2024年高考数学二轮复习第一篇核心专题突破专题五解析几何第1讲直线与圆

第一篇专题五第1讲一、单项选择题1.(2023·抚松县校级模拟)对方程eq\f(y－6,x＋3)＝2表示的图形，下列叙述中正确的是(C)A．斜率为2的一条直线B．斜率为－eq\f(1,2)的一条直线C．斜率为2的一条直线，且除去点(－3,6)D．斜率为－eq\f(1,2)的一条直线，且除去点(－3,6)【解析】方程eq\f(y－6,x＋3)＝2成立的条件知x≠－3，当x≠－3时，方程变形为y－6＝2(x＋3)，由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线，但要除去点(－3，6)．故选C.2.(2023·全国二模)已知直线l1：eq\r(3)x－3y＋1＝0，若直线l2与l1垂直，则l2的倾斜角是(B)A．150° B．120°C．60° D．30°【解析】∵直线l1：eq\r(3)x－3y＋1＝0，∴kl1＝eq\f(\r(3),3)，∵直线l2与l1垂直，∴kl2·kl1＝－1，解得kl2＝－eq\r(3)，∴l2的倾斜角为120°.故选B.3.(2023·河北七校联考)直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，实数a的值是(D)A．1 B．eq\r(2)C．2 D．3【解析】当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝eq\f(a＋3,a－1)，令t＝a＋3＋eq\f(a＋3,a－1)＝5＋(a－1)＋eq\f(4,a－1).因为a＞1，所以a－1＞0.所以t≥5＋2eq\r(a－1·\f(4,a－1))＝9.当且仅当a－1＝eq\f(4,a－1)，即a＝3时，等号成立．4.(2023·漳州质检)已知a2－3a＋2＝0，则直线l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直线l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置关系为(D)A．垂直或平行 B．垂直或相交C．平行或相交 D．垂直或重合【解析】因为a2－3a＋2＝0，所以a＝1或a＝2.当a＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：4x－2y－3＝0，k1＝－eq\f(1,2)，k2＝2，所以k1·k2＝－1，则两直线垂直；当a＝2时，l1：2x＋y－2＝0，l2：2x＋y－2＝0，则两直线重合．5.(2023·海淀区校级三模)已知圆O：x2＋y2＝1，直线3x＋4y－10＝0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为(C)A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2【解析】圆O：x2＋y2＝1中，圆心O(0,0)，半径r＝1，设P(x0，y0)，则3x0＋4y0－10＝0，则|PA|＝eq\r(|PO|2－12)＝eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)－1)＝eq\f(1,4)eq\r(25x\o\al(2,0)－60x0＋84)，当x0＝eq\f(30,25)＝eq\f(6,5)时，|PA|min＝eq\f(1,4)eq\r(36－60×\f(6,5)＋84)＝eq\f(1,4)eq\r(48)＝eq\r(3).故选C.6.已知x2＋y2＝2x，则eq\f(y,x＋2)的最大值为(C)A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(\r(2),4) D．eq\f(\r(3),3)【解析】设eq\f(y,x＋2)＝k，则kx－y＋2k＝0，x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1,0)，半径为1，∵圆心(1,0)到直线kx－y＋2k＝0的距离小于等于1，∴eq\f(|3k|,\r(k2＋1))≤1，解得－eq\f(\r(2),4)≤k≤eq\f(\r(2),4)，∴eq\f(y,x＋2)的最大值为eq\f(\r(2),4).故选C.7.(2023·河南模拟)直线l：mx＋y－m＋1＝0被圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝16所截得弦长的最小值为(A)A．4eq\r(2) B．3eq\r(2)C．2eq\r(2) D．eq\r(2)【解析】直线l：mx＋y－m＋1＝0，即m(x－1)＋y＋1＝0，直线l过定点P(1，－1)，圆C的圆心为C(－1,1)，r＝4，当PC⊥l时，直线l被圆C截得的弦长最短．因为|PC|＝eq\r(1＋12＋－1－12)＝2eq\r(2)，所以弦长的最小值为2eq\r(16－8)＝4eq\r(2).故选A.8.(2023·河南模拟)已知圆O的直径AB＝4，若平面内一个动点M与点A的距离是它与点B距离的eq\r(2)倍，则△MAB面积的最大值为(D)A．64 B．12C．6eq\r(2) D．8eq\r(2)【解析】以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，设M(x，y)，由题意可得：eq\r(x＋22＋y2)＝eq\r(2)·eq\r(x－22＋y2)，整理得：(x－6)2＋y2＝32.则M到AB所在直线的距离的最大值为4eq\r(2)，∴△MAB的面积的最大值为eq\f(1,2)×4×4eq\r(2)＝8eq\r(2).故选D.二、多项选择题9.若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，下面说法正确的是(ABD)A．直线l2的斜率为定值B．当c＝25时，|PQ|的最小值为eq\f(3,2)C．当|PQ|的最小值为1时，c＝20D．c≠10【解析】∵l1∥l2，∴eq\f(a,3)＝eq\f(8,4)≠eq\f(c,5)，∴a＝6，c≠10，故A、D正确；∵|PQ|的最小值为两平行直线间的距离，∴当c＝25时，d＝eq\f(|10－25|,\r(62＋82))＝eq\f(3,2)，故B正确；当|PQ|的最小值为1时，d＝eq\f(|10－c|,\r(62＋82))＝1，解得c＝20或c＝0，故C错误．10.(2023·桃城区校级模拟)已知直线l：x＋y－4＝0，圆O：x2＋y2＝2，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则(BD)A．直线l与圆O相切B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为eq\r(2)C．存在点M，使∠AMB＝90°D．存在点M，使△AMB为等边三角形【解析】圆O：x2＋y2＝2的圆心为(0,0)，半径r＝eq\r(2)，圆心到直线l：x＋y－4＝0的距离d＝eq\f(|0＋0－4|,\r(2))＝2eq\r(2)＞r，故直线l与圆相离，故A错误；∴圆O上的点到直线l的距离的最小值为2eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2)，故B正确；当OM⊥直线l时，OM＝2eq\r(2)，此时MA＝MB＝eq\r(6)，故此时，OA＜MA，∴∠AMO＜45°，∴∠AMB＜90°，故不存在点M，使∠AMB＝90°，故C不正确；当M在直线l上移动时，∠AMB越来越小，可接近0°，所以存在点M，使△AMB为等边三角形，故D正确；故选BD.三、填空题11.(2023·东莞市校级三模)若圆C与y轴相切，与直线l：y＝eq\f(\r(3),3)x也相切，且圆C经过点P(2，eq\r(3))，则圆C的半径为1或eq\f(7,3).【解析】由题意，在直线l：y＝eq\f(\r(3),3)x中，倾斜角为30°，∴圆C的圆心在两切线所成角的角平分线y＝eq\r(3)x上．设圆心C(a，eq\r(3)a)，则圆C的方程为：(x－a)2＋(y－eq\r(3)a)2＝a2，将点P(2，eq\r(3))的坐标代入上式，得(2－a)2＋(eq\r(3)－eq\r(3)a)2＝a2，解得：a＝1或a＝eq\f(7,3)，∴圆C的半径为1或eq\f(7,3).12.(2023·惠州校级模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分别是圆C1、C2上动点，P是x轴上动点，则|PN|－|PM|的最大值是4＋eq\r(2).【解析】已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，则圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(3,4)，半径为3，则点C1(2,3)，点C2(3,4)在x轴的同侧，则|PC2|－|PC1|≤|C1C2|＝eq\r(2－32＋3－42)＝eq\r(2)，当且仅当C1、C2、P三点共线时取等号，则|PN|－|PM|≤(|PC2|＋3)－(|PC1|－1)＝|PC2|－|PC1|＋4≤|C1C2|＋4＝eq\r(2)＋4，即|PN|－|PM|的最大值是4＋eq\r(2).四、解答题13.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．【解析】(1)(代入法)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.14.已知圆P以点P(－2,1)为圆心，并且经过坐标原点O，设直线l：kx－y＋k＝0(k∈R)与圆P相交于M、N两点．(1)求圆P的标准方程；(2)若|OM|＝|ON|，求实数k及|MN|的值；(3)当k变化时，求弦长|MN|的取值范围．【解析】(1)依题意，圆P的半径r＝eq\r(－22＋1)＝eq\r(5)，所以圆P的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.(2)∵|OM|＝|ON|，|PM|＝|PN|，∴OP⊥MN，又kOP＝－eq\f(1,2)，直线l的斜率为k＝2，故直线l的方程为2x－y＋2＝0，由点P到直线的距离d＝eq\f(|－4－1＋2|,\r(5))＝eq\f(3,\r(5))，所以|MN|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(5－\f(9,5))＝eq\f(8,5)eq\r(5).(3)当k变化时，直线l：kx－y＋k＝0经过定点A(－1,0)，因为当PA垂直l时，|MN|最小，此时P到直线的距离d＝|PA|＝eq\r(2)，所以|MN|min＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(3)，又直线l：kx－y＋k＝0经过圆心P时，|MN|max＝2r＝2eq\r(5)，故|MN|的取值范围为[2eq\r(3)，2eq\r(5)]．15.(2023·江西模拟)已知圆C过点O(0,0)，A(－1，eq\r(3))，B(2,2eq\r(3))．(1)求圆C的标准方程；(2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M，N，点P为直线x＝5上的动点，直线PM，PN与圆C的另一个交点分别为E，F(EF与MN不重合)，证明：直线EF过定点．【解析】(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又圆C过点O(0,0)，A(－1，eq\r(3))，B(2,2eq\r(3))．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,1＋3－D＋\r(3)E＋F＝0，,4＋12＋2D＋2\r(3)E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－2\r(3)，,F＝0，))∴x2＋y2－2x－2eq\r(3)y＝0，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4.(2)证明：由题意得C(1，eq\r(3))，∴直线MN：y＝eq\r(3)，点M(－1，eq\r(3))，点N(3，eq\r(3))，设点P(5，y0)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，∴kPM＝eq\f(y0－\r(3),5－－1)＝eq\f(y0－\r(3),6)，kPN＝eq\f(y0－\r(3),5－3)＝eq\f(y0－\r(3),2)，∴3kPM＝kPN，又kPM＝kEM＝eq\f(y1－\r(3),x1－－1)＝eq\f(y1－\r(3),x1＋1)，kPN＝kFN＝eq\f(y2－\r(3),x2－3)，∴9·eq\f(y1－\r(3)2,x1＋12)＝eq\f(y2－\r(3)2,x2－32)，又E，F在圆C上，∴(x1－1)2＋(y1－eq\r(3))2＝4，(x2－1)2＋(y2－eq\r(3))2＝4，∴9·eq\f(4－x1－12,x1＋12)＝eq\f(4－x2－12,x2－32)，即eq\f(9[x1＋12－4x1＋1],x1＋12)＝eq\f(x2－32－4x2－3,x2－32)，∴9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,x1＋1)))＝1＋eq\f(4,x2－3)，整理得：2x1x2－7(x1＋x2)＋20＝0，当直线EF斜率存在时，设直线EF的方程为y＝kx＋b，代入(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4，得(1＋k2)x2＋(2kb