2021年中考数学冲刺二次函数压轴大题

二次函数压轴大题(含答案)

2

1.已知二次函数y=ax+bx-3a经过点A(-1,0)、C(0,3),与x轴交于另一

点B,抛物线的顶点为D.

(1)求此二次函数解析式；

(2)连接DC、BC、DB,求证：4BCD是直角三角形；

(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得APDC为等腰三角形？若存在,

求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图1,抛物线y=ax?+bx+c(aWO)的顶点为C(1,4),交x轴于A、B两点,

交y轴于点D,其中点B的坐标为(3,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,点P为直线BD上方抛物线上一点，若S/XPBD=3,请求出点P的坐

标.

(3)如图3,M为线段AB上的一点，过点M作MN〃BD,交线段AD于点N,

连接MD,若△DNMS^BMD,请求出点M的坐标.

2

3.已知，抛物线y=x+bx+c与x轴交点为A（-1,0）和点B,与y轴交点为C

（0,-3）,直线L：y=kx-1与抛物线的交点为点A和点D.

（1）求抛物线和直线L的解析式；

（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，

过点M作MN〃x轴交L于点N,求MN的最大值；

（3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），M'为直线AD上一动点，是否存

在点M,使得以C、D、M、Mz为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直

接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由.

4.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)

三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m,AAMB的面积为

S.

求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值.

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置

能够使得点P、Q、B、。为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的

9

5.如图，抛物线y=ax+bx-3经过点A(2,-3),与x轴负半轴交于点B,与y轴

交于点C且0C=30B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D在y轴上，且NBDO=NBAC,求点D的坐标；

(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A,B,M,N

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点；M的坐标；若

不存在，请说明理由

9

6.如图，二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴的交点为A、D(A在D的右侧)，与

y轴的交点为C,且A(4,0),C(0,-3),对称轴是直线x=l.

(1)求二次函数的解析式；

(2)若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m,设四边形OCMA的面积为

s.请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积

最大；

(3)设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P,使得以A,B、C,

P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标;若不存在,

请说明理由.

2.、

7.如图，顶点坐标为(2,-1)的抛物线y=ax+bx+c(aWO)与y轴父于点C

(0,3),与x轴交于A、B两点.

(1)求抛物线的表达式；

(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求4ACD的面积；

(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF,与抛物线交于点F.问

是否存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E

的坐标；若不存在，请说明理由.

8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-a+2与x轴交于点A,与y轴交于

12

点B,抛物线y=-&x+bx+c经过A,B两点且与x轴的负半轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当NABD=2NBAC时，求点D

的坐标；

（3）已知E,F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B,0,E,F为顶点的四边

形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标.

备用图

9

9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+bx-3交x轴于点A(-3,0)、

B(1,0),在y轴上有一点E(0,1),连接AE.

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求aADE面积的最大值；

(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使4AEP为等腰三角形？若存在，请直接写

出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由.

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-2x+c与直线

y=kx+b都经过A(0,—3)、B(3,0)两点，该抛物线的顶点为C.

(1)求此抛物线和直线AB的解析式；

(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,

过M作x轴的垂线交抛物线于点N,使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？

若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当APAB面积最大时，求点P的

坐标，并求APAB面积的最大值.

参考答案

1、(1)•.•二次函数了=⑪2+桁-3。经过点4(-1,0)、C(0,3),

根据题意，得卜

I-3a=3

解得卜=-l,

Ib=2

；・抛物线的解析式为y=-d+2%+3・

(2)由y=-必+2》+3=-(x-1)2+4得，。点坐标为(1,4),

定义抛物线y=一必+2%+3.令y=0,-，+2工+3=0,解得x=-l或3,

：.A(-1,0),B(3,0),

；•CD=V(1-0)2+(4-3)2=^

BC=732+32=3V2>

BD=d(3T)2+(4-0)2=2匹,

'：CD2+BC2=(&)2+(3&)』20,BD2=(2V5)占20,

.*.CD2+BC2=BD2,

...△BCD是直角三角形；

⑶存在.

y=-/+2x+3对称轴为直线x=l.

①若以C。为底边，则尸1。=尸C,

设Pi点坐标为(x,y),根据勾股定理可得尸18=/+(3-j)2,PiD=(x-1)2+(4

-J)2,

因此产+(3-j)2=(x-1)2+(4-j)2,

即y=4-x.

又Pi点(x,j)在抛物线上，

/.4-X--x2+2x+3,

即*2-3*+1=0,

解得*1=:圮5,X2=-'''-^<l,应舍去，

22

.r-Ws

2_

,*.j=4-x=5

即点Pl坐标为(兰巫，生近).

22

②若以CD为一腰，

•.•点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线X=1对称,

此时点P2坐标为(2,3),

.••符合条件的点尸坐标为(型偃，对G)或(2,3).

22

2、解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-a+4,

将点8(3,0)代入得，(3-1)2xa+4=0.

解得：a=-\.

抛物线的解析式为：y=-(x-l)2+4=-x2+2x+3.

(2)过点尸作PQ//y轴交OB于点。，

•.•抛物线的解析式为y=-x2+2x+3

£)(0,3).

设直线BD的解析式为y=kx+n,

3k+n=0

n=3

解得：[=:,

[n=3

・•.直线的解析式为y=-x+3.

设P(m,-m2+2m+3),则Q(m,-m+3),

/.PQ=-zn2+2m4-3-(-m+3)=-m2+3/〃.

^PHD=SAPQD+S乂侬

i]339

m+Xxx

，S"BD=^Q2(3-/w)=—PQ~~~2^+^m,

9

,•*S&PBD~3

39

..----tn2d---772=3o.

22

解得：叫=1,网=2.

.・.点尸的坐标为(1,4)或(2,3).

(3)v5(3,0),0(0,3),

：,BD=yl32+32=3A/2,

设“30),

・・•MNI/BD,

/.MMNs.BD,

.MN_AM

一访一方’

MN1+。

即nn一7==----.

3V24

••・MN=述(l+〃)，0M=耳+/=/9+6，

4

•:bDNMs^BMD,

.DM_MN

,~BD~~DM'

DM?=BD[MN.

/.9+c/=3A/2x(]+a).

4

解得：4=3或。=3（舍去）.

2

.•.点M的坐标为（1,0）.

3、解：（1）将点/、C的坐标代入抛物线表达式得［l-b+c=0,解得：［b=-2

lc=-3lc=-3

故抛物线的表达式为：-2x-3①，

将点/的坐标代入直线工的表达式得：0=-4-1,解得：上=-1,

故直线L的表达式为：y=-x-1②；

（2）设点A/的坐标为（加，〃尸-2机-3）,

点N的纵坐标与点〃的纵坐标相同，

将点N的纵坐标代入y=-x-1得：机2-2加-3=-x-1,

解得：x=-m2+2m+2,

故点N（-m2+2m+2,m2-2m-3）,

则MN--nr+2m+2-m--m2+m+2,

V-l<0,故A/N有最大值，当帆=一旦=工时，"N的最大值为9；

2a24

（3）设点A/则"=机2-2机-3③，点“（s,-s-1）,

①当C。为边时，

点C向右平移2个单位得到。，同样点）向右平移2个单位得到（M）,

即〃?±2=s且n=-s-1（4）,

联立③④并解得：加=0（舍去）或1或二士/^,

故点〃的坐标为（1,-4）或（比立，上口2）或（土YS,生叵）；

2222

②当CD为对角线时，

由中点公式得：—（0+2）=—（m+s）且工（-3-3）=—（«-s-1）⑤，

2222

联立③⑤并解得：加=0（舍去）或-1,故点〃（1,-4）；

综上，点〃的坐标为（1,-4）或（口立，上运）或（上运，生匠）.

2222

4、解：(1)设此抛物线的函数解析式为：

y=ax2+bx+c(a20),

将A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点代入函数解析式得:

16a_4b+c=0

<c二一4

4a+2b+c=0

(_1_

a?

解得b=l,

c=-4

所以此函数解析式为：y卷X2+X_4；

(2)点的横坐标为m,且点M在这条抛物线上，

，M点的坐标为：(m,ym2+m-4^

••S=SAAOM_*~SAOBM-SAAOB

=1X4X(-Im2-m+4)+1.X4X(-m)-1X4X4

2222

=-m2-2m+8-2m-8

=-m2-4m,

=-(m+2)2+4,

•；-4<m<0,

当m=-2时，S有最大值为：S=-4+8=4.

答：m=-2时S有最大值S=4.

(3)设P(x,—x2+x-4).

2

当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ〃OB,且PQ=OB

••.Q的横坐标等于P的横坐标，

又♦.•直线的解析式为y=-x,

则Q(x,-x).

2

由PQ=OB,得|-x-(―x+x-4)=4,

解得x=0,-4,-2±2企.

x=0不合题意，舍去.

如图，当B0为对角线时，知A与P应该重合，0P=4.四边形PBQ。为平行四边

形则BQ=0P=4,Q横坐标为4,代入y=-x得出Q为(4,-4).

由此可得Q(-4,4)或(-2+2泥，2-2泥)或(-2-2遍，2+2遥)或(4,

-4).

Q1

5、解：(1)由y=以2+反一3,得C(0,-3),

A0C=3,

V0C=30B,

AOB=1,

AB(-1,0).1分

,4。+2人一3二—3,

把A(2,-3),B(-l,0)分别代入丁=以2+法一3,得＜

ci—h—3=0.

a=l

解得L

b=-2

抛物线的解析式为y=f-2x—3；.................3分

(2)如图①，连接AC,作BF_LAC交AC的延长线于点F,

VA(2,-3),C(0,-3),，AF〃x轴...................4分

，F(T,-3),.\BF=3,AF=3.

.".ZBAC=45°,设D(0,m),则0D=|m

VZBD0=ZBAC,.\ZBD0M50,.*.00=08=1.6分

A|m|=L.,.m=±h/.Dx(0,1),D2(0,-1)；7分

(3)设a2—2a—3),N(1,n).

①以AB为边，则以〃MN,AB=MN,如图②，

过M作ME垂直对称轴于点E,AF垂直x轴于点F,

则AABF丝ZXNME,

；.NE=AF=3,ME=BF=3,

A!a-l|=3,.34或a=-2,AM(4,5)或(-2,5)；8分

②以AB为对角线，BN=AM,BN//AM,如图③,

则N在x轴上，M与C重合，

AM(0,-3),..................................9分

综上所述，存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形。

此时点M的坐标为(4,5)或(-2,5)或(0,-3).

.................................10分

6、解：(1)VA(4,0),对称轴是直线x=L

Z.D(-2,0).

又■(0,-3)

c=-3

16a+4b+c=0

,4a-2b+c=0

解得.agb=-4>c=-3,

84

二次函数解析式为：y=4x2-4X-3-

84

(2)如图1所示:

设M(m,--x2--yx-3),|y«|=---m2+^-m+3,

8484

"*"SUSAO+SAOAV

11iiqqqq

S=-XOCXm+—XOAX)y«|=—X3Xm+—X4X(nT'^—m+3)=---m'+3m+6=(m-

22228444

2)?+9,

当m=2时，s最大是9.

(3)当AB为平行四边形的边时，则AB〃PC,

；.PC〃x轴.

...点P的纵坐标为-3.

将y=-3代入得：x2--yx-3=-3,解得：x=0或x=2.

84

...点P的坐标为(2,-3).

当AB为对角线时.

•••ABCP为平行四边形，

...AB与CP互相平分，

...点P的纵坐标为3.

把y-3代入得：—x2-—x-3=3,整理得：x--2x-16=0,解得：x=l+117或x=l•17-

84

综上所述，存在点P(2,-3)或P(1+V17-3)或P(1-V17>3)使得以A,B、C,P

四点为顶点的四边形为平行四边形.

7、解：(1)依题意，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-l,代入C(。，3)后，得：

a(0-2)2-1=3,a=1

.♦.抛物线的解析式：y—(x-2)2-1=x^-4x+3.

(2)由(1)知，4(1,0)、B(3,0)；

设直线的解析式为：y=fcc+3,代入点B的坐标后，得：

3k+3=0,k=-1

二直线8C：y=-x+3；

由(I)知：抛物线的对称轴：x=2,则。(2,1)；

/>>4D-VAG2+DG2-V2'/'C，-VOC2+OA2~V10,V(3-1)2+22-2V2,

即：AC2=AD2+CD2,ZVIC。是直角三角形，且AO_LCO；

二%co=8己X加X2加=2.

(3)由题意知：E/〃y轴，则/FEO=/OCB,若△OCB与△尸EQ相似，则有：

®ZDF£=90°,即OF〃x轴；

将点。纵坐标代入抛物线的解析式中，得：

『-4x+3=l,解得x=2土加；

当x=2+&时，y--x+3=I-我；

当x=2-&时，y=-x+3=\+y[2；

E\(2+^/2，1-5/2)'E2(2-«，1+&).

②NEDF=90。；

易知，直线A£＞：y=x-l,联立抛物线的解析式有：

X2-4x+3—x-1,

x2-5x+4=0,

解得问=1、必=4；

当x=l时，y—-x+3=2；

当x=4时，y=-x+3=-1；

：.E3(1,2)、&(4,-1).

综上，存在符合条件的点E,且坐标为：(2+V2-1-V2)'(2-b，1+如)、(1,

2)或(4,-1).

8、解：(1)在y=—^"x+2中，令y=0，得X=4,令x=0,得y=2

：.A(4,0),B(0,2)

把“(4,0),B(0,2),代入尸-^x2+bx+c，得

c=2_3_

<1,解得Jb^

4-X16+4b+c=0_

/c-Qz

抛物线得解析式为尸卷X2$x+2

（2）如图，过点8作x轴得平行线交抛物线于点E,过点。作BE得垂线，垂足为尸

•・・8E〃x轴，:"BAC=/ABE

■:NABD=2/BAC,：.ZABD=2ZABE

B|JZDBE+ZABE=2AABE

：.NDBE=NABE

：.NDBE=/BAC

2),2

设。点的坐标为（x,-1-X+-|-X+2则8F=X,DF=^-X-1J-X

■：tanZDBE=^~,tanZBAC=^-

BFAO

4

.DF=BO即？2Tx_2

「BFAO,x百

解得xi=0(舍去),X2=2

当x=2时，多2冬+2=3

工点。的坐标为（2,3）

(3)

当8。为边时，EF,OB=EF

2

设£Cm,卷1rl+2），F（，〃，in+-^-11^2^

EF=I（-^-iri4-2->-2+^101-2^尸2

解得mi=2,1rl2=2-2亚，m3=2+2^2

当BO为对角线时，OB与EF互相平分

过点0作OF〃AB,直线O尸产一/x交抛物线于点F（2+2、历，-1-^2）和

（2-2V2--1+V2）

求得直线EF解析式为产乎x+1或尸零x+1

直线EF与AB的交点为E,点E的横坐标为-272-2BK2A/2-2

点的坐标为（2,1）或（2-2后，1+亚）或（2+2泥，1-&）或（-2-2加，3+72）

或（-2+2加，3-^/2）

9、解：（1）,二次函数尸况1+6田一3经过点4（一3,0）、B（1,0）,

.,a-3b-3=0解尸

Ia+b-3=01b=2

二.二次函数解析式为y=^+2x-3；

（2）设直线的解析式为尸kx+b、

,过点4(-3,0),E(0,1),

-3k+b=0x-

,解得z0:

b=l

二直线46.解析式为尸=£x+l,

O

如图，过点。作。G_Lx轴于点G,延长。G交？LE于点凡

,1,5

DF=-m-2m+3+-m+l=-nrm+4,

33

-S4AD萨S4AD广S4DEF

=—XDFXAG+—DFXOG

22

=*XO尸X(AG+OG)

=—X3XDF

2

—(-m2-—m+4)

23

——m2——zn+6

22

冬若）嚼，

.•.当时，的面积取得最大值为坐1

624

(3)".,/=A2+2A--3=(x+1)2-4,

二.抛物线对称轴为直线x=-l,

设0(-1,n),

-■'A(-3,0),E(0,1),

2222

.•/产=(-1+3)+(n-0)2=4+4,/"=(o+3)+(1-0)=10,P»=(0+1)+

(1-«)2=(n-1)2+l,

①若/尸=/区则？1尸=月"，即4+“2=IO,解得〃=士加，

，点。(-1,V6)或(-1,-A/6)