2021年中考数学压轴题专项高分突破训练-17 函数中角的数量关系（教师版）

专练17函数中角的数量关系

1.如图，抛物线y=ax2+bx过A(4,0)，B(l,3)两点.

备用图

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上一点，且位于第一象限，当AABP的面积为3时，求出点P的坐标；

(3)过B作BCIOA于C，连接0B，点G是抛物线上一点，当/BAG+NOBC=NBAO时，请直

接写出此时点G的坐标.

【答案】(1)把点A(4,0),B(1,3)代入抛物线y=ax2+bx

“I16a+4b=0

何｛fa+b=3

解得｛7=~A

・•・抛物线表达式为：y=-x2+4x；

(2)设P点横坐标为m,

当lVmV4时，如图，过点P作PM〃y轴，交AB于点M,连接BP、AP,

3PM

=2

:.PM=2,

设直线AB的解析式为y=kx+b,

将A(4,0),B(1,3)代入y=kx+b,

(0=4k+b

13=k+b'

解得'

b=4

.••直线AB的解析式为y=-x+4,

设P(m,-m2+4m)，M(m,—m+4),

则PM=-m2+4m—(—m+4)=—m2+5m—4,

:.—m2+5m-4=2,

解得，m=2或m=3,

•♦・P点坐标为(2,4)或(3,3)

当OVmVl时，如图，过点P作PN〃x轴，交AB于点N,连接BP、AP,

APN=2,

设P(m,-m2+4m),

则N点横坐标为m+2,I.N(m+2,—m+2),

由于PN两点纵坐标相同，

:.-m2+4m=—m+2,

解得，rri]=5+广（舍去），m2=

•••P点坐标为（手，二磬）,

综上所述，点P坐标为(3,3)，(2,4),(手，二产).

(3)如下图，过点A作AELx轴，过点G作GELy轴，交AE于点E,

易得NBAC=45°,

若Z.BAG+Z.OBC=Z.BAO,

则NOBCGAE,

.,.△BOC^AAGE,即AE=3GE,

设G(n,—n2+4n),则—n2+4n=3X(4—n)

解得，n=3或n=4(舍去)

：.G(3,3),

如下图，连接AG交BC于点F,

若ZBAG+Z.OBC=ZBAO,

贝|JNOBC=NGAO,

易得，AOBC丝Z\FAC,

AF(1,1)

可得直线AF的解析式为y=-|x+i

__14

联立解析式｛y__gx十.

y=-x2+4x

解得，x=4(舍去)或乂二

•••GG，书，

综上所述，G(3,3)，GG，甘).

2.阅读材料

公元前5世纪，古希腊学者提出了一个问题：能否用尺规三等分一个任意角？为了解决这个问题，数学家

们花费了大量的时间和精力.直到1837年，数学家们才证明了“三等分任意角”是不能用尺规完成的.那

么.退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢？

在研究这个问题的过程中，古希腊数学家帕普斯给出的一方法如下：如图，将给定的锐角ZAOB置于平

面直角坐标系中，角的一边0A与y=X的图象交于点M,0B在x轴上，以点M为圆心，20M为半

径画弧交y=-的图象于点N.分别过点M和N作X轴和y轴的平行线，两线相交于点E,F,EF和

XJ

MN相交于点G,连接0F得到ZF0B.

此时，爱思考的小明对这一结论展开了证明.下面是他的部分证明思路：

由题意，可知点M,N在反比例函数y=i的图象上，

先假设点M,N的坐标分别为(a],；)，(a2)^-),

ala2

11

则点E,F的坐标可表示为(a1(-),(a2,-)

a2al

则直线OF的表达式为

由此，可以判断矩形MENF的顶点E在直线0F上.

请根据以上材料，解答下列问题:

(I)用含a1，a2的代数式表示直线0F的表达式：.

(2)试接着上面小明所提供的证明思路，继续完成“NF0B=：4A0B”的证明.

【答案】（i）y=9-x

ala2

（2）证明：（接小明的思路）

EN//OB,

二ZFEN=ZFOB,

由作图过程可知四边形MENF是矩形.

二MG=EG=GN=2MN,

2

/.ZFEN=ZMNE,

:.ZMGO=ZFEN+ZMNE=24FEN.

MN=2OM,

・•・OM=MG,

:.ZMOF=ZMGO=2ZFEN,

/.zMOF=2ZFOB.

■:ZMOB=zMOF+zFOB,

・・・zMOB=3zFOB.

BPZFOB=1^AOB.

【解析】（1）设直线OF的解析式为：y=kx,

将点F（a?,：）代入得：k=士，

・1

..y=—x.

3132

3.如图，已知抛物线y=ax?+bx+5经过A（-5,0）,B（-4,-3）两点，与x轴的另一个交点为C,顶

点为D,连接BD,CD.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t.

①当点P在直线BC的下方运动时，求APBC的面积的最大值

②该抛物线上是否存在点P,使得NPBC=NBCD?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理

由.

【答案】⑴解：将点A、B坐标代入二次函数表达式得：上手―2b/£=0

解得：｛:二:，故抛物线的表达式为：y=x2+6x+5…①，

令y=0,则x=-1或-5,

即点C(-1,0)

(2)解：①如图1,过点P作y轴的平行线交BC于点G,

将点B、C的坐标代入•次函数表达式并解得：

直线BC的表达式为：y=x+l…②，

设点G(t,t+1),则点P(t,t2+6t+5),

SAPBC=1PG(xC-xB)=-(t+1-t2-6t-5)=--t2--t-6,

2222

・・・•|<0,・,・SAPBC有最大值，当t=-3时，其最大值为乡；

NZo

②设直线BP与CD交于点H,当点P在直线BCF方时,

VZPBC-ZBCD,.•.点H在BC的中垂线上，

线段BC的中点坐标为（-g，-m），

过该点与BC垂直的直线的k值为-1,

设BC中垂线的表达式为：y=-x+m,将点（-9,-|）代入上式并解得:

直线BC中垂线的表达式为：y=-x-4…③，

同理宜线CD的表达式为：y=2x+2…④，

联立③④并解得：x=-2,即点H（-2,-2）,

同理可得直线BH的表达式为：y=[x-1…⑤，

联立①⑤并解得：x=-，或-4（舍去-4）,

故点P（--,-：）；

24

当点P（P9在直线BC上方时，

：/PBC=/BCD,；.BP，〃CD,

则直线BP，的表达式为：y=2x+s,将点B坐标代入上式并解得：s=5,

即直线BP，的表达式为：y=2x+5…⑥，

联立①⑥并解得：x=0或-4（舍去-4）,

故点P（0,5）；

故点P的坐标为P（-|,-：）或（0,5）

24

4.已知二次函数y=ax2+bx+c（a#））的图象与x轴交于A（l,0）、B（3,0）两点，与y轴交于C点（0,

(1)求a的值；

(2)若P为二次函数y=ax2+bx+c(a¥0)图象的顶点，求证：/ACO=NPCB；

(3)若Q为二次函数y=ax2+bx+c(a/0)图象上一点，且/ACO=NQCB,求Q点的坐标.

0—aIb|c

【答案】(1)解：把A、B、C三点代入二次函数y=ax2+bx+c(a^O)得｛0=9a+3b+c,

-3=0+0+c

a=-1

解得｛b=4

c=-3

即a=-l；

(2)证明：由(1)y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,

故顶点P为(2,1),

则PB=J(2—3(+(1-0)2=V2，

PC=J(2—0)2+[1—(-3)f=2V5,>

BC=V32+32=3V2，

OA=1,OC=3,AC=V10，

・OA__1__V2OC__3__V2AC_同_®

••访一五-3'靛一运一3'正=玄-3

日口OAOCAC

即--=—=—,

PBBCPC

AAAOC^APBC,

.,.ZACO=ZPCB；

（3）解：连接CP,延长PB至E点，使BE=PB,

；AB=2,,AP=BP=V2,

，AB2=AP2+BP2,

AAAPB为等腰直角三角形，

二NAPB=90°,ZPBAM50,

•；B为PE的中点，

：.E(4,-1),

连接CE,交二次函数于点Q,

由(2)可知：当Q在顶点P时，ZACO=ZQCB,

此时Q(2,1),

：CB2+BP2=CP2,

ACBIBE,

.♦.CB是BE的垂直平分线，

，/PCB=/ECB,

设CE所在直线为y=kx-3,

将E(4,-1)代入得：-l=4k-3,

解得k=；

；.y=1x-3,

联立｛1x-3,

y=-x2+4x-3

7

Y—nx=-

2

解得｛5_或｛5.

JV-u3V=--------

J4

，Q点的坐标为([,一J),

24

综上所述，Q点的坐标为(2,1)或(：，.

5.在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，且0A、OB(0A<

0B)的长恰好是方程x2-14x+48=0的两根，点D是AB的中点，直角ZNDM绕点D旋转，射

线DP分别交x轴、y轴于点P、N,射线DM交x轴于点M,连接MN.

(2)当点P和点N分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴时，若△PDMMON,求点N的坐标.

(3)直角ZNDM绕点D旋转的过程中，ZDMN的大小是否会发生变化？请说明理由.

【答案】(1)解：；0A,0B的长为方程x2-14x+48=0的两个根(0A<0B),

二(x-6)(x-8)=0,

解得0A=6,0B=8,

V0A=6,OB=8,点D是AB的中点，

二点D的坐标为(3,4)，AB=<62+82=10

(2)解：如图，过点D作DCly轴于C,作DE_Lx轴于E，

贝ijCD=3=OE,DE=4=CO,zDCN=ZDEM=90°,

设ON=x,则CN=4—x,

ZCDE=ZPDM=90°,

・•・4CDN=Z.EDM,

・・・△CDNEDM,

•CDCNait34-x

••―tR|J1=-f

EDEM4EM

.•・EM=|(4-x),

CD//PO,

・・・△CDN八OPN,

•CDCNrrri34一X

•■,

OPONOPx

OP=—,

4-X

*/△PDMMON

JZNPO=ZNMO,

JPN=MN,

•/NO1PM,

:.PO=MO,

即芸=3+*4—X),

解得Xi=10(舍去)，x2=j,

二ON=-,

2

，点N的坐标为(0,|).

(3)解：在直角ZNDM绕点D旋转的过程中，ZDMN的大小不会发生变化，

由(2)可得，△CDNEDM,

.CDDN3DN

••~-=，REJI——,

EDDM4DM

又0A=6,0B=8,

.OA3

・・—=一，

OB4

.DNOADNDM

•■-=---,即nn----=---,

DMOBAOOB

又：ZAOB=ZNDM=90°,

二△AOB-ANDM,

:.ZDMN=ZOBA,

ZOBA大小不变，

ZDMN的大小不会发生变化.

6.如图1,直线y=2x+6分别交x轴，v轴于A,B,点C在x轴正半轴上，且OB=OC.

(1)求直线BC的解析式；

（2）如图2,点P为线段AB上一点，点D在线段BC上，连接PD交y轴于点E,且PD=PB,

点F在CD边上，且CF=|BD,设点P的横坐标为m,线段DF的长度为d,求d与m的函

数关系式；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接CE,若ZPFD=2ZBCE,求点P的坐标.

【答案】（1）解：♦.•直线y=2x+6分别交x轴、y轴于A、B（如图1）,

当x=0时,y=6；当y=0时,x=-3,

AA(-3,0),B(0,6),

又C在x正半轴，且OC=OB,

AC(6,0)

设直线BC解析式为y=kx4-b,分别代入B、C坐标如下,

(6=b

l0=6k+b'

解得：｛1=?，

b=6

直线BC解析式为：y=-x+6.

(2)解：过点P作PMLBC,交BC于点M,如卜图所示:

VPB=PD,OB=OC,

AZOBC=45°,ZPBD=ZPDB,

；.M为BD中点，P(m,6+2m)

二直线PM解析式为y=x+m+6①,

又直线BC解析式为y=—x+6②,

y=x+m+6

.♦.联立①②可得{y=—x+6

解得M(一(m,gm+6),

・

・・BcnM«=——1mxV/72T=---V--2m，

22

又：CF=|BD,

，CF=DM=BM,

；.BM=2V2--d，

3

•••2V2--d=——m,

32

；•化简得：d=6>/24-—m,

2

故答案为：d=6V2+m.

(3)解：由(2)可知D(・m,m+6),P(m,6+2m),

：.E(0,6+-m),

2

.•.E为PD中点，

过点P作PN〃CE交BC于点N,如下图所示：

E为DP中点，从算出来的横坐标可以看出来，从而求出E的纵坐标。过P作CE平行线，交BC于M。表

示出M的坐标，求出PM的中点N的坐标，FN±PM,斜率相乘为-1就可以求了

直线CE的解析式为：y=_i^x+6+|m,

二直线PN的解析式为：y=—±^x+；m2+3m+6③,

44

又由(2)可知直线线BC解析式为y=—x+6②,

y=-x4-6

•••联立②③可得｛里x+Nm2+3m+6,

,44

・••点N坐标为(m+12,-m-6),

1、

・・・PN中点Q(m+6,-m),

2

VZPFD=2ZBCE,

:.ZFPN=ZFNP=ZBCE,

:.FQ_LPN,

又点F坐标为(4+-d,2-立d)，

66

2--d--m

.••直线FQ斜率为：

^-d-m-2

.•・直线FQ与直线PN斜率乘积为,

（-誓）=—1,且d=6a+%m,

Yd-m-242

解得：m=—2,

二故点P坐标为(-2,2),

故答案为：P(-2,2).

7.如图，已知二次函数y=ax2+bx-3与x轴交与A,B两点，与y轴交于C点，连AC,tanN0AC=3,

OC=OB.

(2)直线1经过B,C两点，如图，P是直线BC下方抛物线上一点，横坐标为t,APBC的面积为S,求

S与t的函数关系式，并直接写出自变量取值范围;

(3)在(2)的条件下，APBC为直角三角形，并且NBPC=90。时，求P点坐标.

【答案】(1)解：令x=0,则y=-3,

/.C(0,-3),

二0C=3=0B,则B(3,0),

tanz.OAC=3,

.•.恁=3,即0A=1,则A(-l,0)，

将点A和点B的坐标代入解析式，得-b-3=0,解得｛a=1

二二次函数解析式为：y=x2-2x-3

(2)解：如图，过点P作y轴的平行线，交BC于点Q,

根据点B和点C的坐标，用待定系数法求出直线BC的解析式：y=x-3,

设P(t,t2-2t-3)，则Q(t,t-3)，

PQ=t-3-(t2-2t-3)=-t2+3t,

SAPBC=|OBPQ=1x3(-t2+3t)=-|t2+|t(0<t<3)

(3)解：如图，ZBPC=90°,过点P作x轴的平行线，交y轴于点M,再过点B作y轴的平行线，交

直线PM于点N,

设P(t,t2-2t-3),则M(0,t2-2t-3),N(3,t2-2t-3),

CM=-3-(t2-2t-3)=-t2+2t,

MP=t,

PN=3-t,

BN=-(t2-2t-3)=-t24-2t+3,

■:zBPC=90°,

・・・ZCPM+ZBPN=90°,

ZCPM4-ZPCM=90°,

・♦・zBPN=zPCM,

VZCMP=ZPNB=90°,

/.△CMPPNB,

・CM_MP(|i.|Y+Zt_t锌垃B旦t(T+2)_3—t

**PN-NB*川3-t--t2+2t+3，煞抉谷t-(3-t)(t+l)，

整理得(一t+2)(t+l)=l,解得ti=二产，t2=^■卢(舍去)，

当t=土更时，t2-2t-3=-^-

22

•nz—1+^55+V§、

・・--—•

8.在平面直角坐标系中，直线y=一：x+b(b>0)交x轴于点A,交y轴于点B,AB=10o

(2)如图2,经过点B的直线y=(n+4)x+b(-4<n<0)与直线y=nx交于点C,与x轴交于点R,CD//OA,交

AB于点D,设线段CD长为d,求d与n的函数关系式；

(3)如图3,在(2)的条件下，点F在第四象限，CF交OA于点E、交0B于点S,点P在第一象限，PH10A,

点N在x轴上，点M在PH上，MN交PE于点G,ZEGN=45°,PH=EN,过点E作EQLCF,交PH于点

Q,连接BF、RQ,BF交x轴于点V,若C为BR中点，EQ=EF+2e=&PM,ZERQ=ZABF,求点

V的坐标。

【答案】(1)解：y=0时，x=；bx=0时，y=b

AA(—,0)B(0,b).

4

，OA=—OB=b

4

，AB2=OA2+OB2102=(史)2+b；.b=8或-8Vb>0,；.b=8

4

(2)解：过点C作C，x轴于点I,过点D作DJLx轴于点J

设点C(t,nt)nt=(n+4)t+/.t=2

点C(-2,-2n)；.Cl=-2nVZCIR=ZDJR~90°ACI/ZDJ

VCD/7IJ

.••四边形CIJD是平行四边形

ADJ=CI=-2n

4

-2n=—x+8

3

・3n，

.・x=—+6

ACD=IJ=y+6-(-2)=y+8

•••d——-n+8

2

(3)解：过点E作ET_LPE,交过点N且垂直于x轴的垂线于点T,连接PT

VPHIEH/.ZPET=ZENT=ZPHE=90°/.ZPEH+ZTEN=ZPEH+ZEPH=90°

・♦・ZTEN=ZEPHVPH=ENAAPHE^AENTATN=EHPE=ET

/.ZEPT=45o

VZEGN=45°/.ZEGN=ZEPT

AMNZ/PT

VZENT+ZPHE=180°JTN〃PM

・・・四边形PMNT是平行四边形

ATN=PM

:.PM=EH

VEQ=V2PM,

AZQEH=45°,/.ZCER=45°,

过点C作CW_LON,CD±OB,可证明△CDB0△CRW,

/.CD=RW=OW=2,ACW=4

/.OS=OE=2,SE=2V2

VRE=BS=6,ZREQ=ZBSF=I35°,SF=2y/2+EF=EQ,

AAREQ^ABSE

・♦・NERQ=NFBS

VZERQ=ZABF

AZFBS=ZCAB

过点V作VK_LAB,

设OV=a,则VK=a,在RsAKV中，ZVKA=90°,AK=2,AV=6-a,

AVK2+AK2=AV2,

即a2+22=(6-a)2,解得a=1

•••V(I.0)

9.如图，直线y=jx+2与x轴，y轴分别交于点A,C,抛物线y=-gx2+bx+c经过A,C两点，与x

轴的另一交点为B.点D是AC上方抛物线上一点.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)连接BC,CD,设直线BD交线段AC于点E,如图1,△CDE,△BCE的面积分别为Si，S2

求I1的最大值；

(3)过点D作DFLAC于E连接CD,如图2,是否存在点D,使得△CDF中的某个角等于NBAC的

两倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)解：对于y=(x+2,

当y=0时，1x+2=0,解得x=-4,即A(-4,0),

当x=0时，y=2,即C(0,2),

•抛物线y=_1x2+bx+c经过A^C两点，

13

...「$xl6-4b+c=0,解得｛b=--,

c=2c=2

则抛物线的函数表达式为y=-^x2-|x+2；

(2)解：对于y=-1x2-1x+2,

当y=0时，-：x2—|x+2=0,解得X]=-4,x2=1,

则B(1,O),

v△CDE的边DE上的高等于ABCE的边BE上的高，

.亘=叫

S2BE'

如图1,过D作DMlx轴交AC于点M,过B作BN1x釉交AC于点N,

:.ADMEBNE,

・DE_DM

''BE-BN'

Si_DM

,•一=--.

S2BN

设D(a,-：a2-|a+2),则M(a*a+2),

DM=--a2--a+2—(-a+2)=--a2—2a,

22,2

♦：B(1,O),

・・・N(ljxl+2),即N(l,|),

・•・BN

.Si_DM_-a2-2a

2

>■•=-----=--------=------=-1(a+2)+i,

SBN5

22

V点D是AC上方抛物线上一点,

--4<a<0,

则由二次函数的性质可知，在—4<a<0内，当a=—2时，取最大值，最大值为:；

5

•*.AC=2V5,BC=V5,AB=5，

/.AC2+BC2=AB2,

二△ABC是以ZACB为直角的直角三角形,

•••tanzBAC=—=-,

AC2

如图2,取AB的中点P,

...P(雪,0)，即P(-|,0),

:.PA=PC=PB=1—(--)=-，

V272

:.zBAC=zACP,

二zCPO=zBAC+zACP=2zBAC,

2

•••C(0,2),P(-|,0),

3

:.OC=2,OP=j,

OC4

・・・tan2zBAC=tanzCPO=^=-,

OP3

如图2,过D作x轴的平行线交y轴于R,交AC的延长线于G,

:.Z.BAC=Z.G,

・•・tanG=tanzBAC=-,

2

设D(m,-1m2-|m4-2),则-4<m<0,

・•・DR=—m,CR=--m2--m+2—2=—im2—-m,

2222

123

CRi3

—=-------=-m+一，

DR-m22

由题意，分以下两种情况：

①当ZDCF=2ZBAC时，

,**Z.DCF=Z.CDG+Z.G=Z.CDG+Z.BAC,

:.2zBAC=ZCDG+Z.BAC,

:、Z.BAC=zCDG,

1

/.tanzCDG=tanzBAC=-，

2

在RtACDR中，tan/CDG=^=Jm+三，

DR22

1,31

A-m4--=",

222

解得m=—2,

即点D的横坐标为一2；

②当ZFDC=2ZBAC时，

4

；・tanz.FDC=tan2z.BAC=-,

3

在RtZkCDF中，tanzFDC=—,

DF

•_C_F___4

"DF3'

设CF=4k(k>0),则DF=3k,

CD=VCF2+DF2=5k，

在Rt△DFG中，tanG=M=若,

GF=6k,

CG=GF-CF=2k,DG=VDF2+GF2=3V5k，

zG=zG

在RtACRG和Rt△DFG中,

ZCRG=ZDFG=90°

**•Rt△CRG〜Rt△DFG,

GKLUUKnnLNZKUN

•*.==9即=-7=~=，

DFDGGF3k34k6k

解得CR=Wk,GR=?k,

•••DR=DG-GR=3V5k-^k=-^k.

.CR_等k_2

DRlL/sk11

1,32

-mH—=-t

2211

解得m=-胃，

ii

即点D的横坐标为一三，

综上，点D的横坐标为一2或-m.

10.如图，己知二次函数y=-]x2+[x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于

（2）当0WyW3时，请直接写出x的范围；

（3）点P是抛物线上位于第一象限的一个动点，连接CP,当/BCP=90。时，求点P的坐标.

【答案】（1）当x=0时，y=3,

，C(0,3),

.♦・OC=3

当y=0时一？X2+2X+3=0,解得xl=-l,x2=4

44

AA(-hO),B(4,0),

・・・OA=1,OB=4

在RQBOC中，BC=VOB2+OC2=5；

(2)当y=0时-7X2+[X+3=0,解得xl=-1,x2=4

当y=3时-2X2+2X+3=3,解得xl=0,x2=4

44

.・.当0<y<3时，-1Wx£0,3<x<4

(3)过点P作PDLy轴

业,一

当X=$11时，y—=­125

...点P坐标为(装，孽).

11.如图，抛物线与X轴相交于B,C两点，与y轴相交于点A,P(2a,-4a2+7a+2)(a是实数)在抛物

线上，直线y=kx+b经过A,B两点.

(1)求直线AB的解析式；

(2)平行于y轴的直线x=2交直线AB于点D,交抛物线于点E.

①直线x=t(0三区4)与直线AB相交E与抛物线相交于点G.若FG：DE=3：4,求t的值;

②将抛物线向上平移m(m>0)个单位，当E0平分NAED时，求m的值.

【答案】(1)解：VP(2a,-4a2+7a+2)(a是实数)在抛物线上，

7

/.y=-4a2+7a+2=-(2a)2+-x(2a)+2,

抛物线解析式为：y=-x2+|x+2,

：抛物线与x轴相交于B,C两点，与y轴相交于点A,

AA(0,2),B(4,0),C(--,0),

2

又：直线y=kx+b经过A,B两点,

解得：卜,

(b=2/

•••直线AB的解析式为：y=-1x+2.

(2)解：①依题可得D(2,1),E(2,