第3章 平面机构的运动分析(4学时)

第3章平面机构的运动分析3平面机构的运动分析§3-1机构运动分析的任务、目的和方法§3-2速度瞬心及其在机构速度分析中的应用§3-3用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析§3-5用解析法作机构的运动分析目录第3章平面机构的运动分析第3章平面机构的运动分析基本要求：明确机构运动分析的目的和方法；理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心）的概念，并能运用“三心定理”确定一般平面机构各瞬心的位置；能用瞬心法对简单高、低副进行速度分析。能用图解法和解析法对平面二级机构进行运动分析。本章重点：速度瞬心的概念和“三心定理”的应用；通过机构位置矢量多边形建立机构的位置矢量方程；应用相对运动图解法原理求二级机构构件上任意点和构件的运动参数。本章难点：对有共同转动且有相对移动的两构件重合点间的运动参数的求解。

机构运动分析的任务

在已知机构尺寸和原动件运动规律的情况下，确定机构中其它构件上某些点的轨迹、位移、速度及加速度和某些构件的角位移、角速度及角加速度。§3-1机构运动分析的任务、目的和方法机构运动分析的目的位移、轨迹分析ACBEDHEHD确定机构的位置（位形），绘制机构位置图。确定构件的运动空间，判断是否发生干涉。确定构件(活塞)行程，找出上下极限位置。④确定点的轨迹（连杆曲线）。速度分析①通过分析，了解从动件的速度变化规律是否满足工作要求。如牛头刨床；②为加速度分析作准备。加速度分析①确定各构件及其上某些点的加速度；②了解机构加速度的变化规律；③为机构的力分析打基础。机构运动分析的方法●图解法●解析法速度瞬心法矢量方程图解法§

3-2用速度瞬心法作平面机构的速度分析

速度瞬心(瞬心):

两个互相作平面相对运动的刚体（构件）上绝对速度相等的重合点。

——两构件的瞬时等速重合点一、速度瞬心(InstantaneousCenterofVelocity——ICV)12A2(A1)B2(B1)P21

VA2A1VB2B1相对瞬心－重合点绝对速度不为零。绝对瞬心－重合点绝对速度为零。瞬心的表示——构件i和j的瞬心用Pij表示。特点：①该点涉及两个构件。②绝对速度相同，相对速度为零。③相对回转中心。二、机构中瞬心的数目∵每两个构件就有一个瞬心∴根据排列组合有若机构中有N个构件（包括机架），则三、机构中瞬心位置的确定

1）以转动副相联的两构件的瞬心12P12——转动副的中心。2）以移动副相联的两构件的瞬心——移动副导路的垂直方向上的无穷远处。12P12∞1.通过运动副直接相联的两构件的瞬心位置确定3）以平面高副相联的两构件的瞬心当两高副元素作纯滚动时——瞬心在接触点上。t12nnt当两高副元素之间既有相对滚动，又有相对滑动时——瞬心在过接触点的公法线n-n

上，具体位置需要根据其它条件确定。V1212P122.不直接相联两构件的瞬心位置确定——三心定理三心定理——(Kennedy’stheory)

三个彼此作平面相对运动的构件的三个瞬心必位于同一直线上。其中一个瞬心将另外两个瞬心的联线分成与各自角速度成反比的两条线段。32

2

31VK2VK1P12P13

2321P12P13P23VP23

3K(K2,K3)四、用瞬心法进行机构速度分析例1

如图所示为一平面四杆机构，（1）试确定该机构在图示位置时其全部瞬心的位置。（2）原动件2以角速度ω2顺时针方向旋转时，求图示位置时其他从动件的角速度ω3、ω4。

解

1、首先确定该机构所有瞬心的数目K=N（N－1）/2=4（4－1）/2=62、求出全部瞬心方法：定义法+三心定理：技巧：用瞬心多边形作为标记：构件用点代替，瞬心用线段来代替。瞬心P13、P24用三心定理来求P24P133241ω4ω21234P12P34P14P23P24P133241ω4ω2P12P34P14P23∵P24为构件2、4等速重合点构件2：构件4：同理可以求得机构传动比21344123例2：图示为一曲柄滑块机构，设各构件尺寸为已知，又已知原动件1的角速度ω1，现需确定图示位置时从动件3的移动速度V3。P34

∞P34

∞解

1、首先确定该机构所有瞬心的数目K=N（N－1）/2=4（4－1）/2=6

2、求出全部瞬心21344123VP13∵P13为构件1、3等速重合点2134P34

∞P34

∞3、求出3的速度123K例3

图示为一凸轮机构，设各构件尺寸为已知，又已原动件2的角速度ω2，现需确定图示位置时从动件3的移动速度V3。解：先求出构件2、3的瞬心P23

P13→∞nn123P12P13→∞P23ω1123五、速度瞬心在机构速度分析中的应用1.求线速度已知凸轮转速ω1，求推杆的速度。P23∞解：①直接观察求瞬心P13、P23

。V2③求瞬心P12的速度。V2＝VP12＝μl(P13P12)·ω1长度P13P12直接从图上量取。P13②根据三心定律和公法线

n－n求瞬心的位置P12

。nnP12P24P13ω22.求角速度解：①瞬心数为6个②直接观察能求出4个余下的2个用三心定律求出。③求瞬心P24的速度。VP24＝μl(P24P14)·ω4

ω4

＝ω2·

(P24P12)/P24P14a)铰链机构已知构件2的转速ω2，求构件4的角速度ω4

。

VP24＝μl(P24P12)·ω2相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧，两构件转向相同VP242341ω4P12P23P34P14312b)高副机构已知构件2的转速ω2，求构件3的角速度ω3

。ω2解:用三心定律求出P23

。求瞬心P23的速度

:VP23＝μl(P23P13)·ω3

∴ω3＝ω2·(P13P23/P12P23)P12P13VP23VP23＝μl(P23P12)·ω2相对瞬心位于两绝对瞬心之间，两构件转向相反。nnP23ω3312P23P13P123.求传动比定义：两构件角速度之比传动比。ω3/ω2

＝P12P23

/

P13P23推广到一般：

ωi/ωj

＝P1jPij/

P1iPij结论:①两构件的角速度之比等于绝对瞬心至相对瞬心的距离之反比。②角速度的方向为：相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧时，两构件转向相同。相对瞬心位于两绝对瞬心之间时，两构件转向相反。ω2ω34.用瞬心法解题步骤①绘制机构运动简图；②求瞬心的位置；③求出相对瞬心的速度;瞬心法的优缺点：①适合于求简单机构的速度，机构复杂时因瞬心数急剧增加而求解过程复杂。②有时瞬心点落在纸面外。③仅适于求速度V,使应用有一定局限性。④求构件绝对速度V或角速度ω。§

3-3用矢量方程图解法作机构的速度及加速度分析一、矢量方程图解法的基本原理和作法

基本原理——(1)矢量加减法；(2)理论力学运动合成原理。因每一个矢量具有大小和方向两个参数，根据已知条件的不同，上述方程有以下四种情况：设有矢量方程：

D＝A+B+C(1)矢量加减法大小：？

方向：？

ABDC§3－3用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析大小：

??

方向：CD大小：

方向：??大小：

?

方向：?

ABADCBCDAB

特别注意矢量箭头方向！

作法：1）根据运动合成原理——列出矢量方程式。2）根据矢量方程式——作图求解。构件间的相对运动问题可分为两类：绝对运动=牵连运动+相对运动(2)理论力学运动合成原理同一构件上的两点间的运动关系两构件重合点间的运动关系AB1A(A1,A2)2二、同一构件上两点间的速度及加速度的关系

现以图示曲柄滑块机构为例，说明用矢量方程图解法作机构的速度分析和加速度分析的具体步骤。已知图示曲柄滑块机构原动件AB的运动规律和各构件尺寸。求：①图示位置连杆BC的角速度和其上各点速度。②连杆BC的角加速度和其上C点加速度。（1）

速度关系：①根据运动合成原理，列出速度矢量方程式：大小：方向：?

ω1lAB

?∥xx⊥AB⊥BC②确定速度图解比例尺μv((m/s)/mm)cb速度多边形③作图求解未知量：p极点（逆时针方向）如果还需求出该构件上E点的速度VE大小：方向：?

√

?

?⊥AB⊥EB∥xx⊥ECcbp极点e√

?△bce

~

△BCE,叫做△BCE

的速度影像，字母的顺序方向一致。

速度影像原理：同一构件上若干点形成的几何图形与其速度矢量多边形中对应点构成的多边形相似（其位置为构件上的几何图形沿该构件的方向转过90º）。

速度多边形的特性：3）在速度多边形中，极点p代表机构中速度为零的点。1）在速度多边形中，由极点p向外放射的矢量代表构件上相应点的绝对速度，方向由极点p指向该点。4）已知某构件上两点的速度，可用速度影象法求该构件上第三点的速度。2）在速度多边形中，联接绝对速度矢端两点的矢量，代表构件上相应两点的相对速度，例如:

代表cb速度多边形p极点(2)加速度关系：根据运动合成原理，列出加速度矢量方程式：方向：√√

C→B⊥BC

大小：？

√

22lBC

？

作矢量多边形。根据矢量方程式，取加速度比例尺图示尺寸实际加速度,/mms2ma=mb

ncbp极点ec´p

由加速度多边形得：b

nc´p

acbtacbn同样，如果还需求出该构件上E点的加速度

aE，则方向：？

E→B⊥BE大小：？

ω2

2

lBE

2

lCE同理，按照上述方法作出矢量多边形。则代表n

e

b

nc´p

由加速度多边形得：方向：？

E→B

⊥BE大小：？

ω2

2

lBE

2

lCE△b’c’e’~

△BCE,叫做△BCE

的加速度影像，字母的顺序方向一致。

加速度影像原理：同一构件上若干点形成的几何图形与其加速度矢量多边形中对应点构成的多边形相似（其位置为构件上的几何图形沿该构件的

方向转过(180º-

)）。n

e

b

nc´p

(

-

)

acbtacbn

加速度多边形的特性：b

nc´p

acbtacbn1）在加速度多边形中，由极点p´

向外放射的矢量代表构件上相应点的绝对加速度，方向由极点p´

指向该点。2）在加速度多边形中，联接绝对加速度矢端两点的矢量，代表构件上相应两点的相对加速度，例如:

代表。3）在加速度多边形中，极点p´

代表机构中加速度为零的点。4）已知某构件上两点的加速度，可用加速度影象法求该构件上第三点的加速度。ω1ADC1432B

1三、两构件重合点间的速度和加速度的关系

已知图示机构尺寸和原动件1的运动。求重合点C的运动。4原理——构件2的运动可以认为是随同构件1的牵连运动和构件2相对于构件1的相对运动的合成。

C分析——构件1和2组成移动副，点C为两个构件的一个重合点。Vc2、ac2根据两构件重合点间的关系可由vc1、ac1求出，而构件2和3在C点的速度和加速度相等。

ω1ADC1432B4依据原理列矢量方程式将构件1扩大至与C2点重合。

1大小：方向：？

√

?⊥CDvC2取速度比例尺

v

,

作速度多边形，由速度多边形得：c2(c3)(顺时针）c1PvC1⊥AC∥ABC1.

速度分析：

依据原理列矢量方程式c2(c3)c1Pω1ADC1432B4

1CakC2C1科氏加速度方向——将vC2C1沿牵连角速度w1转过90o。2.

加速度分析：

aC2aC2C1+aC1=科氏加速度当牵连点系（动参照系）为转动时，存在科氏加速度。动系转动速度相对速度分析：？Cc2(c3)c1PA44ω1D132B

1方向：？

√√∥AB

大小：？

已知√

？akC2C1由于上式中有三个未知数，故无法求解。可根据3构件上的C3点进一步减少未知数的个数。arC2C1aC1naC1t大小：方向：C→D⊥CD√√∥AB√？Cc2(c3)c1PCA44ω1D132B

1akC2C1arC2C1aC1naC1tC？大小：方向：C→D⊥CD√√∥AB√？c1´n´

c2´

(c3´)

k´p’取速度比例尺

a

,

作加速度多边形。由加速度多边形可得：（顺时针）c2(c3)c1PCA44ω1D132B

1akC2C1arC2C1aC1naC1tCc1´n´

c2´

(c3´)

k´p’atC3arC2C1B123B123B123B1231B23B123B123B123无ak

无ak

有ak

有ak

有ak

有ak

有ak

有ak

哥氏加速度存在的条件：判断下列几种情况取B点为重合点时有无ak

2）两构件要有相对移动。1）牵连构件要有转动；如图所示为一偏心轮机构。设已知机构各构件的尺寸，并知原动件2以角速度w2等速度转动。现需求机构在图示位置时，(1)滑块5移动的速度vE、加速度aE(2)构件3、4、5的角速度w3、w4、w5和角速度a3、a4、a5。典型例题分析解：1.画机构运动简图E(E5,E6)a3ω3a6ω63DB2ω256Cα4ω4xxA2.速度分析：(1)求vB:

E(E5,E6)a3ω3a6ω63DB2ω256Cα4ω4xxA（2）求vC:

ce3(e5)be6P(a、d、f)（3）求vE3:

用速度影像求解（4）求vE6:

大小：方向：？√?⊥EF√∥xx（5）求w3、w4、w5;/3sradBCbclvlvBCCBmmw==3.加速度分析(1)求aB:E(E5,E6)a3ω3a6ω63DB2ω256Cα4ω4xxA(2)求aC及a3、a4大小：方向：√？√√？C→D⊥CDB→AC→B⊥CB其方向与(3)求aE

：利用影像法求解(4)求aE6和a6E→F⊥EF√⊥xx∥xx大小：方向：√？√√？E(E5,E6)a3ω3a6ω63DB2ω256Cα4ω4xxAn

6k

e6

akE6E5=2

5

vrE6E5矢量方程图解法小结列矢量方程式

★分清基本原理中的两种类型：同一构件的两点——基点+相对转动两个构件重合点——牵连+相对运动

★矢量方程式图解求解条件——只能有两个未知数

2.做好速度多边形和加速度多边形

★绝对矢量、相对矢量、指向的规律

★

比例尺的选取及单位。3.注意速度影像法和加速度影像法的应用原则和方向4.构件的角速度和角加速度的求法5.科氏加速度存在条件、大小、方向的确定。一、矢量方程解析法1.矢量分析的有关知识其中：l－矢量的模，θ－幅角，各幺矢量为：则任意平面矢量的可表示为：幺矢量—单位矢量－矢量L的幺矢量，－切向幺矢量

－法向幺矢量，－x轴的幺矢量

－y轴的幺矢量

θLjiyxetenije§3-5用解析法作机构的运动分析（了解）3.位置分析列机构矢量封闭方程2.用矢量方程解析法作平面机构的运动分析图示四杆机构，已知机构各构件尺寸及原动件1的角位移θ1和角速度ω1

，现对机构进行位置、速度、加速度分析。分析步骤：2.标出杆矢量xy求解q3消去q21.建立坐标系将等式两边各自点积ABC同理求q2说明：

q2及q3均有两个解，可根据机构的初始安装情况和机构传动的连续性来确定其确切值。4.速度分析

（同vC=vB+vCB）求导用e2点积用e3点积5.（同理）加速度分析求导用e2点积用e3点积同理得二、复数矢量法杆矢量的复数表示：机构矢量封闭方程为速度分析求导加速度分析求导xy位置分析位置分析三、矩阵法只有q2和q3为未知，故可求解。变形xy用解析法作机构的运动分析小结：机构运动分析建立坐标系标出杆矢量机构位置、速度、加速度分析列矢量封闭方程式矢量方程解析法复数法矩阵法矢量方程是关键其它为数学运算图解法速度瞬心法矢量方程图解法◆矢量方程图解法的基本原理◆同一构件上两点间的速度及加速度的关系◆两构件重合点间的速度和加速度的关系◆速度瞬心的定义◆机构中瞬心数目和位置的确定◆瞬心的应用解析法矢量方程解析法复数矢量法矩阵法本章小结矢量方程图解（相对运动图解法）依据的原理理论力学中的运动合成原理1、根据运动合成原理列机构运动的矢量方程2、根据按矢量方程图解条件作图求解基本作法

同一构件上两点间速度及加速度的关系

两构件重合点间的速度和加速度的关系机构运动分析两种常见情况本章重点题型练习：

P44，3-3.试求图示各机构在图示位置时全部瞬心的位置。ABC1234a)ABC1234b)AB1234c)BAC1M234vMd)解：ABC1234a)P12P23P34P14∞P13∞P24通过运动副直接相联的两构件的瞬心：P12在A点，P23在B点，P34在C点，P14在垂直于移动副导路方向的无穷远处。不通过运动副直接相联的两构件的瞬心位置，借助三心定理来确定：对于构件1、2、3，P13必在P12及P23的连线上，而对于构件1、4、3，P13又必在P14及P34的连线上，因上述两线平行，故上述两线的交点在无穷远处，即为P13在垂直于BC的无穷远处。对于构件2、3、4，P24必在P23及P34的连线上，而对于构件2、1、4，P24又必在P12及P14的连线上，故上述两线的交点B即为瞬心P24。解：通过运动副直接相联的两构件的瞬心：P12在A点，P23在垂直于移动副导路方向的无穷远处，P34在B点，P14在垂直于移动副导路方向的无穷远处。。ABC1234b)P12P232∞P34P142∞P13P24不通过运动副直接相联的两构件的瞬心位置，借助三心定理来确定：对于构件1、2、3，P13必在P12及P23的连线上，而对于构件1、4、3，P13又必在P14及P34的连线上，故上述两线的交点即为P13。同理，可求得瞬心P24。解：AB1234c)P12→∞P14→∞P34P23P13P24→∞通过运动副直接相联的两构件的瞬心：P12在垂直于移动副导路方向的无穷远处，P23在A点，P34在B点，P14在垂直于移动副导路方向的无穷远处。不通过运动副直接相联的两构件的瞬心位置，借助三心定理来确定：对于构件1、2、3，P13必在由P12和P23确定的直线上，而对于构件1、4、3，P13又必在由P14和P34确定的直线上，故上述两直线的交点即为P13。对于构件2、3、4，P24必在由P23和P34确定的直线上，而对于构件2、1、4，P24又必在由P12及P14确定的直线上（两个无穷远点确定的直线），故上述两线的交点即为P24，即P24在直线AB上的无穷远处。解：BAC1M234vMd)P12P23P14P34∞P13P24通过运动副直接相联的两构件的瞬心：P12必在过A点的公法线上，同时P12必在垂直于vM的直线上，故上述两线的交点即为P12。P23在B点。P34在垂直于移动副导路方向的无穷远处。P14在C点。不通过运动副直接相联的两构件的瞬心位置，借助三心定理来确定：对于构件1、2、3，P13必在P12及P23的连线上，而对于构件1、4、3，P13又必在P14及P34的连线上，故上述两线的交点即为P13。同理，可求得瞬心P24。P44，3-6.在图示的四杆机构中，μL=3(mm/mm)，l