2021年中考数学全真模拟卷(上海专用)(解析版)

备战2021中考数学

上海市中考数学全真模拟卷01（2020年中考仿真篇）

一、单选题

1.下列二次根式中，与岳（。＞0）属同类二次根式的是（）

A.J2a2B.y/4aC.J&JD-"人

【答案】C

【解析】

根据同类二次根式的定义进行逐一判断即可得解.A.而7=可，与疝的被开方数不同，则它们不是

同类二次根式，故本选项不合题意；

B.J布=2&，与岳的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意；

C.次/=2。缶，与伍的被开方数相同，则它们是同类二次根式，故本选项正确；

D.历'=2。与疝的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了同类二次根式的相关定义，熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的定义运用是解决本

题的关键.

x—13xx—1

2.用换元法解分式方程----------+1=0时，如果设——=y,将原方程化为关于y的整式方程，那么

XX-1X

这个整式方程是（）

A.y2+y-3=0B.y2-3y+l=0C.3y2-y+1=0D.3y2-y-1=0

【答案】A

【解析】

X—1x-1

换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是——，设——=y,换元后整

XX

v—1v—13x3

理即可求得.解：把——=丫代入方程--------+l=o,得：y一一+1=0.

xxx-1y

方程两边同乘以y得：y2+y-3=0.

故选A.

【点睛】

用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用

换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧.

3.期末考试后，数学老师想制作一个统计图来了解一下本班数学考试各个分数段人数占班级总人数的百

分比，最适合的统计图是（）

A.条形统计图B.扇形统计图

C.折线统计图D.以上都可以

【答案】B

【解析】

【解析】

根据扇形统计图的特点，扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具

体的数据，由此即可解答.根据统计图的特点，想了解本班数学考试各个分数段人数占班级总人数的百分

比，应选用扇形统计图，故选B.

【点睛】

本题考查了扇形统计图的特点，熟知扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从

图中得到具体的数据是解决问题的关键.

4.已知反比例函数y下列结论正确的是（）

X

A.图像经过点（-1,1）B.图像在第一、三象限

C.y随着x的增大而减小D.当x>l时，y<1

【答案】B

【解析】

分析：直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案.

详解：A.反比例函数产上，图象经过点（-1,-1）,故此选项错误；

X

B.反比例函数尸,，图象在第一、三象限，故此选项正确；

X

C.反比例函数产每个象限内，y随着X的增大而减小，故此选项错误；

X

D.反比例函数产,，当x>l时，故此选项错误.

X

故选B.

点睛：本题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键.

5.下列命题中，假命题是（）

A.顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形

B.顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形

C.顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形

D.顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形

【答案】D

【解析】

根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定、中位线定理、中点四边形的定义进行判定即

观察图形：E,RG,”分别为4C,A8,8D,C£＞的中点，根据中位线定理：

EF//BC,GH//BC,EF=GH=；BC

A：顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形,正确；

B：顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形，正确；

C：顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形，正确；

D：顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是平行四边形，错误.

故答案选：D.

【点睛】

本题考查中位线定理应用、平行四边形、特殊的平行四边形的判定，掌握四边形的判定是解题关键.

6.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,其中点B、C分别与点D、E对应，如果B、D、C三

点恰好在同一直线上，那么下列结论错误的是（）

BDC

A.NACB=NAEDB.NBAD=NCAE

C.ZADE=ZACED.ZDAC=ZCDE

【答案】D

【解析】

利用旋转的性质直接对A选项进行判断；利用旋转的性质得NB4C=ND4E,再利用角的和差可得

ZBAD=ZCAE,则可对B选项进行判断；利用旋转的性质得NA£>E=/B,A3=AZ>,AC=AE,然后

根据等腰三角形顶角相等时底角相等得到N8=NACE,则=NACE,则可对C选项进行判断；

先判断NCDE=NB4O,而/明。不能确定等于NZMC,则可对D选项进行判断.♦.•△ABC绕点A逆

时针旋转得到AADE

：.ZACB=ZAED,则A选项的结论正确

由旋转的性质可得NBAC=ZDAE

即NB4Z>+NZXC=NC4E+NZXC

：.ZBAD^ZCAE,则B选项的结论正确

AABC绕点A逆时针旋转得到AADE

：.ZADE=ZB,AB=AD,AC=AE

.•.“30和都是等腰三角形

：ZBAD=ZCAE

二AB=ZACE

二ZADE^ZACE,则C选项的结论正确

VZADC=AB+ZBAD,即NA0E+NC£)E=NB+NB4。

又・；NADE=/B

：.NCDE=NBAD

「AD不能确定平分的C

，ZBAD不能确定等于ZDAC

，NCDE不能确定等于ND4C,则D选项的结论错误

故选：D.

【点睛】

本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握旋转的性质是解题关键.

二、填空题

7.计算：a-(3a)2=_.

【答案】9/

【解析】

先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘以单项式法则计算.解：原式=少9足=9〃,

故答案为：9凉.

【点睛】

考查了积的乘方和单项式乘以单项式，解题关键是熟记计算法则.

8.已知函数/(幻=二」，那么/(—2)=—.

2-x

3

【答案】一二

4

【解析】

—2—13

把x=—2代入函数解析式即可得到答案.解：〃_2)=2_(_2)=一了

3

故答案为：—.

4

【点睛】

本题考查的是求函数值，掌握已知自变量的值求函数值的方法是解题的关键.

9.如果正比例函数》=履的图像经过第一、三象限，那么y的值随着工的值增大而.（填“增大”

或''减小’'）

【答案】增大

【解析】

根据题目信息，正比例函数y=履的图像经过第一、三象限，可得k的值大于0,即可得出结论.根据正比

例函数的性质可知，

如果正比例函数丫=1«的图像经过第一、三象限，那么k>0,

那么y的值随自变量x的值增大而增大.

故答案为：增大.

【点睛】

本题考查正比例函数的性质，属于基础题，熟练掌握正比例函数的性质即可解题.

10.己知关于X的方程f+3x—机=0有两个相等的实数根，那么"，的值为.

【答案】一二9

4

【解析】

根据方程有两个相等的实数根得出△=（），求出m的值即可.解：关于x的方程x2+3x-m=0有两个相等的

实数根，

9

即9+4m=0,解得m=.

4

9

故答案为—.

4

【点睛】

本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a/0）的根与△=b?-4ac的关系是解答此题的关

键.

11.木盒中有一个红球与一个黄球，这两个球除颜色外其他都相同，从盒子里先摸出一个球，放回摇匀后,

再摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是.

【答案】-

4

【解析】

根据题意画出树状图，据此列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得.解：画树状图如下：

由树状图知，共有4种等可能结果，其中两次都摸到黄球的只有1种情况，

所以两次都摸到黄球的概率为L,

4

故答案为：一.

4

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,

列表法适合于两步完成的事件：树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情

况数之比.

12.已知抛物线y=d,把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2,2）,那么平移后

的抛物线的表达式是.

【答案】y=x2-2

【解析】

设所求的函数解析式为y=x2+h,然后将点A坐标代入求得k即可.

解：设所求的函数解析式为y=x2+h

将点A坐标代入得：2=2?+h,解得h=-2

所以平移后的抛物线的表达式是y=x2-2.

故答案为y=x2-2.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的平移问题，上下平移不改变二次项系数及顶点的横坐标，只改变顶点的纵坐标,

上加下减.

13.某校计划在“阳光体育'’活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、足球四个体育活动项目.为了了解全

校学生对这四个活动项目的选择情况，体育老师从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查（规定每人必

须并且只能选择其中一个项目），并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图可以估计该学

校1500名学生中选择篮球项目的学生约为名.

【答案】300

【解析】

先计算出调查学生人数中选择篮球项目学生所占的百分比，再利用样本估计总体用总人数乘以选择篮球项

目学生所占的百分比即可得出答案.解：选择篮球项目学生所占的百分比为：1-16%-28%-36%=20%,

.•.学校1500名学生中选择篮球项目的学生人数约为：1500x20%=300（名）.

故答案为:300.

【点睛】

本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

14.如图，小明在教学楼A3的楼顶A测得：对面实验大楼8的顶端。的仰角为a,底部。的俯角为

B，如果教学楼的高度为加米，那么两栋教学楼的高度差CH为米.

mtana

［答案

【解析】

DH

连接AC,由题意知四边形ABCH是矩形，则DH=AB=m,利用RsADH得到tanND4"=——,推出

AH

LJ

AH=-再根据RsACH中tan/C4”=——，即可求出答案.连接AC,

tan/7AH

由题意知四边形ABCH是矩形，则DH=AB=m,

DH

在RtAADH中，ZDAH=0,tanZDAH

~AH

.„m

：.AH=--------

tanp

CH

在RtAACH中,NCAH=a,tanNCA"=-----

AH

mmtanor

:.CH=tana-

tan0tan0

mtana

故答案为：~

tan/7

c

【点睛】

此题考查锐角三角函数的实际应用，矩形的性质，正确理解题中的仰角和俯角，构建直角三角形利用锐角

三角函数解决问题是解题的关键.

15.如图，已知ABC中，点。、E分别在边AB、AC上，DE//BC,DC、BE交于点O,AB=3AD,设

品=3，DE=b＞那么向量的用向量7、坂表示是

1r3r

［答案］--a■1—b

44

【解析】

利用平行线分线段成比例定理求出二，根据三角形法则求出?，证明OO=L〃C即可.解:

oCUC-］

,JDE//BC,

AZ)_DE_1

AB-BC-3'

：.BC=3DE,

「△DOEs△COB,

.OD_DE_1

"OC-BC-3)

.11

♦♦OD=—OC=—CD,

34

f=f+f,

DCDBBC

：.—........>+——>,

D。4«4*

13

故答案为：----->■1------>

4a4h

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例和平面向量的知识点

16.某市出租车计费办法如图所示，如果小张在该市乘坐出租车行驶了10千米，那么小张需要支付的车费

为元.

【答案】30.8

【解析】

设超过3千米的函数解析式为y=kx+b,根据图中数据利用待定系数法求得解析式，然后把x=10代入即可求

得车费.由图象可知，出租车的起步价是14元，在3千米内只收起步价，

设超过3千米的函数解析式为y=kx+b,

3m4

则《

8k+b=26

k=2.4

解得

b-6.8

.••超过3千米时（x>3）所需费用y与x之间的函数关系式是y=2.4x+6.8,

...出租车行驶了10千米则y=2.4xl0+6.8=30.8（元），

故答案为：30.8.

【点睛】

此题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

17.如图，矩形ABC。沿对角线BO翻折后，点C落在点E处.联结CE交边AO于点F.如果。尸=1,BC

=4,那么AE的长等于.

【解析】

由折叠的性质可得HABCDM&ABEO,由矩形的性质可证明三放ABC。，故可得

RtADAB=RMED,再证明用A5CD〜RrACDE求得CD=2,在R/AAEE中由勾股定理可得解.解:

•四边形ABCD是矩形，△BED是由△BCD翻折得到，

ARt\BCD^RtNBED,CE工BD,

AAD=BC=4,AB=CD=ED,

•••四边形ABCD是矩形，

，AD=BC,AB=CD,

又BD=DB

二Rt\DAB^Rt\BCD

•••RtX）AB=RtKBED

：•AB=ED，ZABD=/EDB

•••四边形ABDE是等腰梯形，

'：CELBD,AE//BD

/.CE±AE,ZEAD=ZADB=ZDBC

■:ZDBC+ZFCB=90°,NFBC+ZFCD=90°

:.NDBC=4FCD

：.Rt^BCD~Rt^CDF

.FDCDm\_CD

CDBCCD4

二CD=2或-2（舍去）

CD21

在Rt^DCB中，tanNDBC-......=—=—,

BC42

■:NEAD=ZDBC

tanZEAD=—

2

在心A4E/中，EF=-AE

2

由勾股定理得，AE1^AF--EF2

即AE2=(AD-FD)2-(^AE)2

：.AE2=(4-1)2--AE2

4

解得：AE=1V5.

故答案为：述.

5

【点睛】

本题考查了矩形的性质、解直角三角形，勾股定理的运用以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于

轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

18.如图，在R/AABC中，ZACB=90\AB=5,BC=3,点P在边AC上，OP的半径为1,如果

QP与边BC和边AB都没有公共点，那么线段PC长的取值范围是.

7

【答案】1<PC〈一

3

【解析】

根据勾股定理得到AC=4,然后找出OP与边BC、AB相切的临界点，根据相似三角形的性质即可得到结

论.解：在R/AABC中，ZACB=90\AB=5,BC=3,

由勾股定理，则AC=j52-32=4,

当OP与边BC相切时，则点C恰好为切点,

此时PC=1；

当OP与边AB相切时，如图，作PD_LAB,

B

'：ZA=ZA,ZC=ZADP=90°,

.,.△ABC^AAPD,

.ABBC

••=,

APPD

.53

•.=—>

AP1

AP——,

3

57

PC=4--=-；

33

7

...线段PC长的取值范围是1<PC<一.

3

7

故答案为：1<PC〈一.

3

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质,正确的作出图形是解题的关键.

三、解答题

19.计算：|当—“―镇一-1=+已］.

【答案】-V2+3

【解析】

直接利用绝对值的意义、二次根式的性质、分数指数塞的性质以及负指数指数累分别化简得出答案.解：

=V3-I-2V2-(V3-V2)+4

=百-1-2夜-G+&+4

=—y/2+3•

【点睛】

本题考查了实数的混合运算，涉及到了绝对值的意义、二次根式的性质、分数指数幕的性质以及负指数指

数幕等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键，体现了数学运算的核心素养.

3(x—2)48-(x+6)

20.解不等式组：\x+l2x-l，并把解集在数轴上表示出来.

-----<-------+1

I23

-3-2-1~0_I_2_3>

【答案】-1〈烂2,数轴见解析

【解析】

3(x-2),,8—(x+6)CD

先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.解：L+l2x-l，

-----<-------+1②

解不等式①，得：％,2,

解不等式②，得：x>-\,

将不等式解集表示在数轴上如下：

---1---g1I11------1------->

-2-1012345

所以不等式组的解集为一1<X,2.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解

集是解此题的关键.

21.如图，在梯形ABC。中，AD//BC,ZBCD=90°,AB=BC^5,AD=2,

⑴求CD的长；

⑵若NABC的平分线交C£>于点E，连结4E，求NAE5的正切值.

【答案】⑴4；(2)2

【解析】

(1)过点A作AE1BC垂足为F,得到BF的长度，在放△AFB中运用勾股定理即可得到AF的长度，利用

AF=DC进而得到答案；

⑵先证明AA6E丝ACBE(SAS),根据全等三角形的性质得到/AEB=/CEB,运用勾股定理求解CE的

长度即可得到答案；解：(1)过点4作4也8(;垂足为F,

由题意得FC=A£>=2,AF=CD,.

•；BC=5,

，BF=5-2=3,

在RtAAF8中：

AB2^AF2+BF2（勾股定理），

即：52=32+AF2

解得AF=4,

：.CD=4；

（2）由AB=BC,NABE=NCBE,BE=BE,

得到丝AC6£（SAS）,

/.ZAEB=ZCEB（全等三角形对应边相等），

/.AE=EC（全等三角形对应边相等），

设AE=EC=尤，

则DE=4T，

在RO4DE中，

AE2=AD2+DE2

无2=(4-x)2+22,

解得x=3,

2

tanNAEB=tanNCEB=—=^=2

CE5

2

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的运用、三角函数得运用、全等三角形的判定与性质，证明/AEB=/CEB是解

题的关键.

22.经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水

泥共需支付厂家费用和其他费用共100元.该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式

进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.

（1）当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨.

（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？

【答案】（1）60；（2）将售价定为200元时销量最大.

【解析】

（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销

售量是多少吨.

（2）设当售价定为每吨x元时，根据当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需

支付厂家费用和其他费用共100元，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，且该经销店计

划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元做为等量关系可列出方程求解.（1）45+

260-240

---------------x7.5=60；

10

（2）设售价每吨为x元,

根据题意列方程为：（x-100）（45+2J^X7.5）=9000,

化简得X2-420x+44000=0,

解得xi=200,X2=220（舍去），

因此，将售价定为200元时销量最大.

【点睛】

本题考查理解题意能力，关键是找出降价10元，却多销售7.5吨的关系，从而列方程求解.

23.已知：如图，D、E分别是AABC的边AB、AC上的点，且Z4£D=NA3C，连接砥、CO相

交于点F.

Bc

（1）求证：ZABE-ZACDy

（2）如果£D=EC,求证：±干=£/.

BD-EB

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

APAD

（1）先说明AAOE〜aACB可得一二—，再说明Zvioc〜"£3,最后根据相似三角形对应角相等

ADAC

即可证明：

DFE/器’进一步可得〔需〉短嚷即可证明■证明:

（2）先说明△££）/〜△£»£）得到一=；

BDL

(1)VZAED^ZACB,ZA=ZA，

**•^,ADE~AACB，

.AEAB

••一，

ADAC

又•••/A=NA，

AADC-AAEB，

:.ZABE=ZACD；

(2)'：ED=EC,

；•NEDC=ZACD,

'：ZABE=ZACD

4EDC=ZABE,

又,:ADEF=ZDEF，

■,­/\EDF〜ZXEBD，

.DFEFDE

'~BD~~DE~~BE

2

DF「EFDE

\BDDEBE

.DF2_EF

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理成为解答本题的关键.

24.已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线产公2+陵+2经过点A（—3,-6）、8（6,0）,与y轴交于点C.

八

1-

O15

（1）求抛物线的表达式；

（2）点。是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD

①如果点。的横坐标为2.求col/OCB的值；

②如果NQCB=2NCB0,求点。的坐标.

【答案】（1）y———x2+~^x+2；（2）①万；②。（4,了］

【解析】

（1）根据点A，B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）①根据（1）中所求抛物线表达式，可以得到点B、C、。的坐标，根据坐标系中两点间距离公式求

出OB、BC、。。的值，证明三角形为直角三角形，进而求出cot/OCB的值；

②过C作x轴的平行线，过。作》轴平行线交于“，根据平行线的性质推导出NDC”=NCBO,从而

得出三角形相似，利用相似比求出点。的坐标.（1）将4（-3,-6）、网6,0）代入、=以2+法+2,

9。―3。+2=-6

得，\，

36a+6Z?+2=0

a-——

3

解得：\,

b=-

[3

•••抛物线的表达式为丁=一；/+：左+2；

(2)①当x=2时，y=——x22+—x2+2=4,

33

当x=0时，y=2,

A0(2,4),C(0,2),8(6,0),

•*-DB=7(2-6)2+(4-0)2=472，

BC=7(6-0)2+(0-2)2=2V10,

DC=7(2-0)2+(4-2)2=2夜,

:.BD2+CD2=BC2>

.•.△8DC为直角三角形，其中NO=90°,

DC2V21

cotZ.DCB

DB-472—2

②过C作X轴的平行线，

过。作y轴平行线交于“，

设点D坐标为(必,一gm2+1m+2),则H(m,2),

/.DH=——m2+—m,

33

ZDCB=2NCBO=2ZBCH=2/DCH,

ZDCH=ZCBO,

•;/CHD=NBOC=9Q。,

:.^CHD~ABOC,

vC(0,2),8(6,0),

OC=2,OB=6,

oH-c0

-一

if0

5

-1

23

--

rm+3

得

舍

解4

m--o

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数上点的坐标、坐标中两点间距离公式、余切三角函数、

平行线的性质、相似三角形的判定、相似比等，解答本题的关键是熟练运用这些知识点并根据已知条件做

好辅助线.

25.已知圆。的直径AB=4,点尸为弧A3上一点，联结~4、PO,点C为劣弧A尸上一点（点。不与

点A、尸重合），联结8c交R4、P0于点。、E

7

（1）如图，当COSNCBO=G时，求BC的长；

（2）当点C为劣弧AP的中点，且与A4OP相似时，求NA8C的度数;

（3）当A£）=2r>P，且MEO为直角三角形时.求四边形AOEO的面积.

7ss

【答案】(1)-；(2)18°；(3)-或一6.

236

【解析】

（1）方法一：作OG_LBC,利用垂径定理和余弦即可求得；方法二：连接AC,根据直径所对的圆周角

等于90。可得NACB=9O。，利用余弦解直角三角形即可；

（2）先根据已知条件确定两个相似三角形的对应角，得出NP=NP£O=NB40=N0E3,设

ZABC=ct,利用等腰三角形等边对等角和弧与圆心角的关系，圆周角定理分别表示/AOP和/OEB,

利用三角形外角的性质即可求得a即