第3章 复变函数的积分

第3章复变函数的积分复积分是研究解析函数的一个重要工具.解析函数的许多重要性质要利用复积分来证明.例如要证明“解析函数的导函数连续”及“解析函数的各阶导数存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，一般均要使用复积分.本章要建立的柯西积分定理及柯西积分公式尤其重要，是复变函数论的基本定理和基本公式，以后各章都直接地或间接地和它们关联.§1复变函数积分的概念1．积分的定义设是以为起点，为终点的光滑或分段光滑曲线，复变函数在上有定义，在上沿着由到的方向依次取分点，，将分成许多小段.对应于每段作乘积，其中是以及为端点的那小段弧上的任意一点再作出和式

图3.1

令为所有小段的弧长的最大值，当分点无限增多而时如果不论对的分法及的取法如何，有唯一极限，那么称函数在上可积，而称这极限值为函数沿曲线的积分，记作

2．积分的性质由复变函数积分的定义，不难看出，这个积分具有曲线积分的一切基本性质，不待多述.特别，如果在曲线上连续，，而的长为，则

事实上，我们有两端取极限，得这里表示连续函数（非负的）沿所取的曲线积分（第一型），因此便得不等式的第一部分.又因

所以，这是不等式的第二部分.

3．积分的存在条件与计算设按段光滑曲线由参数方程：给出.

若在上连续.则及在上都连续.

记，由于

根据线积分存在定理，上式取极限时，右端的实部与虚部两个和式的极限都存在，因而有

因此，当是连续函数，而是光滑曲线时，积分是一定存在的.

根据线积分的计算方法，我们有上式右端可以写成

所以

例1计算的值，其中为1）沿从到的线段：2）沿从到的线段：与从到的线段：所接成的折线.

解：1）2）

例2

计算，其中为以为中心，为半径的正向圆周，为整数

解：的方程可写作所以（a）上半圆周（b）下半圆周其中设表示平方根的主值.

例3沿从到的如下路径求.图3.2

解：（a）在积分路径上，主值（b）在积分路径上，的主值，

例4

计算

是单位正方形的周线

图3.3

解：因此§2柯西积分定理

1．柯西积分定理

以上的积分定义是对一般连续函数给出的，我们所最关心的当然不是一般连续函数的积分，而是解析函数的积分.下面的定理是解析函数理论中的基本定理，以后的许多结果都是建立在这个定理的基础之上的.为简单计，称简单光滑闭曲线为闭路.沿闭路的积分按逆时针方向取.

定理3.2.1（Cauchy积分定理）如果函数在闭路上及由所围成的单连域上是解析的，则证：这个定理本来不作进一步假设就可证明.但为节省时间起见，假设在所围成的域内是连续的，这时可以利用Green公式但依C-R方程

故得其实Cauchy积分定理的条件还可以放宽一些，不必要求在上也解析.可以证明：只要函数在所围成的区域上（包含边界在内）连续而在区域的内部解析，仍然有定理3.2.2如果函数在单连域内处处解析，那么函数沿内的任何一条闭路的积分.2．不定积分

由柯西积分定理出发，还可以推出以下的定理：

定理3.2.3

设是单连域内的一个解析函数，而和是在内连接和的任意两条按段光滑曲线，则

图2.3

证：

本定理说明单连域上的解析函数的积分完全由它的上、下限决定，而与所沿路径无关.

若点固定而点在内变动，则积分

与所沿路径无关，是的一个单值函数.关于有如下定理：

定理3.2.4

若函数在单连域内解析，则也在内解析，且

证：这里，图2.4这两个线积分是与路线无关的，因此：同理，于是得

由此可知，函数是内一个解析函数，而且

下面，再来讨论解析函数积分的计算.首先，引入原函数的概念：如果函数的导数等于即那么称为的原函数.因此，为的一个原函数.

利用原函数的这个关系，可以推得与牛顿-莱布尼茨公式类似的解析函数的积分计算公式：

定理3.2.5如果在单连域内处处解析，为的一个原函数，那么

这里，为域内的两点.

证：也是的原函数，所以当时，根据柯西定理，得，因此例如，由于为的一个原函数，所以

例1

计算

从到的直线段，利用上定理较简单

解1

解2

3．复合闭路定理

为了把柯西积分定理推广到多连域，先建立复合闭路：在的内部作闭路，使其把不属于的部分包围起来，且它们之间互不相交，互不包含.这样以为边界的区域全含于.取的方向为正向，的方向为负向，组成复合闭路

定理3.2.6

（复合闭路定理）设函数在以复合闭路为边界的区域内解析，则

（1）

（2）

图3.5

证：

如图将区域分成两个单连域以表其边界，则有在相加时，辅助线上的积分两次且方向相反，所以有特别地如果是由内、外两条闭路、所围成的环行域，而在内及其边界上是解析的，则说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.这一重要事实，称为闭路变形原理.

例如，当为以为中心的正向圆周时，.所以，根据闭路变形原理，对于包含的任何一条闭路都有

例1

计算的值，为包含圆周在内的任何正向闭路.

解：设与是内的两个互不包含也互不相交的正向圆周，而且对被积函数的两个奇点与来说，只包围原点，只包围，那么图3.6

§3柯西积分公式

1．柯西积分公式设是一个单连域，边界是任意一条逐段光滑闭曲线(闭路)，又是闭区域上的一个解析函数.则函数在点不解析，所以积分一般不为零.又根据闭路变形原理，这积分的值，沿任何一围绕的闭路都是相同的.因此，我们就取以为中心，半径为的很小圆周上的函数值，它与在圆心的函数值相差很小，这使我们想到积分的值随的缩小而逐渐接近于其实两者是相等的，即

定理3.3.1（柯西积分公式）设函数在闭路上及其内部内是解析的，而是内的任意一点，则图3.7

证：在内解析.在连续，由连续的定义，使当时，成立，在内以为中心，为半径作圆：.则

由积分性质有因此，称为柯西积分公式.

它反映了解析函数值之间很强的内在联系，在内点的值可以由在边界上的值通过积分来表示，它不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式

它也是研究解析函数的有力工具.

如果是圆周，则

这就是说，一个解析函数在圆心的值等于它在圆周上的平均值，叫做平均值公式.

柯西积分公式扩充到复合闭路的情况：在前段中我们假定区域是单连的，不难证明，在前段中所建立的柯西公式可以扩充到多连域.现在就来考虑一个多连域，它的边界是一条复合闭路，由有限条逐段光滑的闭曲线所组成.

假定是闭区域上的一个解析函数，我们来建立柯西积分公式

这里是区域的任一点，而积分是沿复合闭路的正方向取的.为了证明这个公式，我们环绕点取这样小的一条闭路.图3.8

使得在这条闭路上与它内部的一切点都在区域内，考虑复合闭路，这条复合闭路是在原来的闭路上添上取反方向的曲线构成的.用表示以为边界的区域.于是很明显，函数在闭区域上是解析的，因而根据柯西定理，有：

或即

于是

这里积分是沿闭路与的正方向取的.因为函数在闭路的内部与上的每一点都是解析的，所以根据前段中的结果，

即

思考题：若，则柯西积分公式之值为何？

例1

解：被积函数有两个奇点和

奇点为

无奇点，故奇点奇点，，用复合闭路定理

课堂练习

1．2．中心为半径为的圆周

3．

例2沿下列各点为中心，半径为1的正向圆周求积分.（1）（2）（3）（4）

解：（1）设则因为在边界上及其内部解析，所以（2），是的内部的点，因在边界上及其内部解析，所以

（3），是的内部的点，在边界上及其内部解析故

（4），在边界上及其内部解析，故

例3.

求积分

图2.9

解：

2．解析函数的高阶导数直到目前为止，我们说复变数的一个单值函数在一个区域内是解析的，是指它在这个区域的每一点都有有限导数.在实变函数的情形，从有限导函数的存在性推不出这个导函数的连续性，但是在复变函数的情形，却有下面这个异常重要的定理成立：假如复变数的单值函数在区域内到处都有一级导数，那么它在这个区域内就有一切高阶的导函数.

附注：很明显，这个定理不仅肯定了区域内的解析函数的一切阶的导函数的存在，而且也肯定了这些导函数的连续性.在上可微，但其导函数在点不连续，因此不可微.

但是实函数是不行的，例如

定理3.3.2如果函数在闭路上及其所围成的单连域内是解析的，则在内任意一点，函数有任意阶导数，且在内下列公式成立.证：情形，即要证根据定义从柯西积分公式得从而有让趋向于零，如果在积分符号下取极限，从上式可以得到：

剩下来只要证明：在这里，这种形式地取极限的确是可以的，为此作差.设

则因为在上解析，所以在上连续，故有界，即存在一个正数，使得，在上成立.

设为从到曲线上各点的最短距离，并取适当小，使满足图2.10于是我们有注意此处

所以，，其中为长，若，则，从而得再利用上述同样的方法，求便可得到这里我们已经证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数，依次类推，用数学归纳法可以证明公式指出，要得到函数的导函数，只要在积分号下对形式地求导就行了.

例1（柯西不等式）设在区域内解析，，为圆周，且及其内部全含于，则有其中

证：

故

例2求下列积分的值，其中为正向圆周.1）2）3）

解：1）函数

在内的处不解析.但在上及其内部却是处处解析的.根据公式，有2）函数在内的处不解析，在内以为中心作一个正向圆周，以为中心作一个正向圆周那么函数在由，和所围成的区域中是解析的.

根据复合闭路定理图3.11同样可得

所以3）被积函数在积分路线的内部有两个奇点，故首先要应用复合闭路定理，然后再应用高阶导数公式，在内作圆周，，则

图3.12

而

所以

例4在单位圆上及内部解析，证明

证：

例3在圆上及内部解析，证明

在内

证：右左

例5设函数在复平面上处处解析，且有，为两个任意相异复数，为证明：，并推出.

证：由柯西不等式，有当时，上式右端，故.

又由，从而得

例6设在区域内解析，为内的任意一条正向简单闭曲线，证明：对在内但不在上的任意一点，等式成立.

证：若点在的外部，左、右两端全为0，等式显然成立.另一方面，由高阶导数公式

否则由柯西积分公式

例7在区域内解析，，证明若是一个充分小的，以为心的圆，那么

证：设，，那么

例8若在单位圆内解析，且则

证：取为圆，由假设知在上及其内解析，故于是得

例9设函数在上解析，且，计算积分

解：原式

例10设，求

解：设则例11.设，求，.解：由柯西积分公式这样，

故，

§3.4解析函数与调和函数

如果二元实函数在区域内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯（Laplace）方程

则称为区域内的调和函数，或说在内调和.

由定理3.3.2可知解析函数的实部和虚部有任意阶偏导数.在C-R方程中两端分别对与求偏导数，得因有任意阶偏导数，故二阶偏导数连续，所以

于是有

同理有

定理1

在区域内解析是内的调和函数.

注：定