第2章正弦交流电路new

第二章正弦交流电路

§2.1

正弦交流电的基本概念§2.4

电路的功率因数§2.3

正弦交流电路的分析计算

§2.2

单一参数交流电路如果电流或电压每经过一定时间

(T)就重复变化一次，则此种电流

、电压称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波等。记做：u(t)

=

u(t+T)TutuTt§2.1

正弦交流电的基本概念动画如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。

正弦交流电的优越性：便于传输；便于运算；有利于电器设备的运行；

······正弦交流电路正弦交流电也有正方向,一般按正半周的方向假设。

交流电路进行计算时，首先也要规定物理量的正方向，然后才能用数字表达式来描述。实际方向和假设方向一致实际方向和假设方向相反tiiuR正弦交流电的方向1．正弦波的特征量

2．正弦波的相量表示方法i

Im：

电流幅值(最大值)

：

角频率(弧度/秒)

：初相角特征量:1．正弦波的特征量

Im

tIm为正弦电流的最大值

在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压220

V，也是指供电电压的有效值。最大值电量名称必须大写,下标加m。如：Um、Im正弦波特征量之一——幅度则有(均方根值)可得当

时，交流直流热效应相当电量必须大写如：U、I有效值有效值概念

电器~220

V最高耐压

=300

V若购得一台耐压为

300

V的电器，是否可用于

220

V的线路上?

该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。有效值

U

=

220

V最大值

Um

=220V

=

311V

电源电压问题与讨论描述变化周期的几种方法

1．周期

T

：

变化一周所需的时间

单位：秒，毫秒

3．角频率

：

每秒变化的弧度

单位：弧度/秒2．频率

f：

每秒变化的次数

单位：赫兹，千赫兹

iT正弦波特征量之二

—角频率*电网频率：

中国

50

Hz

美国

、日本

60

Hz*

有线通讯频率：300～5000

Hz

*无线通讯频率：

30

kHz～3×104

MHz小常识

：

t

=

0时的相位，称为初相位或初相角。说明：

给出了观察正弦波的起点或参考点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。i(

t+

)：正弦波的相位角或相位正弦波特征量之三

—初相位

两个同频率正弦量间的相位差(初相差)

t

=(t+

2)

-

(t+

1)=

2-

1i1=Im1sin(t+

1)i2=Im2sin(t+

2)同相位

i1落后于i2相位落后相位领先i1领先于i2两种正弦信号的相位关系

1=

2

=

1

-

2>0

=

1

-

2<0

三相交流电路：三种电压初相位各差120

。

tuAuBuC可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。结论：因角频率(

)不变，所以以下讨论同频率正弦波时，

可不考虑，主要研究幅度与初相位的变化。幅度、相位变频率不变如：幅度：已知：频率：初相位：例

瞬时值表达式

相量必须小写前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。

波形图i

正弦波的表示方法：重点2．正弦波的相量表示方法

t

概念：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示。

正弦波的相量表示法矢量长度

=Um

矢量与横轴夹角

=初相位

矢量以角速度

按逆时针方向旋转ω

Um

t

3．相量符号

包含幅度与相位信息。1．描述正弦量的有向线段称为相量

(phasor)。若其幅度用最大值表示，则用符号：有效值最大值2．在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：相量的书写方式

落后于例1：将u1、u2

用相量表示相位：

2

>

1幅度：相量大小U2

>U1设：正弦波的相量表示法举例领先

落后？同频率正弦波的相量画在一起，构成相量图。同频率正弦波相加——平行四边形法则例

1

2注意：

1．只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。2．只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，不同频率不行。新问题提出：平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。故引入相量的复数运算法。相量

复数表示法复数运算

ab+1将复数放到复平面上，可如下表示：相量的复数表示

欧拉公式ab代数式

指数式

极坐标形式

在第一象限设a、b为正实数

在第二象限

在第三象限

在第四象限1．加、减运算设：则：相量的复数运算2.乘法运算设：则：90°旋转因子。+j逆时针转90°，-j顺时针转90°设：任一相量则：说明：3．除法运算设：则：解：例1：已知瞬时值，求相量。已知:

求：

i

、u

的相量

复数符号法应用举例220100AV求：i1、i2例2：已知相量，求瞬时值。已知两个频率都为

1000Hz的正弦电流其相量形式为：解：波形图瞬时值相量图复数符号法Ti小结：正弦波的四种表示法

tIm动画提示计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：瞬时值

---小写u、i有效值

---大写U、I复数、相量

---大写

+“.”最大值

---大写+下标符号说明Um？瞬时值复数正误判断瞬时值复数正误判断已知：有效值j45

正误判断

则：已知：

正误判断

则：已知：？最大值正误判断1．电阻电路2．电感电路3．电容电路§2.2

单一参数的正弦交流电路UiR根据欧姆定律

设则单一参数的正弦交流电路1．电阻电路u

iR1．频率相同2．相位相同3．有效值关系U

IR电阻电路中电流、电压的关系

则

或4．相量关系设

uiR(1)瞬时功率

p：瞬时电压与瞬时电流的乘积小写电阻电路中的功率1．P≥0(耗能元件)结论：2．P随时间变化3．P与U2、i2

成比例

tuip

t(2)平均功率(有功功率)P：一个周期内的平均值

大写

uiR基本关系式：iuL设：则2．电感电路(1)频率相同(2)相位相差

90°

(u

领先i

90

)iu设：电感电路中电流、电压的关系

t动画(3)有效值感抗(

)定义：则：(4)相量关系设：则：其中含有幅度和相位信息u、i相位不一致！领先！电感电路中复数形式的欧姆定律感抗(XL=ωL)是频率的函数，

表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。ωXLω=0时XL=0e+_LR直流E+_R关于感抗的讨论iuL电感电路中的功率

(1)瞬时功率p

：可逆的能量转换过程iuL储存能量P

<

0释放能量+P

>

0P

<

0uiuiuiui+PP

>

0ui结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换(能量的吞吐)。(2)平均功率P

(有功功率)Q

的单位：乏、千乏(var、kvar)

Q

的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用以衡量电感电路中能量交换的规模。(3)无功功率Q基本关系式:设：uiC则：3．电容电路(1)频率相同(2)相位相差90

(u落后i90

)电容电路中电流、电压的关系iu

t(3)有效值或容抗(

)定义：则：I(4)相量关系设：则：其中含有幅度和相位信息电容电路中复数形式的欧姆定律领先！E+-

e+-关于容抗的讨论直流是频率的函数，

表示电容电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。容抗

=0时

ui(1)瞬时功率

p电容电路中的功率充电p放电放电P<0释放能量充电P>0储存能量uiuiuiuiiu

t(2)平均功率P瞬时功率达到的最大值(吞吐规模)(3)无功功率Q(电容性无功取负值)已知：C=1μF求：I

、i例uiC解：电流有效值求电容电路中的电流瞬时值i领先于u90°电流有效值1．单一参数电路中的基本关系基本关系复阻抗电路参数L复阻抗基本关系电路参数C电路参数R基本关系u=iR复阻抗R小结

在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗()表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方法都能用。

电阻电路电感电路电容电路复数形式的欧姆定律单一参数电路中复数形式的欧姆定律在电阻电路中：瞬时值有效值

正误判断在电感电路中：正误判断电路参数电路图(正方向)复数阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设则u、i

同相0LiuCiu设则设则u领先i90°u落后i90°00基本关系单一参数正弦交流电路分析计算1．R-L-C串联交流电路2．交流电路的一般分析方法3．功率因数的提高§2.3正弦交流电路的分析计算*电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、克氏定。uLuRiuRL简单正弦交流电路的关系(以R-L电路为例)*电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、克氏定律RL若：则：(1)电流、电压的关系：R-L-C串联交流电路uRLCiuRuLuC总电压与总电流的关系式相量方程式：相量模型：设(参考相量)则RLC相量表达式：先画出参考相量电压三角形R-L-C串联交流电路--相量图RLCZ：复数阻抗实部为阻虚部为抗容抗感抗复数形式的欧姆定律R-L-C串联交流电路中的

复数形式欧姆定律RLC令则在正弦交流电路中，只要物理量用相量表示,元件参数用复数阻抗表示，则电路方程式的形式与直流电路相似。

Z是一个复数，但并不是正弦交流量，上面不能加点。Z在方程式中只是一个运算工具。说明：

RLC结论：Z的模为电路总电压和总电流有效值之比，而

Z的幅角则为总电压和总电流的相位差。(2)关于复数阻抗Z

的讨论●

Z和总电流、总电压的关系由复数形式的欧姆定律可得：●Z

和电路性质的关系

一定时电路性质由参数决定

当XL

XC

时，

0

表示u

领先i——电路呈感性当XL

XC

时，

0

表示u

、I同相——电路呈电阻性当XL

XC

时，

0

表示u

落后i——电路呈容性阻抗角假设R、L、C已定，电路性质能否确定？(阻性？感性？容性？)不能！当ω不同时，可能出现：

XL

>

XC

，或XL

<

XC,或XL=XC

。RLC

●阻抗(Z)三角形阻抗三角形RX

XL

XC

●阻抗三角形和电压三角形的关系电压三角形阻抗三角形相似X

XL

XCR

1．瞬时功率

2．平均功率

P(有功功率)

R-L-C串联电路中的功率计算RLC总电压总电流u与i

的夹角平均功率P与总电压U、总电流I间的关系：

-----功率因数

其中：

在R、L、C串联的电路中，储能元件R、L、C

虽然不消耗能量，但存在能量吞吐，吞吐的规模用无功功率来表示。其大小为：

3．无功功率Q：4．视在功率S：电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：伏安、千伏安(有助记忆)PQS注：S

UI

可用来衡量发电机可能提供的最大功 率(额定电压×额定电流)5．功率三角形：视在功率

S

UI无功功率Q

UIsin

有功功率P

UIcos

S

UI

设i

领先u

，(电容性电路)R-L-C串联电路中的功率关系_++_piu

tUIcos

UIsin

电压三角形阻抗三角形RLCSQP功率三角形R

因为交流物理量除有效值外还有相位。

在R-L-C串联电路中正误判断RLC

而复数阻抗只是一个运算符号。Z不能加“•”反映的是正弦电压或电流，正误判断在R－L－C正弦交流电路中

？正误判断

在R-L-C

串联电路中，假设

正误判断在R-L-C串联电路中，假设？？？

？

正误判断1．简单串并联电路交流电路的一般分析方法iZ1Z2uiuoZ1Z2Y1、Y2---导纳Y1Y2iZ1Z2uii2i1Z1Z2设:导纳适合于并联电路的计算,单位是西门子(s)。则:电导电纳导纳导纳的概念(1)据原电路图画出相量模型图(电路结构不变)(2)根据相量模型列出相量方程式或画相量图2．一般正弦交流电路的解题步骤(3)用复数符号法或相量图求解(4)将结果变换成要求的形式下图中已知：I1

=

10A、UAB

=

100V，求：A、UO的读数解题方法有两种：

1．利用复数进行相量运算2．利用相量图求结果例1AAB

C25

UOC1j10j5解法1:利用复数进行相量运算A读数为10安

已知：I1

=

10

A、

UAB

=

100

V，求：A、UO的读数AAB

C25

UOC1j10j5则：设：为参考相量，即：Uo读数为141伏

求：A、UO的读数已知：I1

=

10

A、

UAB

=

100

VAAB

C25

UOC1j10j5解法2:利用相量图求解由已知条件得：求：A、UO的读数已知：I1

=

10

A、UAB

=

100

V，UC1=IXC1=100VuC1落后于

i90°由图得：

I=10A、UO

=141VAAB

C25

UOC1j10j5设：I1

10A、领先90°45

落后于45

已知：R1、R2、L、C求：各支路电流的大小例2LCR1iSiLiR1R2iee相量模型原始电路LCR1iSiLiR1R2ieeR1R2解法一节点电位法节点方程AR1R2由节点电位便求出各支路电流：解法二：叠加原理+R1R2R1R2R1R2解法三：戴维宁定理BAR1R2ZZ

jXL//R2、求问题的提出：日常生活中很多负载为感性的，其等效电路及相量关系如下图。icos

I当U、P

一定时，

希望将cos

提高P=PR=

UIcos

其中消耗的有功功率为：§2.4功率因数的提高uRLuRuL

负载iu说明：

cos

由负载性质决定。与电路的参数和频率有关，与电路的电压、电流无关。功率因数cos

和电路参数的关系RZ

XLXC例40W白炽灯cos

1

40W日光灯cos

0.5发电与供电设备的容量要求较大供电局一般要求用户的

cos

>0.85

，否则受处罚。

纯电阻电路R-L-C串联电路纯电感电路或纯电容电路电动机空载满载

日光灯

(R-L-C串联电路)常用电路的功率因数cos