，所以，解得，由图可知最大球内切于高的正四面体中，最大球半径，中等球内切于高的正四面体中，中等球半径，最小求内切于高的正四面体中，最小球半径，所以九个球的表面积之和，故答案为：53．（2023·山西长治·高三统考期末）如图，正四棱台的上､下底面边长分别为2，分别为的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为.【答案】【解析】该十面体及内切球的正投影