必修5正余弦定理讲解及练习及答案

解三角形(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：；；；〔=4\*romaniv〕eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)②三角形两边一对角，求解三角形时，假设运用正弦定理，那么务必注意可能有两解.如〔1〕(2012·广东高考)在△ABC中，假设∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3eq\r(2)，那么AC＝()A．4eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3),2)(3)余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.如．〔1〕在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，假设a2＋c2－b2＝eq\r(3)ac，那么角B的值为________．〔2〕2012·北京高考)在△ABC中，假设a＝2，b＋c＝7，cosB＝－eq\f(1,4)，那么b＝________．(4)面积公式：〔其中为三角形内切圆半径〕.如〔1〕中，假设，判断的形状。〔2〕△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，那么△ABC的面积为________．特别提醒：〔1〕求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；〔2〕求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如〔1〕中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的A、有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定〔2〕在中，A＞B是成立的_____条件(3)在中，分别是角A、B、C所对的边，假设，那么＝____〔4〕在中，假设其面积，那么=____〔5〕在中，，这个三角形的面积为，那么外接圆的直径是_______正余弦定理的应用问题1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图3－8－1①)．图3－8－12．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图3－8－1②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．3．坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比．例题讲解1．如下图，两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，那么灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akmD．2akm2．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，假设∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，那么A、C两点之间的距离为________千米．3．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，那么这只船航行的速度为________海里/时．4．(2013·梅州模拟)如图3－8－3，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m．那么这条河的宽度为________m.图3－8－3正弦定理一、根底过关1．在△ABC中，A＝60°，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，那么B等于 ()A．45°或135° B．60°C．45° D．135°2．在△ABC中，假设eq\r(3)a＝2bsinA，那么B为 ()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,3)或eq\f(2,3)π D.eq\f(π,6)或eq\f(5,6)π3．在△ABC中，假设A＝30°，B＝60°，b＝eq\r(3)，那么a等于 ()A．3 B．1 C．2 D.eq\f(1,2)4．以下判断中正确的选项是 ()A．当a＝4，b＝5，A＝30°时，三角形有一解B．当a＝5，b＝4，A＝60°时，三角形有两解C．当a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝120°时，三角形有一解D．当a＝eq\f(3,2)eq\r(2)，b＝eq\r(6)，A＝60°时，三角形有一解5．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，那么△ABC的面积S△ABC等于 ()A.eq\r(3)＋1B.eq\r(3)－1C.eq\r(3)＋2D.eq\r(3)－26．在△ABC中，c＝eq\r(3)，b＝1，B＝30°，那么△ABC的面积为 ()．A.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3) B.eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)C.eq\r(3)或eq\f(\r(3),4) D.eq\r(3)7．在△ABC中，以下等式中总能成立的是 ()A．asinA＝bsinB B．bsinC＝csinAC．absinC＝bcsinB D．asinC＝csinA8．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，那么△ABC为 ()A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形9．在△ABC中，假设eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，那么△ABC是 ()A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形10．在△ABC中，假设a＝5，b＝3，C＝120°，那么sinA∶sinB的值是 ()．A.eq\f(5,3) B.eq\f(3,5) C.eq\f(3,7) D.eq\f(5,7)11．在△ABC中，假设sinA>sinB，那么角A与角B的大小关系为 ()．A．A>B B．A<BC．A≥B D．A，B的大小关系不能确定12．在△ABC中，假设eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，那么△ABC中最长的边是 ()．A．a B．b C．c D．b或c13．假设△ABC的面积为eq\r(3)，BC＝2，C＝60°，那么边AB的长度为_______．14．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶4∶5，那么eq\f(2sinA－sinB,sinC)＝______.15．在△ABC中，假设b＝5，B＝eq\f(π,4)，sinA＝eq\f(1,3)，那么a＝______.16．在△ABC中，假设AC＝eq\r(6)，BC＝2，B＝60°，那么C＝______.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝eq\f(π,3)，b＝1，三角形ABC的外接圆半径为1，那么△ABC的面积S＝_______.18．以下条件判断三角形解的情况，正确的选项是_______．①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；④a＝30，b＝25，A＝150°，有一解．19．在△ABC中，假设A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，那么eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝_______.20.在△ABC中，A＝60°，a＝6eq\r(3)，b＝12，S△ABC＝18eq\r(3)，那么eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝______，c＝_____.21.在△ABC中，2eq\r(3)asinB＝3b，且cosB＝cosC，试判断△ABC的形状．22.在△ABC中，假设eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，试判断三角形的形状．23．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，假设b＝2a，B＝A＋60°，求A的值．24．在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.25．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，假设a＝2，C＝eq\f(π,4)，coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，求△ABC的面积S.余弦定理一、根底过关1．在△ABC中，假设b2＝a2＋c2＋ac，那么B等于 ()A．60° B．45°或135°C．120° D．30°2．在△ABC中，a＝9，b＝2eq\r(3)，C＝150°，那么c等于 ()．A.eq\r(39) B．8eq\r(3) C．10eq\r(2) D．7eq\r(3)3．假设三条线段的长分别为5,6,7，那么用这三条线段 ()A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形4．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，那么cosC的值为 ()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3) C.eq\f(1,4) D．－eq\f(1,4)5．在△ABC中，b＝3，c＝3eq\r(3)，A＝30°，那么角C等于 ()A．30° B．120° C．60° D．150°6．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，假设a＝2bcosC，那么此三角形一定是()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形7．在△ABC中，假设a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，那么△ABC的最小角为 ()．A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,12)8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设eq\f(c2－a2－b2,2ab)>0，那么△ABC ()．A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形9．a、b、c为△ABC的三边长，假设满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，那么∠C的大小为()A．60° B．90° C．120° D．150°10．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最小外角为 ()A．30° B．60° C．90° D．120°11．在△ABC中，b2＝ac且c＝2a，那么cosB等于 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4) C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(2),3)12．假设△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且∠C＝60°，那么ab的值为 () A.eq\f(4,3) B．8－4eq\r(3) C．1 D.eq\f(2,3)13．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，那么三角形一定是 ()．A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形14．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝eq\f(\r(3),2)，那么边BC的长为 ()．A.eq\r(3) B．3 C.eq\r(7) D．715．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为eq\r(3)，那么eq\f(a,sinA)等于 ()．A.eq\f(2\r(39),3) B.eq\f(2\r(29),3) C.eq\f(26\r(3),3) D．3eq\r(3)17．△ABC的内角B＝60°，且AB＝1，BC＝4，那么边BC上的中线AD的长为________．18．在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，那么A＝________.19．a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，那么a2＋c2＋ac－b2＝________.20.在△ABC中，假设(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，那么A＝________.21.在△ABC中，a＝5，b＝7，B＝120°，那么△ABC的面积为________．22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝eq\f(1,4)，a＝4，b＋c＝6，且b<c，求b，c的值．23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积．24．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－eq\r(2)asinC＝bsinB.(1)求B；(2)假设A＝75°，b＝2，求a，c.25．在△ABC中，a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长．解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝4,a＋c＝2b))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＋4,c＝b－4)).∴a>b>c，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bccos120°，即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.当b＝10时，a＝14，c＝6.26．a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且a2＋c2－b2＝ac.(1)求角B的大小；(2)假设c＝3a，求tanA的值．解(1)由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2).∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).(2)法一将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝eq\r(7)a.由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(5\r(7),14).∵0<A<π，∴sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(21),14).∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\r(3),5).法二将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝eq\r(7)a.由正弦定理，得sinB＝eq\r(7)sinA.∵B＝eq\f(π,3)，∴sinA＝eq\f(\r(21),14).又∵b＝eq\r(7)a>a，那么B>A，∴cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(5\r(7),14).∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\r(3),5).27．在△ABC中，B＝45°，AC＝eq\r(10)，cosC＝eq\f(2\r(5),5).(1)求边BC的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．解(1)由正弦定理知BC＝eq\f(AC,sinB)·sinA＝eq\f(\r(10),\f(\r(2),2))·eq\f(3\r(10),10)＝3eq\r(2).(2)由余弦定理知CD＝eq\r(BD2＋BC2－2BD·BC·cosB)＝eq\r(1＋18－2×1×3\r(2)×\f(\r(2),2))＝eq\r(13).28.在△ABC中，A＝120°，c>b，a＝eq\r(21)，S△ABC＝eq\r(3)，求b，c.解∵S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)，∴bc＝4.①又a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b＋c＝5，②又c>b，由①②得b＝1，c＝4.29．在△ABC中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，c＝2，C＝eq\f(π,3).(1)假设△ABC的面积等于eq\r(3)，求a，b；(2)假设sinB＝2sinA，求△ABC的面积．解(1)∵S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)ab·eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴ab＝4. ①∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－2abcosC＝(a＋b)2－12＝4.∴a＋b＝4. ②由①②可得a＝2，b＝2.(2)∵sinB＝2sinA，∴b＝2a.又∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝4.∴a＝eq\f(2\r(3),3)，b＝eq\f(4\r(3),3).∴S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(2\r(3),3).1.2正、余弦定理应用举例1．两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，那么灯塔A与灯塔B的距离为(B)A．akm B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm2．海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B、C间的距离是 (.D)A．10eq\r(3)nmile B.eq\f(10\r(6),3)nmileC．5eq\r(2)nmile D．5eq\r(6)nmile如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60m，那么树的高度为 (A)A．(30＋30eq\r(3))m B．(30＋15eq\r(3))mC．(15＋30eq\r(3))m D．(15＋3eq\r(3))m如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°的方向上，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，那么货轮的速度为 (B) A．20(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/小时B．20(eq\r(6)－eq\r(2))海里/小时C．20(eq\r(6)＋eq\r(3))海里/小时D．20(eq\r(6)－eq\r(3))海里/小时5.某人先向正东方向走了xkm，然后他向右转150°，向新的方向走了3km，结果他离出发点恰好为eq\r(3)km，那么x的值为 (C)．A.eq\r(3) B．2eq\r(3) C．2eq\r(3)或eq\r(3) D．3解析根据余弦定理可得，(eq\r(3))2＝x2＋32－2×3xcos(180°－150°)，即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，∴x＝2eq\r(3)或eq\r(3).6.从200m高的山顶看，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，那么塔高为(A)．A.eq\f(400,3)m B.eq\f(400\r(3),3)m C.eq\f(200\r(3),3)m D.eq\f(200,3)m解析由山顶与塔底的俯角为60°可知，山脚与塔底的水平距离为eq\f(200,\r(3))，又山顶看塔顶的俯角为30°，设塔高为xm，那么200－x＝eq\f(200,\r(3))×eq\f(\r(3),3)，∴x＝eq\f(400,3)m．应选A.7．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，那么电视塔在这次测量中的高度是 (D)． A．100eq\r(2)mB．400mC．200eq\r(3)mD．500m解析由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由BC＝h，在Rt△ABD中，由BD＝eq\r(3)h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得，3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500m．应选D.8.如下图，为了测量河的宽度，在一侧岸边选定两点A，B，在另一侧岸边选定点C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，那么河的宽度为____60m____．设河宽hm，那么eq\f(h,tan30°)＋eq\f(h,tan75°)＝120，又∵tan75°＝eq\f(3＋\r(3),3－\r(3))，∴eq\r(3)h＋eq\f(3－\r(3),3＋\r(3))h＝120，∴h＝60m.9．A，B两岛相距10nmile，从A岛看B，C两岛的视角为60°，从B岛看A，C两岛的视角是75°，那么B，C两岛的距离为__5eq\r(6)______nmile.解析A，B，C为△ABC的顶点，且A＝60°，B＝75°，∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋75°)＝45°.根据正弦定理得，BC＝eq\f(ABsinA,sinC)＝eq\f(10·sin60°,sin45°)＝5eq\r(6)(nmile)．10．要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距eq\r(3)km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．解如下图，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3)(km)．在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(km)．△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°＝3＋2＋eq\r(3)－eq\r(3)＝5，∴AB＝eq\r(5)(km)．∴A、B之间的距离为eq\r(5)km.11．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．如下图∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝30(m)，∴BC＝30(m)，BD＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3)(m)．在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900，∴CD＝30(m)，即两船相距30m.解三角形(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：；；；〔=4\*romaniv〕eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)②三角形两边一对角，求解三角形时，假设运用正弦定理，那么务必注意可能有两解.如〔1〕(2012·广东高考)在△ABC中，假设∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3eq\r(2)，那么AC＝()A．4eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3),2)【解析】在△ABC中，根据正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，∴AC＝eq\f(BC·sinB,sinA)＝eq\f(3\r(2)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝2eq\r(3).【答案】B(3)余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.如．如．〔1〕在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，假设a2＋c2－b2＝eq\r(3)ac，那么角B的值为___eq\f(π,6)_____．〔2〕2012·北京高考)在△ABC中，假设a＝2，b＋c＝7，cosB＝－eq\f(1,4)，那么b＝________．【解析】由b2＝a2＋c2－2accosB及b＋c＝7，得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×(－eq\f(1,4))，整理得15b－60＝0.∴b＝4.【答案】4(4)面积公式：〔其中为三角形内切圆半径〕.如〔1〕中，假设，判断的形状〔答：直角三角形〕。〔2〕△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，那么△ABC的面积为________．【解析】由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.故S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BCsin120°＝eq\f(1,2)×5×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4).【答案】eq\f(15\r(3),4)特别提醒：〔1〕求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；〔2〕求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如〔1〕中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的A、有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定〔答：C〕；〔2〕在中，A＞B是成立的_____条件〔答：充要〕；(3)在中，分别是角A、B、C所对的边，假设，那么＝____〔答：〕；〔4〕在中，假设其面积，那么=____〔答：〕；〔5〕在中，，这个三角形的面积为，那么外接圆的直径是_______〔答：〕；正余弦定理的应用问题1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图3－8－1①)．图3－8－12．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图3－8－1②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．3．坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比．例题讲解图3－8－21．(人教A版教材习题改编)如图3－8－2所示，两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，那么灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akmD．2akm【解析】在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，AB＝eq\r(3)a.【答案】B2．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，假设∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，那么A、C两点之间的距离为________千米．【解析】在△ABC中，∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，又AB＝2，由正弦定理，得eq\f(AC,sin60°)＝eq\f(AB,sin45°)，故AC＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)3．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，那么这只船航行的速度为________海里/时．【解析】如图．由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，由正弦定理，得eq\f(MN,sin120°)＝eq\f(PM,sin45°)，∴MN＝34eq\r(6).又由M到N所用时间为14－10＝4小时，∴船的航行速度v＝eq\f(34\r(6),4)＝eq\f(17,2)eq\r(6)(海里/时)．【答案】eq\f(17,2)eq\r(6)4．(2013·梅州模拟)如图3－8－3，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m．那么这条河的宽度为________m.图3－8－3【解析】因为∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，那么∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，所以AC＝AB＝120m，所以S△ABC＝eq\f(1,2)·AC·AB·sinA＝eq\f(1,2)×120×120×eq\f(1,2)＝3600，设这条河的宽度为h，那么S△ABC＝eq\f(1,2)×AB·h，∴h＝AC·sinA＝120×eq\f(1,2)＝60(m)．【答案】601．1．1正弦定理一、根底过关1．在△ABC中，A＝60°，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，那么B等于 (C)A．45°或135° B．60°C．45° D．135°2．在△ABC中，假设eq\r(3)a＝2bsinA，那么B为 (C)A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,3)或eq\f(2,3)π D.eq\f(π,6)或eq\f(5,6)π3．在△ABC中，假设A＝30°，B＝60°，b＝eq\r(3)，那么a等于 (B)A．3 B．1 C．2 D.eq\f(1,2)4．以下判断中正确的选项是 (D)A．当a＝4，b＝5，A＝30°时，三角形有一解B．当a＝5，b＝4，A＝60°时，三角形有两解C．当a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝120°时，三角形有一解D．当a＝eq\f(3,2)eq\r(2)，b＝eq\r(6)，A＝60°时，三角形有一解5．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，那么△ABC的面积S△ABC等于 (A)A.eq\r(3)＋1B.eq\r(3)－1C.eq\r(3)＋2D.eq\r(3)－26．在△ABC中，c＝eq\r(3)，b＝1，B＝30°，那么△ABC的面积为 (B)．A.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3) B.eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)C.eq\r(3)或eq\f(\r(3),4) D.eq\r(3)解析根据正弦定理：sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\r(3)sin30°＝eq\f(\r(3),2).∵c>b，∴C>B＝30°，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bc＝eq\f(\r(3),2)；当C＝120°时，A＝180°－(30°＋120°)＝30°，∴△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)sin30°＝eq\f(\r(3),4).7．在△ABC中，以下等式中总能成立的是 (D)A．asinA＝bsinB B．bsinC＝csinAC．absinC＝bcsinB D．asinC＝csinA8．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，那么△ABC为 (A)A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形9．在△ABC中，假设eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，那么△ABC是 (B)A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形10．在△ABC中，假设a＝5，b＝3，C＝120°，那么sinA∶sinB的值是 (A)．A.eq\f(5,3) B.eq\f(3,5) C.eq\f(3,7) D.eq\f(5,7)解析在△ABC中，C＝120°，故A，B都是锐角．据正弦定理eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,b)＝eq\f(5,3).11．在△ABC中，假设sinA>sinB，那么角A与角B的大小关系为 (A)．A．A>B B．A<BC．A≥B D．A，B的大小关系不能确定解析由sinA>sinB⇔2RsinA>2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)⇔a>b⇔A>B.12．在△ABC中，假设eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，那么△ABC中最长的边是 (A)．A．a B．b C．c D．b或c解析由正弦定理知sinB＝cosB，sinC＝cosC，∴B＝C＝45°，∴A＝90°，应选A.13．假设△ABC的面积为eq\r(3)，BC＝2，C＝60°，那么边AB的长度为____2____．14．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶4∶5，那么eq\f(2sinA－sinB,sinC)＝___eq\f(2,5)_____.15．在△ABC中，假设b＝5，B＝eq\f(π,4)，sinA＝eq\f(1,3)，那么a＝__eq\f(5\r(2),3)____.16．在△ABC中，假设AC＝eq\r(6)，BC＝2，B＝60°，那么C＝___75°_____.解析由正弦定理得eq\f(2,sinA)＝eq\f(\r(6),sin60°)，∴sinA＝eq\f(\r(2),2).∵BC＝2<AC＝eq\r(6)，∴A为锐角．∴A＝45°.∴C＝75°.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝eq\f(π,3)，b＝1，三角形ABC的外接圆半径为1，那么△ABC的面积S＝____eq\f(\r(3),2)___.解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R，∴a＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(1,2)，∴a>b，∴A>B，∴B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(π,2).∴S△ABC＝eq\f(\r(3),2).18．以下条件判断三角形解的情况，正确的选项是__④______．①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；④a＝30，b＝25，A＝150°，有一解．解析①中a＝bsinA，有一解；②中csinB<b<c，有两解；③中A＝90°且a>b，有一解．19．在△ABC中，假设A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，那么eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝____2____.解析由A＝30°，B＝60°，C＝90°，eq\f(a,sinA)＝2.∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(2b,2sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝2.20.在△ABC中，A＝60°，a＝6eq\r(3)，b＝12，S△ABC＝18eq\r(3)，那么eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝__12____，c＝__6____.21.在△ABC中，2eq\r(3)asinB＝3b，且cosB＝cosC，试判断△ABC的形状．解∵2eq\r(3)asinB＝3b，∴2eq\r(3)·(2RsinA)·sinB＝3(2RsinB)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝60°或120°.∵cosB＝cosC，∴B＝C.当A＝60°时，△ABC是等边三角形；当A＝120°时，△ABC是顶角为120°的等腰三角形．22.在△ABC中，假设eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，试判断三角形的形状．由正弦定理知eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(4,3)，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).又∵eq\f(b,a)>1，∴B>A，∴△ABC为直角三角形．23．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，假设b＝2a，B＝A＋60°，求A的值．∵b＝2a∴sinB＝2sinA，又∵B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sinA，∴sinA＝eq\f(\r(3),3)cosA，∴tanA＝eq\f(\r(3),3)，∴A＝30°.24．在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.解∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴a＝eq\f(10×sin45°,sin30°)＝10eq\r(2).B＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(10×sin105°,sin30°)＝20sin75°＝20×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝5(eq\r(6)＋eq\r(2))．25．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，假设a＝2，C＝eq\f(π,4)，coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，求△ABC的面积S.解cosB＝2cos2eq\f(B,2)－1＝eq\f(3,5)，故B为锐角，sinB＝eq\f(4,5).所以sinA＝sin(π－B－C)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－B))＝eq\f(7\r(2),10).由正弦定理得c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(10,7)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×2×eq\f(10,7)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,7).1．1．2余弦定理一、根底过关1．在△ABC中，假设b2＝a2＋c2＋ac，那么B等于 (C)A．60° B．45°或135°C．120° D．30°2．在△ABC中，a＝9，b＝2eq\r(3)，C＝150°，那么c等于 (D)．A.eq\r(39) B．8eq\r(3) C．10eq\r(2) D．7eq\r(3)解析c2＝a2＋b2－2abcosC＝92＋(2eq\r(3))2－2×9×2eq\r(3)cos150°＝147＝(7eq\r(3))2，∴c＝7eq\r(3)3．假设三条线段的长分别为5,6,7，那么用这三条线段 (B)A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形4．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，那么cosC的值为 (A)A.eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3) C.eq\f(1,4) D．－eq\f(1,4)5．在△ABC中，b＝3，c＝3eq\r(3)，A＝30°，那么角C等于 (B)A．30° B．120° C．60° D．150°6．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，假设a＝2bcosC，那么此三角形一定是(C)A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形7．在△ABC中，假设a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，那么△ABC的最小角为 (B)．A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,12)解析∵c<b<a，∴最小角为角C.∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(49＋48－13,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2).∴C＝eq\f(π,6)，应选B.8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设eq\f(c2－a2－b2,2ab)>0，那么△ABC (C)．A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形解析∵eq\f(c2－a2－b2,2ab)>0，∴c2－a2－b2>0.∴a2＋b2<c2.∴△ABC为钝角三角形．应选C.9．a、b、c为△ABC的三边长，假设满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，那么∠C的大小为(C)A．60° B．90° C．120° D．150°10．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最小外角为 (B)A．30° B．60° C．90° D．120°11．在△ABC中，b2＝ac且c＝2a，那么cosB等于 (B)A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4) C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(2),3)12．假设△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且∠C＝60°，那么ab的值为 (A) A.eq\f(4,3) B．8－4eq\r(3) C．1 D.eq\f(2,3)13．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，那么三角形一定是 (B)．A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形余弦定理b2＝a2＋c2－ac∴a2＋c2－2ac＝0，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.∵B＝60°，∴A＝C＝60°.△ABC为等边三角形．14．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝eq\f(\r(3),2)，那么边BC的长为 (A)．A.eq\r(3) B．3 C.eq\r(7) D．7∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA＝eq\f(\r(3),2)，∴AC＝1.由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3.即BC＝eq\r(3).15．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为eq\r(3)，那么eq\f(a,sinA)等于 (A)．A.eq\f(2\r(39),3) B.eq\f(2\r(29),3) C.eq\f(26\r(3),3) D．3eq\r(3)解析由S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)可知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋16－8cos60°＝13，∴a＝eq\r(13).∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(13),sin60°)＝eq\f(2\r(39),3).17．△ABC的内角B＝60°，且AB＝1，BC＝4，那么边BC上的中线AD的长为___eq\r(3)_____．18．在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，那么A＝_30°_______.19．a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，那么a2＋c2＋ac－b2＝___0_____.解析∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos120°＝a2＋c2＋ac.∴原式为0.20.在△ABC中，假设(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，那么A＝____120°____.∵(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，∴a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2).∵0°<A<180°，∴A＝120°.21.在△ABC中，a＝5，b＝7，B＝120°，那么△ABC的面积为___eq\f(15\r(3),4)_____．由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即c2＋5c－24＝0，解得c＝3.∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×5×3sin120°＝eq\f(15\r(3),4).22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝eq\f(1,4)，a＝4，b＋c＝6，且b<c，求b，c的值．解由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，∴16＝(b＋c)2－2bc－eq\f(1,2)bc∴bc＝8，又∵b＋c＝6，b<c，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝6，,bc＝8，))得b＝2，c＝4或b＝4，c＝2(舍)．∴b＝2，c＝4.23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积．(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－eq\f(1,2)，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°(2)∵a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2.))∴AB2＝a2＋b2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝eq\r(10).(3)S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),2).24．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－eq\r(2)asinC＝bsinB.(1)求B；(2)假设A＝75°，b＝2，求a，c.(1)由正弦定理得a2＋c2－eq\r(2)ac＝b2由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，故cosB＝eq\f(\r(2),2).因此B＝45°.(2)sinA＝sin(30°＋45°)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4).故a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),\r(2))＝1＋eq\r(3)，c＝eq\f(bsinC,sinB)＝2×eq\f(sin60°,sin45°)＝eq\r(6).25．在△ABC中，a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长．解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝4,a＋c＝2b))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＋4,c＝b－4)).∴a>b>c，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bccos120°，即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.当b＝10时，a＝14，c＝6.26．a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且a2＋c2－b2＝ac.(1)求角B的大小；(2)假设c＝3a，求tanA的值．解(1)由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2).∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).(2)法一将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝eq\r(7)a.由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(5\r(7),14).∵0<A<π，∴sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(21),14).∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\r(3),5).法二将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝eq\r(7)a.由正弦定理，得sinB＝eq\r(7)sinA.∵B＝eq\f(π,3)，∴sinA＝eq\f(\r(21),14).又∵b＝eq\r(7)a>a，那么B>A，∴cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(5\r(7),14).∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\r(3),5).27．在△ABC中，B＝45°，AC＝eq\r(10)，cosC＝eq\f(2\r(5),5).(1)求边BC的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．解(1)由正弦定理知BC＝eq\f(AC,sinB)·sinA＝eq\f(\r(10),\f(\r(2),2))·eq\f(3\r(10),10)＝3eq\r(2).(2)由余弦定理知CD＝eq\r(BD2＋BC2－2BD·BC·cosB)＝eq\r(1＋18－2×1×3\r(2)×\f(\r(2),2))＝eq\r(13).28.在△ABC中，A＝120°，c>b，a＝eq\r(21)，S△ABC＝eq\r(3)，求b，c.解∵S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)，∴bc＝4.①又a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b＋c＝5，②又c>b，由①②得b＝1，c＝4.29．在△ABC中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，c＝2，C＝eq\f(π,3).(1)假设△ABC的面积等于eq\r(3)，求a，b；(2)假设sinB＝2sinA，求△ABC的面积．解(1)∵S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)ab·eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴ab＝4. ①∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－2abcosC＝(a＋b)2－12＝4.∴a＋b＝4. ②由①②可得a＝2，b＝2.(2)∵sinB＝2sinA，∴b＝2a.又∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝4.∴a＝eq\f(2\r(3),3)，b＝eq\f(4\r(3),3).∴S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(2\r(3),3).课后作业(二十四)正弦定理和余弦定理(见学生用书第284页)一、选择题1．(2013·韶关模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.假设acosA＝bsinB，那么sinAcosA＋cos2B＝()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－1D．1【解析】由acosA＝bsinB得sinAcosA＝sin2B，∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.【答案】D2．假设△ABC中，6sinA＝4sinB＝3sinC，那么cosB＝()A.eq\f(\r(15),4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3\r(15),16)D.eq\f(11,16)【解析】由正弦定理得6a＝4b＝3c，所以b＝eq\f(3,2)a，c＝2a.所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋〔2a〕2－〔\f(3,2)a〕2,2a×〔2a〕)＝eq\f(11,16).【答案】D3．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，那么A的取值范围是()A．(0，eq\f(π,6)]B．[eq\f(π,6)，π]C．(0，eq\f(π,3)]D．[eq\f(π,3)，π)【解析】由正弦定理得a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，那么cosA≥eq\f(1,2).因为0＜A＜π，所以0＜A≤eq\f(π,3).【答案】C4．(2013·梅州调研)△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，AC＝2，∠BAC＝60°，那么∠ACB＝()A．30°B．60°C．90°D．150°【解析】由S△＝eq\f(1,2)AB·ACsin∠BAC＝ABsin60°＝eq\f(\r(3),2)，得AB＝1，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝3，∴BC＝eq\r(3).由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，∴sin∠ACB＝eq\f(AB·sin∠BAC,BC)＝eq\f(sin60°,\r(3))＝eq\f(1,2)，又AB＜BC，∴∠ACB＜60°，∴∠ACB＝30°.【答案】A5．(2012·湖北高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C，3b＝20acosA，那么sinA∶sinB∶sinC为()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4【解析】∵A>B>C，∴a>b>c.设a＝b＋1，c＝b－1，由3b＝20acosA，得3b＝20(b＋1)×eq\f(b2＋〔b－1〕2－〔b＋1〕2,2b〔b－1〕).化简，得7b2－27b－40＝0.解得b＝5或b＝－eq\f(8,7)(舍去)，∴a＝6，c＝4.∴sinA∶sinB∶sinC＝6∶5∶4.【答案】D二、填空题6．(2012·北京高考)在△ABC中，假设a＝3，b＝eq\r(3)，∠A＝eq\f(π,3)，那么∠C的大小为________．【解析】在△ABC中，由正弦定理可知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(3),2),3)＝eq\f(1,2).又∵a>b，∴∠B＝eq\f(π,6).∴∠C＝π－∠A－∠B＝eq\f(π,2).【答案】eq\f(π,2)7(2012·湖北高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.假设(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，那么角C＝________．【解析】由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得a2＋b2－c2＝－ab，那么cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2).又因为角C为△ABC的内角，所以C＝eq\f(2π,3).【答案】eq\f(2π,3)8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，假设a2－c2＝b，且b＝3ccosA，那么b＝________．【解析】由余弦定理知b＝3ccosA＝3c×eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，∴b2＝3(a2－c2)，又a2－c2＝b，∴b2＝3b，∴b＝3.【答案】3三、解答题9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc.(1)求角A的大小；(2)假设sinB·sinC＝sin2A，试判断△ABC的形状．【解】(1)由得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，又∠A是△ABC的内角，∴A＝eq\f(π,3).(2)由正弦定理，得bc＝a2，又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc.∴(b－c)2＝0，即b＝c.又A＝eq\f(π,3)，∴△ABC是等边三角形．10．(2012·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.A＝eq\f(π,4)，bsin(eq\f(π,4)＋C)－csin(eq\f(π,4)＋B)＝a.(1)求证：B－C＝eq\f(π,2)；(2)假设a＝eq\r(2)，求△ABC的面积．【证明】(1)由bsin(eq\f(π,4)＋C)－csin(eq\f(π,4)＋B)＝a，得sinBsin(eq\f(π,4)＋C)－sinCsin(eq\f(π,4)＋B)＝sinA，sinB(eq\f(\r(2),2)sinC＋eq\f(\r(2),2)cosC)－sinC(eq\f(\r(2),2)sinB＋eq\f(\r(2),2)cosB)＝eq\f(\r(2),2)，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1.由于0<B<eq\f(3,4)π，且0＜C＜eq\f(3,4)π，从而B－C＝eq\f(π,2).(2)B＋C＝π－A＝eq\f(3π,4)，因此B＝eq\f(5π,8)，C＝eq\f(π,8).由a＝eq\r(2)，A＝eq\f(π,4)，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝2sineq\f(5π,8)，c＝eq\f(asinC,sinA)＝2sineq\f(π,8)，所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(2)sineq\f(5π,8)sineq\f(π,8)＝eq\r(2)coseq\f(π,8)sineq\f(π,8)＝eq\f(1,2).11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sinC＋cosC＝1－sineq\f(C,2).(1)求sinC的值；(2)假设a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．【解】(1)由得sinC＋sineq\f(C,2)＝1－cosC，∴sineq\f(C,2)(2coseq\f(C,2)＋1)＝2sin2eq\f(C,2).由sineq\f(C,2)≠0，得2coseq\f(C,2)＋1＝2sineq\f(C,2)，∴sineq\f(C,2)－coseq\f(C,2)＝eq\f(1,2).两边平方，得1－sinC＝eq\f(1,4)，∴sinC＝eq\f(3,4).(2)由sineq\f(C,2)－coseq\f(C,2)＝eq\f(1,2)＞0，得eq\f(π,4)＜eq\f(C,2)＜eq\f(π,2)，∴eq\f(π,2)＜C＜π，那么由sinC＝eq\f(3,4)得cosC＝－eq\f(\r(7),4).由a2＋b2＝4(a＋b)－8，得(a－2)2＋(b－2)2＝0，那么a＝2，b＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2