2022中考数学考点演练-平行四边形含答案

决战2022中考数学考点专题演练一平行四边形

1.如图，平行四边形483的对角线交点0,直线/绕点0旋转与一组对边相交

于点£F.试说明：

(1)直线/把平行四边形48C0分成的两部分的面积关系.

(2)四边形阳方是平行四边形吗？为什么？

2.已知：如图，四边形48⑦为平行四边形，延长必到£延长勿到尸，使BE

=DF,AF交BC千H,CE交AD于G.

求证：XAGE9XCHF.

i

3.(1)如图1,直线DE经过点4.ELDE//BC,求证：ABAC+^ABC+AACB=^Q

(2)如图2,在已知四边形4成力，录NBAANABONBC步NCDA的葭数;

(3)如图3,ABLBC,点、P为NABC内一点、，点、。为8c边上一点，连接以、PD,

且4?、%分别平分N2I8、APDC,判断NP,N。的数量关系，并说明理由.

4.如图，四边形4仇步中，对角线4C、8D相交于点0,A0=OC,BO^OD,且N

A0B=2/0AD.

(1)求证：四边形48CD是矩形;

(2)若NAOB:40DX4；3,求N470的度数.

2

5.如图，在RtZ\4861中，NACB=90°,△仅在是△48C绕着点C顺时针方向旋

转得到的，此时8、C、E在同一直线上.

(1)旋转角的大小；

(2)若48=10,AC=8,求您的长.

6.如图，在平行四边形彳员笫中，E、尸是对角线8D上的两点，且BE=DF.

(1)求证：AE=CF;

(2)连接力尸、CE,判断四边形方的形状，并证明.

3

7.直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很

多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇

妙的图形吧！

【问题探究】

(1)如图1,请直接写出N/+N决N份N6NF=;

(2)将图1变形为图2,份/分/£的结果如何？请写出证明过程；

(3)将图1变形为图3,则N/+N用的结果如何？请写出证明过程.

【变式拓展】

(4)将图3变形为图4,已知NBGF=160°,那么N/KN决/份N分N6N尸

的度数是.

4

8.如图，正方形彳成力的对角线相交于点o,点肌及分别是边8a必上的动点

(不与点8,C,。重合)，AM,AN分别交BD于点E,F,且N昭W始终保持45°

不变.

(1)求证：AF1FM;

(2)请探索：在N的m/的旋转过程中，当N胡例等于多少度时，NFMgNBA帽

写出你的探索结论，并加以证明.

5

9.如图，已知在△4861中，D,E,尸分别是48,BC,47的中点，连结〃尸，EF,

BF.

(1)求证：四边形阳力是平行四边形；

(2)若NAFB=9G°,AB=6,求四边形阻力的周长.

10.在菱形48CZ?中，点。是861边上一点，连接4P,点£尸是4P上的两点,

连接，£BF,使得48a/ABF=4BPF.

求证：(1)△ABF9XDAE;

(2)DE=BREF.

6

A

11.如图1,483是平行四边形对角线4C,劭相交于点0,直线过点0,分

别交47,861于点£F.

(1)求证：AE=CF.

(2)如图2,若48CD是老张家的一块平行四边形田地.。为水井，现要把这块

田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井。

7

12.以△/8C的边力8、4?为直角边向外作等腰直角△力融和等腰直角M

是8C中点，连接网和底

(1)如图1,AABC中NBAC=90°时，4"与大小的关系是.4"与

日?的位置关系是;

(2)如图2,△48C为一般三角形时线段与⑦的关系是.试证明你

的结论；

(3)如图3,若以△48C的边48、4C为直角边，向内作等腰直角△/国和

其它条件不变，试探究线段与此之间的关系，不要求证明你的结论.

13.【概念学习】

在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角.如果两个角相加等于

8

360°,那么称这两个角互为组角，简称互组.

(1)若N1、N2互为组角，且N1=135°,则N2=0

【理解应用】

习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形.

(2)如图①，在镖形483中，优角N83与钝角

互为组角，试探索内角N4ZB、与钝角N8C。之间的数量关系，并说明理

由.

【拓展延伸】

(3)如图②，已知四边形ABCD中，延长47、8c交于点0,延长AB,以交于P,

2APD、N428的平分线交于点优N/+N仇片180°.

①写出图中一对互组的角(两个平角除外)；

②直接运用(2)中的结论，试说明：PM1QM.

9

14.如图，△/S。中，点0为4;边上的一个动点，过点0作直线利〃8C,设MN

交N8)的外角平分线CF干点、F,交N4第内角平分线宏于E.

(1)试说明EO=FO-,

(2)当点0运动到何处时，四边形力"是矩形并证明你的结论；

(3)若4c边上存在点0,使四边形力&产是正方形，猜想△4861的形状并证明你

的结论.

15.如图，四边形483是平行四边形，以点/为圆心，48长为半径画弧交8c

于点G,连接47,点P是射线47上一动点，在，必交&I延长线于点E,PF1.AG

于点£

(1)求证：PE=PF.

(2)当点尸与点G重合时，若48=5,ZABC=45°,求四边形40尸的面积.

10

E

16.如图，△4861中，N8=15°,/ACB=25°,AB=4cm,△48C按逆时针方向

旋转一定角度后与△4优重合，且点C恰好成为47的中点，

①指出旋转中心，并求出旋转的度数；

②求出N必万的度数和的长.

17.如图，四边形48微是正方形，点£在48上，点尸在4?的延长线上，BE=

〃尸，在此图中是否存在两个全等的三角形？其中一个三角形能够通过旋转另外一

个三角形而得到吗？

11

参考答案

1.如图，平行四边形483的对角线交点0,直线/绕点。旋转与一组对边相交

于点£F.试说明：

(1)直线/把平行四边形/仇盟分成的两部分的面积关系.

(2)四边形阳方是平行四边形吗？为什么？

【答案】解：(1)直线/把平行四边形483分成的两部分的面积相等:

理由：•.•四边形是平行四边形，

/.0A=OC,NEAO=NFCO\

在△CO厂和如中，

，ZEA0=ZFC0

<OA=OC,

ZA0E=ZC0F

:.△COFQXAOE(.ASA),

同理可得出：XAOBQXCOD,/\DOE^/\BOF,

••&彳犯+5/\3+5△瞅=SACO^'S&co^SNOOE,

...直线/把平行四边形483分成的两部分的面积相等.

12

(2)四边形8冰是平行四边形,

理由：'：△C0F9XA0E、

：.AE=FC,

：.DE=BF,

又,：BF〃DE,

2.已知：如图，四边形48必为平行四边形，延长纵到£延长Z?C到尸，使BE

=DF,AF交BC于H,宏交47于G.

求证：XAGE叁XCHF.

：.AB=CD,AB//CD,

'：BE=DF,

：.AE=CF,

'：AE//CF,

，四边形如是平行四边形,

4E=2F,

13

又•.•四边形483是平行四边形,

二/BAANBCD,

：.乙EAG=NFCH,

■:桂丛AGE知丛CHF中,

'/E=NF

<AE=CF,

ZEAG=ZFCH

：./\AGE^/\CHF(.ASA).

3.(1)如图1,直线止经过点4ILDE//BC,求证：^BAC+^ABC+^ACB=}^

(2)如图2,在已知四边形/及叫求N必分N4吐/8砂/物的度数；

(3)如图3,ABA.BC,P为NABC%一点，点、D为861边上一点，连接必、PD,

且加、加分别平分N218、APDC,判断NP,N。的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)证明：如图1,'：DE//BC,

图1

乙BAD=N8,ZCAE=NC,

14

又N必必NE1/N〃F=18(r,

二N盟份N小N”180°;

(2)解，如图2,连接4C,

图2

由(1)知：三角形的内角和为180°,

，N小N附份N4第=180°,N〃N〃Z^N47P=180°,

：.乙阶4出4BA自4AC於4CAA4ACA360。,

奥NBAAN讣NBC计Ng360°;

(3)解：2N0-2P=90°,理由是：

图3

如图3,设NQAB=x,NPDQ=y,

,：OA,勿分别平分N必8、APDC,

/.Z.PAB—2x,Z.PDC=2y,

在四边形必勿中，由(2)得：4丹乙PAaN卅4PDB=360°,

,：ABLBC,

N8=90°,

...N丹2/90°+180°-2y=360°,

15

：.x-y=45°

同理得：N仆/90°+180°-y=360°,

.\x-y=90°-N。，

二45。~^ZP^90°-NO,

：.2ZQ-ZP=9Q°.

4.如图，四边形Z83中，对角线4C、劭相交于点0,AO=OC,BO^OD,且N

AOB=2NOAD.

(1)求证：四边形483是矩形；

(2)若N/08:ZODC=4:3,求N4?。的度数.

二四边形483是平行四边形，

•；ZAOB=ZDASZADg2NOAD,

二/DAO=2AD0,

AO—DO,

AC=BD,

...四边形/成力是矩形；

(2)解：•.•四边形483是矩形,

：.AB//CD,

：./ABO=NCD0,

16

VZAOB:N0DX4:3,

，NAOB:N480=4:3,

:./BAO;NAOB:N480=3:4:3,

，N/1成=54°,

•：2BAD=9Q°,

，N4?户90°-54°=36°.

5.如图，在死中，2ACB=9G,△〃宏是△/8C绕着点C顺时针方向旋

转得到的，此时8、C、£在同一直线上.

(1)旋转角的大小；

(2)若48=10,AC=3,求您的长.

【答案】解：(1)宏是△48C绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时点8、

C、E在同一直线上，

A^ACE=9Q°,即旋转角为90°,

(2)在RtZi4861中，

•.)8=10,AC=8,

•••^^7AB2-AC2=6-

•；AABC绕着点、C旋转得到

：.CE=CA=3,

:.BE=B/CE=6+8=\4

17

6.如图，在平行四边形/仇Q中，E、尸是对角线劭上的两点，且BE=DF.

(1)求证：AE=CF;

(2)连接4尸、CE,判断四边形尸的形状，并证明.

A

【答案】证明：(1)•.•四边形/仇力是平行四边形，

：.AB=CD,AB//DC,

：.2ABE=NCDF,

在△力国和△应尸中，

'AB=CD

<ZABE=ZCDF,

BE=DF

:AABEQACDF〈SA9,

：.AE=CF-,

(2)四边形/EC尸是平行四边形，

理由如下：

■:XABE9XCDF,

：.ZAEB=NCFD,

：./AEF=NCFE,

：.AE//CF,

义,：AE=CF,

，四边形尸是平行四边形.

7.直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很

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多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇

妙的图形吧!

【问题探究】

(1)如图1,请直接写出N/+N小NGN分NF=

(2)将图1变形为图2,/々/〃氏计/份/分/石的结果如何？请写出证明过程;

(3)将图1变形为图3,则N/+N小NGNZ^NE的结果如何？请写出证明过程.

【变式拓展】

(4)将图3变形为图4,已知N8Gf=160°,那么N4N伊N份/分NmN尸

二N/HN决N/N决NF=N1+N小N〃=180°,

故答案为：180°;

(2)证明：,：NABE=N0乙E,ZDBC=4姑4D,

ZABB-ZDBE^ZDBC=180°,

二NDB&N俏NANE=t80°

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，将图①变形成图②仍然为180。；

(3)证明：•.•在△尸GZ?中，NDF2NFG>ND='8G°,

4DFG=N讣NE,4FGD=N如NC,

：.Z/H-Z^-Z^ZZ>Z£=180°,

二将图①变形成图③，则N/+N小///9■/£还为180°;

(4)解：'：2BGF=N讣22=164°,22=2步ZF,

二N小/分/f=160°,

'：NBGF=NN2E=、6Q°,N1=N/+NC,

二N/1+N份Nf=160°,

二N/+N决N/N分/尺/f=320°,

故答案为：320°.

8.如图，正方形483的对角线相交于点0,点肌力分别是边8a3上的动点

（不与点8,C,，重合），AM,/W分别交8D于点£F,且N昭W始终保持45°

不变.

(1)求证：AF1FM;

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(2)请探索：在N的m/的旋转过程中，当N胡例等于多少度时，/FMg2BA"

写出你的探索结论，并加以证明.

【答案】(1)证明：•.•四边形48CZ?是正方形，

，N/1Q=NC8D=45°,ZABC=90°,

•.,N依445°,

.../MAF=ZMBE,

：.A.B、M、尸四点共圆，

I.N/1斯N/1/=180°,

NAFQ90°,

J.AF1.FM-,

(2)解：结论：N5>W=22.5时，4FMN=4BAM,

理由：'：△AEBSXFEM”

:./BAE=/EFM,

'：乙BAM=乙FMN,

：./EF4/FMN,

J.MN//BD,

.CM_CN

*'CB=CD,

,:CB=DC,

：.CM=CN,

21

:.MB=DN,

在△/例/和中，

，AB=AD

<ZABM=ZADN=90°,

BM=DN

:.△ABg/\ADN(弘S),

，^BAM=DAN,

•..N%/V=45°,

:.NBA%NDAN=45°,

NEW=22.5°.

9.如图，已知在a/S。中，D,E,尸分别是48,BC,47的中点，连结，尸,

BF.

(1)求证：四边形8&P是平行四边形；

(2)若N"F=90°,48=6,求四边形田力的周长.

【答案】(1)证明：•.”，E,尸分别是48,BC,4C的中点,

：.DF//BC,EF//AB,

：.DF//BE,EF//BD,

...四边形83P是平行四边形；

(2)解：,:NAFB=9G°,〃是48的中点，48=6,

DF=DB^DA=^AB=3,

•.•四边形8&P是平行四边形,

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，四边形阻力是菱形,

,：DB=3,

二四边形田7?的周长为12.

10.在菱形/仇力中，点。是861边上一点，连接4P,点£尸是“上的两点,

连接仞F,BF,使得N4E/AN4BC,/ABF=2BPF.

求证：(1)1XABF9XDAE：

(2)DE=BREF.

【答案】证明：（1）•.•四边形力及刀是菱形,

:.AB=AD,AD//BC,

：./BPA=/DAE,

,：/ABC=ZAED,

：.N必尸=ZADE,

'：NABF=NBPF,ZBPA=NDAE,

：./ABF=NDAE,

,:AB=DA,

：./\ABF^/\DAE（.ASA）;

（2）•:△ABFgXDAE,

:.AE=BF,DE=AF,

,:AF=A3EF=BF+EF,

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:.DE=BREF.

11.如图1,483是平行四边形对角线4C,劭相交于点0,直线过点0,分

别交47,BC于点、E,F.

(1)求证：AE=CF.

(2)如图2,若/伙步是老张家的一块平行四边形田地.。为水井，现要把这块

田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井户

【答案】（1）证明：•.•四边形483是平行四边形,

AAD//BC,OA=OC,

:.NDAC=NBCA,

桂XAQE和△G0「中，

/DAC=ZBCA,OA=OC,/AOE=2COF,

.•.△47匡△G0-（AS/）,

：.AE=CF-,

（2）解：设计图形如图：

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理由：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，只要满足两

块地面积相等，且都与水井相邻就可以.

因为平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，

所以找到对角线的交点与水井点户的连线的所在直线即可.

12.以△4861的边48、4?为直角边向外作等腰直角△48〃和等腰直角M

是8c中点，连接4席和厄

(1)如图1,/XABC*/BAC=9G时，与大小的关系是.与

的位置关系是;

(2)如图2,△/8C为一般三角形时线段4"与。的关系是.试证明你

的结论；

(3)如图3,若以△4861的边48、4;为直角边，向内作等腰直角△/宏和△43,

其它条件不变，试探究线段与宏之间的关系，不要求证明你的结论.

【答案】解：(1)如图，延长河到花使A4MN,连接网延长例交站于//,

易证△用蛇

则BN=AC=AD,NABN=ZABC+NCBN=ZABONACB=90°,

/\ADE^/\ACB,

25

:.ED=AN=2AM,

■:/BAN^/DAH=9Q°,

：.NHD"NDAH=9G.

:.AMLED.

故答案为：ED=2AM,AMrED-,

(2)ED=2AM,AMA.ED-,

证明：延长47到乂使MN=AM,连BN,则是平行四边形.

：.AC=BN,N/WN纵J80°

又；N加氏N外8记。。，

二/AB4NDAE.

再证：△DAE9XABN

：.DE=2AM,ZBAN=4EAD.

延长削交DE于K,

■:NBAN^NDAK=9G°,

:.NKD小ZDAK=9G°.

:.AMLED.

(3)EA2AM,AMA.ED.

26

K

D

B^r:M

、•

、’N

13.【概念学习】

在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角.如果两个角相加等于

360°,那么称这两个角互为组角，简称互组.

(1)若N1、N2互为组角，且N1=135°,则N2=°

【理解应用】

习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形.

(2)如图①，在镖形483中，优角N83与钝角N83

互为组角，试探索内角N8、与钝角N8C。之间的数量关系，并说明理

由.

【拓展延伸】

(3)如图②，已知四边形48必中，延长4?、BC燹于点Q,延长48、外交于P,

NAPD、N4必的平分线交于点肥N/HN仇W=180°.

①写出图中一对互组的角(两个平角除外)；

27

②直接运用（2）中的结论，试说明：PM2-QM.

：.Z2=360°-Z1=225°;

(2)钝角N860=N/+N3NO.理由如下：

如图①，•.•在四边形4862?中，N&Nffi■优角N8CAN。=360°,

又•.•优角N8s■钝角/成刀=360°',

钝角4BCD=N6N卅ND;

(3)①优角NPC0与钝角N%。；

②)•：乙APD、N4必的平分线交于点M

:./AQQZBQM,AAPM^ADPM.

令2AQ42BQ4Q,NAPQNDP4B.

'：在镖形APMQ中，有N4a+B=N/W,

在镖形APCQ中，有N弟2a+2B=N仇声，

:.乙QCR乙A=2乙PMQ,

'：AA^AQCP=\^a,

二N/W=90°.

28

PMA.QM.

故答案为225;优角NPC。与钝角2PCQ.

14.如图，△4861中，点0为4?边上的一个动点，过点0作直线树〃6a设MN

交NS)的外角平分线出于点F,交N4?B内角平分线优于E.

(1)试说明E0=F0;

(2)当点0运动到何处时，四边形尸是矩形并证明你的结论；

(3)若4;边上存在点0,使四边形尸是正方形，猜想△4861的形状并证明你

的结论.

【答案】解：(1),:CE至分乙ACB,

：.^ACE=NBCE,

'：MN//BC,

29

：.AOEC=^ECB,

：.ZOEC=ZOCE,

二0E=OC,

同理0C=OF,

：.0E=OF.

(2)当点。运动到47中点处时，四边形力&正是矩形.

乜口图EO=FO,

，四边形产为平行四边形，

■:CE平分NACB,

：.NACE=±NACB,

同理，4ACF*2ACG,

：.ZECF=^ACE^AACF=(/ACB^/ACG=-1X180°=90°,

二四边形如是矩形.

(3)△48C是直角三角形

•.•四边形方是正方形，

:.AC1EN,故N4>=90°,

'：MN//BC,

：.ZBCA=NAOM,

8)=90°,

...△4861是直角三角形.

30

15.如图，四边形/仇力是平行四边形，以点/为圆心，48长为半径画弧交8c

于点G