高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 第3讲 平面向量试题 理-人教版高三数学试题

第3讲平面向量高考定位平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求.主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档；(2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.真题感悟1.(2015·江苏卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.解析∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))故m－n＝2－5＝－3.答案－32.(2017·江苏卷)如图，在同一个平面内，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))的模分别为1，1，eq\r(2)，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为α，且tanα＝7，eq\o(OB,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为45°.若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，则m＋n＝________.解析如图，设eq\o(OD,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝neq\o(OB,\s\up6(→))，则在△ODC中有OD＝m，DC＝n，OC＝eq\r(2)，∠OCD＝45°，由tanα＝7，得cosα＝eq\f(\r(2),10)，又由余弦定理知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＝n2＋（\r(2)）2－2\r(2)ncos45°，,n2＝m2＋（\r(2)）2－2\r(2)mcosα，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－n2＝2－2n，①,n2－m2＝2－\f(2,5)m，②))①＋②得4－2n－eq\f(2,5)m＝0，即m＝10－5n，代入①得12n2－49n＋49＝0，解得n＝eq\f(7,4)或n＝eq\f(7,3)，当n＝eq\f(7,3)时，m＝10－5×eq\f(7,3)＝－eq\f(5,3)<0(不合题意，舍去)，当n＝eq\f(7,4)时，m＝10－5×eq\f(7,4)＝eq\f(5,4)，故m＋n＝eq\f(5,4)＋eq\f(7,4)＝3.答案33.(2016·江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，则eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值是________.解析设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－a)·(－b)＝a·b＝4.又∵D为BC中点，E，F为AD的两个三等分点，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(1,6)b，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－b＋eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b，则eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a＋\f(1,3)b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－\f(2,3)b))＝－eq\f(2,9)a2－eq\f(2,9)b2＋eq\f(5,9)a·b＝－eq\f(2,9)(a2＋b2)＋eq\f(5,9)×4＝－1.可得a2＋b2＝eq\f(29,2).又eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,6)a＋eq\f(1,6)b＝－eq\f(5,6)a＋eq\f(1,6)b，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－b＋eq\f(1,6)a＋eq\f(1,6)b＝eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b，则eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)a＋\f(1,6)b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)a－\f(5,6)b))＝－eq\f(5,36)(a2＋b2)＋eq\f(26,36)a·b＝－eq\f(5,36)×eq\f(29,2)＋eq\f(26,36)×4＝eq\f(7,8).答案eq\f(7,8)4.(2017·江苏卷)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－eq\r(3))，x∈[0，π].(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解(1)∵a∥b，∴3sinx＝－eq\r(3)cosx，∴3sinx＋eq\r(3)cosx＝0，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝0.∵0≤x≤π，∴eq\f(π,6)≤x＋eq\f(π,6)≤eq\f(7,6)π，∴x＋eq\f(π,6)＝π，∴x＝eq\f(5π,6).(2)f(x)＝a·b＝3cosx－eq\r(3)sinx＝－2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3))).∵x∈[0，π]，∴x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，∴－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))≤1，∴－2eq\r(3)≤f(x)≤3，当x－eq\f(π,3)＝－eq\f(π,3)，即x＝0时，f(x)取得最大值3；当x－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(5π,6)时，f(x)取得最小值－2eq\r(3).考点整合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.3.平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是eq\o(OP,\s\up6(→))＝λ1eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ2eq\o(OB,\s\up6(→))(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量eq\o(OP,\s\up6(→))与向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))的关系是eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).(3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心⇔eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0⇔Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xA＋xB＋xC,3)，\f(yA＋yB＋yC,3))).热点一平面向量的有关运算[命题角度1]平面向量的线性运算【例1－1】(1)(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，且eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝－4，则λ的值为________.(2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝1，则λ的值为________.解析(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3×2×cos60°＝3，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up6(→))))·(λeq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(λ－2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(2λ,3)eq\o(AC,\s\up6(→))2＝eq\f(λ－2,3)×3－eq\f(1,3)×32＋eq\f(2λ,3)×22＝eq\f(11,3)λ－5＝－4，解得λ＝eq\f(3,11).(2)法一如图，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(BC,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))＋\f(1,λ)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3λ)))eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3λ)))×2×2×cos120°＋eq\f(4,λ)＋eq\f(4,3)＝1，解得λ＝2.法二建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A(0，1)，C(0，－1)，B(－eq\r(3)，0)，D(eq\r(3)，0).由BC＝3BE，DC＝λDF，可求点E，F的坐标分别为Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，－\f(1,3)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,λ)))，－\f(1,λ)))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，－\f(4,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,λ)))，－\f(1,λ)－1))＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,λ)))＋eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,λ)))＝1，解得λ＝2.答案(1)eq\f(3,11)(2)2探究提高用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解.[命题角度2]平面向量的坐标运算【例1－2】(1)(2017·江苏冲刺卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1).若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝________.(2)(2016·全国Ⅲ卷改编)已知向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则∠ABC＝________.解析(1)由题意可得a＋λb＝(2，1－λ)，则(a＋λb)·a＝(2，1－λ)·(2，1)＝5－λ＝0，解得λ＝5.(2)|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，cos∠ABC＝eq\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|·|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(3),2)，则∠ABC＝30°.答案(1)5(2)30°探究提高若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷.[命题角度3]平面向量的数量积【例1－3】(1)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.(2)(2017·佛山二模)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,9λ)eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的最小值为________.解析(1)|a＋2b|2＝|a|2＋2|a|·|2b|·cos60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×eq\f(1,2)＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a＋2b|＝eq\r(12)＝2eq\r(3).(2)法一在梯形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,9λ)eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,9λ)eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\f(1,9λ)eq\o(DC,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))·eq\f(1,9λ)eq\o(DC,\s\up6(→))＝2×1×cos60°＋2×eq\f(1,9λ)＋λ×1×cos60°＋λ·eq\f(1,9λ)×cos120°＝eq\f(2,9λ)＋eq\f(λ,2)＋eq\f(17,18)≥2eq\r(\f(2,9λ)·\f(λ,2))＋eq\f(17,18)＝eq\f(29,18)，当且仅当eq\f(2,9λ)＝eq\f(λ,2)，即λ＝eq\f(2,3)时，取得最小值为eq\f(29,18).法二以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).又eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,9λ)eq\o(DC,\s\up6(→))，则Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)λ，\f(\r(3),2)λ))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,9λ)，\f(\r(3),2)))，λ＞0，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)λ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,9λ)))＋eq\f(3,4)λ＝eq\f(17,18)＋eq\f(2,9λ)＋eq\f(1,2)λ≥eq\f(17,18)＋2eq\r(\f(2,9λ)·\f(1,2)λ)＝eq\f(29,18)，λ＞0，当且仅当eq\f(2,9λ)＝eq\f(1,2)λ，即λ＝eq\f(2,3)时取等号，故eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的最小值为eq\f(29,18).答案(1)2eq\r(3)(2)eq\f(29,18)探究提高(1)①数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；②可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；③在用|a|＝eq\r(a2)求向量的模时，一定要把求出的a2进行开方.(2)求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.【训练1】(1)(2017·全国Ⅱ卷改编)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是________.(2)(2017·南京、盐城模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))的值是________.解析(1)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，eq\r(3))，B(－1，0)，C(1，0).设P(x，y)，则eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，eq\r(3)－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，－y).所以eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝(－x，eq\r(3)－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)－eq\f(3,2).当x＝0，y＝eq\f(\r(3),2)时，eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))取得最小值为－eq\f(3,2).(2)法一以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系(以射线AB，AD的方向分别为x轴、y轴的正方向)，则B(eq\r(2)，0)，E(eq\r(2)，1).设F(x，2)，则eq\o(AF,\s\up6(→))＝(x，2)，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)x＝eq\r(2)，∴x＝1，∴F(1，2)，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\r(2).法二∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AF,\s\up6(→))|cos∠BAF＝eq\r(2)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴|eq\o(AF,\s\up6(→))|cos∠BAF＝1，即|eq\o(DF,\s\up6(→))|＝1，∴|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝eq\r(2)－1，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(2)×(eq\r(2)－1)×(－1)＋1×2×1＝eq\r(2).答案(1)－eq\f(3,2)(2)eq\r(2)热点二平面向量与三角的交汇【例2】(2017·南京模拟)已知向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，t为实数.(1)若a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，0))，求t的值；(2)若t＝1，且a·b＝1，求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))的值.解(1)因为向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，且a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，0))，所以cosα－sinα＝eq\f(1,5)，t＝sin2α.由cosα－sinα＝eq\f(1,5)，得(cosα－sinα)2＝eq\f(1,25)，即1－2sinαcosα＝eq\f(1,25)，从而2sinαcosα＝eq\f(24,25).所以(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝eq\f(49,25).因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα＋sinα＝eq\f(7,5)，所以sinα＝eq\f(（cosα＋sinα）－（cosα－sinα）,2)＝eq\f(3,5)，所以t＝sin2α＝eq\f(9,25).(2)因为t＝1，且a·b＝1，所以4sinαcosα＋sin2α＝1，即4sinαcosα＝cos2α.因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα≠0，从而tanα＝eq\f(1,4)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(8,15)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(tan2α＋tan\f(π,4),1－tan2α·tan\f(π,4))＝eq\f(\f(8,15)＋1,1－\f(8,15))＝eq\f(23,7).探究提高三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.【训练2】(2017·苏北四市模拟)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p＝(cosB＋sinB，2sinB－2)，q＝(sinB－cosB，1＋sinB)，且p⊥q.(1)求B的大小；(2)若b＝2，△ABC的面积为eq\r(3)，求a，c.解(1)因为p⊥q，所以p·q＝(cosB＋sinB)(sinB－cosB)＋(2sinB－2)·(1＋sinB)＝0，即sin2B－cos2B＋2sin2B－2＝0，即sin2B＝eq\f(3,4)，又角B是锐角三角形ABC的内角，所以sinB＝eq\f(\r(3),2)，所以B＝60°.(2)由(1)得B＝60°，又△ABC的面积为eq\r(3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\r(3)，即ac＝4.①由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，又b＝2，所以a2＋c2＝8，②联立①②，解得a＝c＝2.1.平面向量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直.3.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.一、填空题1.(2017·山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若eq\r(3)e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________.解析cos60°＝eq\f(（\r(3)e1－e2）·（e1＋λe2）,|\r(3)e1－e2||e1＋λe2|)＝eq\f(\r(3)－λ,\r(3＋1)\r(1＋λ2))＝eq\f(1,2)，解之得λ＝eq\f(\r(3),3).答案eq\f(\r(3),3)2.(2015·北京卷)在△ABC中，点M，N满足eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→)).若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则x＝__________；y＝__________.解析eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).答案eq\f(1,2)－eq\f(1,6)3.已知A，B，C为圆O上的三点，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为________.解析由eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为90°.答案90°4.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________(填重心、垂心、内心或外心).解析由已知，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，根据平行四边形法则，设△ABC中BC边的中点为D，知eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，所以点P的轨迹必过△ABC的重心.故填重心.答案重心5.(2017·苏、锡、常、镇调研)在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝1，则实数λ的值为________.解析由AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝3，即BC＝eq\r(3).又AC2＝AB2＋BC2，所以∠B＝eq\f(π,2).以点A为坐标原点，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则B(1，0)，C(1，eq\r(3)).由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，得P(1＋λ，eq\r(3)λ)，则eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝(λ，eq\r(3)λ)·(λ，eq\r(3)λ－eq\r(3))＝λ2＋3λ(λ－1)＝1，即4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－eq\f(1,4)或λ＝1.答案－eq\f(1,4)或16.(2014·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是________.解析由题图可得，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(3,4)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,16)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2，故有2＝25－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,16)×64，解得eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝22.答案227.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥eq\o(BC,\s\up6(→))；⑤(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))2＝4|a|2＝4，∴|a|＝1，故①正确；∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2a＋b)－2a＝b，又△ABC为等边三角形，∴|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝2，故②错误；∵b＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴a·b＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)×2×2×cos60°－eq\f(1,2)×2×2＝－1≠0，故③错误；∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，故④正确；∵(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝4－4＝0，∴(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，故⑤正确.答案①④⑤8.如图，在△ABC中，C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足eq\o(BM,\s\up6(→))＝2eq\o(MA,\s\up6(→))，则eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝________.解析法一如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A(3，0)，B(0，3)，设M(x，y)，由eq\o(BM,\s\up6(→))＝2eq\o(MA,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2（3－x），,y－3＝－2y，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))即M点坐标为(2，1)，所以eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2，1)·(0，3)＝3.法二eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))2＋eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(BA,\s\up6(→))))＝eq\o(CB,\s\up6(→))2＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))·(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))2＝3.答案3二、解答题9.已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)，sin\f(3x,2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,2)，－sin\f(x,2)))，且x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－eq\f(3,2)，求λ的值.解(1)a·b＝coseq\f(3x,2)coseq\f(x,2)－sineq\f(3x,2)sineq\f(x,2)＝cos2x，|a＋b|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)＋cos\f(x,2)))\s\up12(