2024年高考数学二轮复习第一篇核心专题突破专题六概率与统计第1讲概率

第一篇专题六第1讲一、单项选择题1.(2023·廊坊模拟)若P(AB)＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,3)，则事件A与B的关系是(C)A．事件A与B互斥B．事件A与B对立C．事件A与B相互独立D．事件A与B既互斥又相互独立【解析】∵P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(1,9)≠0，∴事件A与B相互独立，事件A与B不互斥，故不对立．故选C.2.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝(A)A.eq\f(1,3) B．eq\f(5,18)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,4)【解析】∵出现点数互不相同的共有n(A)＝6×5＝30种，出现一个5点共有n(AB)＝5×2＝10种，∴P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(1,3).3.(2023·宁波模拟)已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A＝“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则P(A)＝(D)A.eq\f(7,12) B．eq\f(29,45)C．eq\f(21,50) D．eq\f(29,50)【解析】从甲盒中随机取出一个白球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个红球或黑球的概率为P1＝eq\f(2,5)×eq\f(5,10)＝eq\f(1,5)，从甲盒中随机取出一个红球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个白球或黑球的概率为P2＝eq\f(2,5)×eq\f(6,10)＝eq\f(6,25)，从甲盒中随机取出一个黑球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个白球或红球的概率为P3＝eq\f(1,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(7,50)，则P(A)＝P1＋P2＋P3＝eq\f(1,5)＋eq\f(6,25)＋eq\f(7,50)＝eq\f(29,50)，故选D.4.(2023·日照模拟)已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为(D)A.eq\f(5,28) B．eq\f(5,14)C．eq\f(15,56) D．eq\f(15,28)【解析】5只鸡，3只兔子走出房门，共有Aeq\o\al(8,8)种不同的方案，其中恰有2只兔子相邻走出房子的方案为：先排5只鸡，会产生6个空隙，再从3只兔子中选2只捆绑排列，最后与剩下的兔子排列到6个空隙中共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,6)种方案，故恰有2只兔子相邻走出房子的概率为P＝eq\f(A\o\al(5,5)A\o\al(2,3)A\o\al(2,6),A\o\al(8,8))＝eq\f(15,28).故选D.5.某学生进行投篮训练，采取积分制，有7次投篮机会，投中一次得1分，不中得0分，若连续投中两次则额外加1分，连续投中三次额外加2分，以此类推，连续投中七次额外加6分，假设该学生每次投中的概率是eq\f(1,2)，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是(B)A.eq\f(9,128) B．eq\f(5,64)C．eq\f(11,128) D．eq\f(3,32)【解析】根据题意，该学生在此次训练中恰好得7分，可分为三类情况：①若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中排序，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)＝4种选择，故概率为4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))3＝eq\f(1,32)；②若连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续，故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况：中中中(不中)中(不中)中，中(不中)中中中(不中)中，中(不中)中(不中)中中中，则概率为Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＝eq\f(3,128)；③若有两次连中两回，有以下情况：中中(不中)中中(不中)中，中(不中)中中(不中)中中，中中(不中)中(不中)中中，满足要求，则概率为Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＝eq\f(3,128)，综上，该生在比赛中恰好得7分的概率为eq\f(1,32)＋eq\f(3,128)＋eq\f(3,128)＝eq\f(5,64).故选B.6.(2023·安徽模拟)一个盒子中装有5个黑球和4个白球，现从中先后无放回的取2个球，记“第一次取得黑球”为事件A，“第二次取得白球”为事件B，则P(AB)＋P(B|A)＝(A)A.eq\f(7,9) B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,6) D．eq\f(8,9)【解析】∵P(AB)＝eq\f(5,9)×eq\f(4,8)＝eq\f(5,18)，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(5,18),\f(5,9))＝eq\f(1,2)，∴P(AB)＋P(B|A)＝eq\f(7,9).故选A.7.(2023·建华区模拟)2022年小李夫妇开设了一家包子店，经统计，发现每天包子的销量X～N(1000,502)(单位：个)，估计300天内每天包子的销量约在950到1100个的天数大约为(B)(附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)A．236 B．246C．270 D．275【解析】由题意可知，μ＝1000，σ＝50，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝P(950≤X≤1050)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝P(900≤X≤1100)≈0.9545，P(950≤X≤1100)＝P(950≤X≤1050)＋eq\f(1,2)[P(900≤X≤1100)－P(950≤X≤1050)]≈0.8186，则300天内每天包子的销量约在950到1100个的天数大约为300×0.8186≈246.故选B.8.(2023·鲤城区校级模拟)在数字通信中，信号是由数字0和1组成．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为(B)A．0.475 B．0.525C．0.425 D．0.575【解析】设B＝“接收到的信号为0”，A＝“发送的信号为0”，则eq\x\to(A)＝“发送的信号为1”，eq\x\to(B)＝“接收到的信号为1”，所以P(A)＝0.5，P(eq\x\to(A))＝0.5，P(B|A)＝0.9，P(eq\x\to(B)|A)＝0.1，P(B|eq\x\to(A))＝0.05，P(eq\x\to(B)|eq\x\to(A))＝0.95，所以接收信号为0的概率为：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))＝0.5×0.9＋0.5×0.05＝0.475，所以接收信号为1的概率为：P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－0.475＝0.525.故选B.二、多项选择题9.(2023·盐城模拟)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是(ABC)A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55【解析】依题意，P(A)＝eq\f(55,100)＝0.55，P(B)＝eq\f(18,100)＝0.18，显然事件A，B互斥，P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，事件B，C互斥，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.45，于是得选项A、B、C都正确，选项D不正确．故选ABC.10.(2023·海珠区校级三模)已知事件A，B，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，则(ABD)A．如果B⊆A，那么P(AB)＝0.3B．如果B⊆A，那么P(A∪B)＝0.4C．如果A与B相互独立，那么P(A∪B)＝0.7D．如果A与B相互独立，那么P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝0.42【解析】如果B⊆A，则P(AB)＝P(B)＝0.3，故A正确；如果B⊆A，则P(A∪B)＝P(A)＝0.4，故B正确；如果A与B相互独立，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.4＋0.3－P(AB)＝0.7－P(A)P(B)＝0.7－0.4×0.3＝0.58，故C不正确；如果A与B相互独立，则P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－0.4)×(1－0.3)＝0.42，故D正确．故选ABD.11.(2023·南京模拟)甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则(ACD)A．P(A)＝eq\f(1,2) B．P(B|A)＝eq\f(1,3)C．P(B)＝eq\f(7,12) D．P(A|B)＝eq\f(4,7)【解析】因为甲罐中有2个红球、2个黑球，所以P(A)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，故选项A正确；因为P(B)＝eq\f(2,4)×eq\f(4,6)＋eq\f(2,4)×eq\f(3,6)＝eq\f(7,12)，所以选项C正确；因为P(AB)＝eq\f(2,4)×eq\f(4,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(7,12)，所以P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(4,7)，故选项D正确；因为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,3),\f(1,2))＝eq\f(2,3)，所以选项B错误．故选ACD.12.(2023·船营区校级模拟)现有甲、乙两个箱子，甲中有2个红球，2个黑球，6个白球，乙中有5个红球和4个白球，现从甲箱中取出一球放入乙箱中，分别以A1，A2，A3表示由甲箱中取出的是红球，黑球和白球的事件，再从乙箱中随机取出一球，则下列说法正确的是(ABC)A．A1，A2，A3两两互斥．B．根据上述抽法，从乙中取出的球是红球的概率为eq\f(13,25).C．以B表示由乙箱中取出的是红球的事件，则P(A2|B)＝eq\f(5,26).D．在上述抽法中，若取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，则取出的两球都是红球的概率为eq\f(13,45).【解析】依题意，P(A1)＝P(A2)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，P(A3)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，事件A1，A2不可能同时发生，即P(A1A2)＝0，因此事件A1，A2互斥，同理：事件A2，A3，事件A1，A3互斥，故A正确；从乙箱中取出的是红球的事件为B，则P(B|A1)＝eq\f(3,5)，P(B|A2)＝P(B|A3)＝eq\f(1,2)，因此P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＝eq\f(13,25)，故B正确；由选项B知，P(A2|B)＝eq\f(PA2B,PB)＝eq\f(PB|A2PA2,PB)＝eq\f(\f(1,2)×\f(1,5),\f(13,25))＝eq\f(5,26)，故C正确；取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，取出的两球都是红球的事件可以分拆成2个互斥事件的和，记甲箱中取红球入乙箱，再从乙箱取红球、甲箱中取红球的事件为M1，则P(M1)＝eq\f(1,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,75)，记甲箱中取黑球或白球入乙箱，再从乙箱取红球、甲箱中取红球的事件为M2，则P(M2)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(2,9)＝eq\f(4,45)，所以所求概率为P(M1)＋P(M2)＝eq\f(1,75)＋eq\f(4,45)＝eq\f(23,225)，故D错误．故选ABC.三、填空题13.(2023·山西模拟)已知随机变量ξ服从正态分布Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，σ2))，且P(ξ＜－1)＝P(ξ＞m)，则(x＋m)6的展开式中x的系数为_192__.【解析】因为随机变量ξ服从正态分布Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，σ2))，且P(ξ＜－1)＝P(ξ＞m)，所以－1＋m＝2×eq\f(1,2)，故m＝2，二项式(x＋2)6展开式的通项Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)x6－k2k，令6－k＝1，可得k＝5，所以(x＋2)6展开式中x的系数为Ceq\o\al(5,6)25＝192.14.(2023·宿迁模拟)若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3))).【解析】∵随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<PA<1，,0<PB<1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<4a－5<1，,3a－3≤1，))解得eq\f(5,4)<a≤eq\f(4,3)，即a∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3))).15．已知P(B)＝eq\f(3,10)，P(B|A)＝eq\f(9,10)，P(B|eq