第3章 土中应力和地基沉降量计算

第三章土中应力和地基沉降量计算学习基本要求◆掌握土中自重应力计算；◆掌握基底压力和基底附加压力分布与计算；◆掌握矩形均布荷载作用下附加应力的分布规律、附加应力的计算；

掌握土的压缩性与压缩性指标确定方法；◆掌握地基最终沉降量计算方法。3.1概述土中应力计算的目的及方法

土中应力增量将引起土的变形，从而使建筑物发生下沉、倾斜及水平位移等；

土中应力过大时，也会导致土的强度破坏，甚至使土体发生滑动而失稳。土中应力状态→土体的变形、强度及稳定性应力符号规定

法向应力以压为正，剪应力方向的符号规定则与材料力学相反。材料力学中规定剪应力以顺时针方向为正，土力学中则规定剪应力以逆时针方向为正。压为正，拉为负，剪应力以逆时针为正3.2土中自重应力计算土中应力按其起因可分为自重应力和附加应力两种。

自重应力是土受到重力作用产生的应力，自重应力一般是自土体形成之日起就产生于土中。

附加应力是受到建筑物等外部荷载作用产生的应力。

一、均质土自重应力计算

在深度z处平面上，土体因自身重力产生的竖向应力（称竖向自重应力）等于单位面积上土柱体的重力G，如图所示。在深度z处土的自重应力为：

式中，

r

—为土的重度，KN/m3；

A—土柱体的截面积，m2。从上式可知，自重应力随深度z线性增加，呈三角形分布图形。二、成层土自重应力计算

地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层的厚度为hi，重度为ri，则在深度z处土的自重应力计算公式为：

n—从地面到深度z处的土层数；

hi—第i层土的厚度，m。

成层土的自重应力沿深度呈折线分布，转折点位于r值发生变化的土层界面上。三、有地下水时土中自重应力计算

当计算地下水位以下土的自重应力时，应根据土的性质确定是否需要考虑水的浮力作用。

若IL≤0，则土处于坚硬(固态)状态，土中自由水受到土颗粒间结合水膜的阻碍不能传递静水压力，故认为土体不受水的浮力作用，采用土的饱和重度计算土的自重应力；其它土均按有效重度计算自重应力。

计算如图所示水下地基土中的自重应力分布水面粗砂r=19KN/m3rsat=19.5KN/m3碎石土r=19.３KN/m3

rsat=19.４KN/m3

bc76KPa113.6KPaa8m4m2m四、存在隔水层时土的自重应力计算

当地基中存在隔水层时，隔水层面以下土的自重应力应考虑其上的静水压力作用。式中，ri—第i层土的天然重度，对地下水位以下的土取有效重度ri′；

hw—地下水到隔水层的距离(m)。

在地下水位以下，如埋藏有隔水层,由于不透水层中不存在水的浮力，所以层面及层面以下的自重应力应按上覆土层的水土总重计。折线图遇地下水时折线往回收；遇隔水层时有一突跃值书上P58例题问题:1、地下水位变化对土中自重应力的影响?

原地下水位变动后地下水位Z121,2,0-1-2线为原来自重应力的分布0-1,-2,线为变动后自重应力的分布2、自重应力在均匀土层中呈（）分布。A.折线B.曲线C.直线D.不确定3.3基底压力计算

基底压力：建筑物荷载通过基础传递给地基的压力。也就是作用于基础底面土层单位面积的压力，单位为kPa。与地基反力形成作用力与反作用力。建筑物荷重基础地基上在地基与基础的接触面上产生的压力

基底压力分布及其影响因素：①基础相对刚度、基础大小、形状和埋深；②地基土的性质；③作用在基础上的荷载大小、分布和性质。

基础刚度的影响1.弹性地基上的完全柔性基础(EI=0)

土坝(堤)、路基、油罐等薄板基础、机场跑道。可认为土坝底部的接触压力分布与土坝的外形轮廓相同,其大小等于各点以上的土柱重量。

*柔性基础：基底压力的分布形式与作用在它上面的荷载分布形式相一致。

原地面变形后的地面荷载原地面反力2.弹性地基上的绝对刚性基础(EI=

)

弹性解：基础两端应力为无穷大实际情况：马鞍形*刚性基础：基底压力的分布形式与作用在它上面的荷载分布形式不相一致。3.弹塑性地基上的有限刚性的基础(0<EI<

)

实际情况:马鞍形

注意土性的影响荷载的影响

当荷载较小时，基底压力分布形状如图a，接近于弹性理论解；荷载增大后，基底压力呈马鞍形(图b)；

荷载再增大时，边缘塑性破坏区逐渐扩大，所增加的荷载必须靠基底中部力的增大来平衡，基底压力图形可变为抛物线型(图d)以至倒钟形分布(图c)。

目前，在地基计算中，允许采用简化方法，即假定基底压力按直线分布的材料力学方法。基底压力简化计算

基底压力分布是很复杂的，一般并非线形分布。当基础有一定刚度且基底尺寸较小时，工程上常将基底压力假定为线形分布，应用材料力学理论进行简化计算。

１.轴心荷载下的基底压力计算Ｐ—作用于基础上的竖向力设计值(ＫＮ)；Ｇ—基础自重设计值及其上回填土重标准值的总重(kN)，rG为基础及回填土之平均重度，一般取20kN/m3，但在地下水位以下部分应扣去浮力，即取10kN/m3；d—基础平均埋深，从基底到室内外平均设计地面；A—基底面积(m2)，对矩形基础A＝lbl和b分别为其的长和宽。

２.偏心荷载下的基底压力计算Pmax

Pmin

—分别为基础底面边缘的最大、最小压力设计值(kPa)；

M—基础底面形心的力矩设计值(kN.m)；W—基础底面的抵抗矩(m3)。3ae>l/6e<l/6ePminPmax(b)(c)3aPmaxNePmin<0

或

当e＜l/6时，基底压力分布图呈梯形（图b）；

当e=l/6时，则呈三角形（图c）；

当e＞l/6时，按计算结果，距偏心荷载较远的基底边缘反力为负值，即pmin＜0（图c）此时例题1、如图所示桥墩基础，已知基础底面尺寸b=4m，l=10m，d=1.5m,作用在基础底面中心的荷载N=4000kN，M=３800kN·m，计算基础底面的压力。

3ab=4mＭF例题2、某柱下钢筋混凝土独立锥形基础，基础底面尺寸为b=2.00m,l=2.50m,基础埋深1.5m，当Fk=902kN,Mk=180kN.m,Vk=51kN时,求其基础底面处的最大压力值Pkmax。l=2.5mＭFVPkmax粉土r=17.5kN/mm33、某柱下钢筋混凝土独立锥形基础，基础底面尺寸为b=2.00m,L=2.50m,当Fk=605kN,Mk=250kN.m,Vk=102kN时,其基础底面处的最大压力值Pkmax。3.4地基附加应力地基附加应力是引起建筑物沉降的主要原因。在计算地基中的附加应力时，假定地基土是连续、均质、各向同性的半无限空间线弹性体，直接弹性力学中关于弹性半空间的理论解答。一、竖向集中荷载作用下的地基附加应力

布辛涅斯克用弹性理论推导得出：

讨论

z的分布特征：①沿F作用线方向，

z

随深度而减小；②地面下任一深度的水平面上，在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减小；

③r>0的竖向线上，

z

，

z：0

增大减小④剖面图上的附加应力等值线，在空间上附加应力等值面呈泡状，称应力泡。结论：集中力F在地基中引起的附加应力的分布是向下、向四周无限扩散开的。竖向集中力作用下竖向附加应力分布规律【课堂讨论】相邻基础会不会相互影响？二、矩形面积竖直均布荷载作用下地基中的竖向附加应力在地基表面作用一分布于矩形面积(l×b)上的均布荷载P，计算矩形面积中点下深度z处M点的竖向应力z值，可从下式解得：微面积dxdy上的微集中力p0dxdy，基底角点O下z深度处所引起的附加应力为a0

--竖直均布压力矩形基底角点下的附加应力系数，它是m，n的函数，其中m=l/b，n=z/b，查P55表3-23-3l---矩形的长边，b--矩形的短边，z--从基底面起算的深度。基底净压力a0

值可直接查表公式用于计算一个矩形面积角点下的竖向附加应力z。对于在实际基底面积范围以内或以外任意点下的竖向附加应力z，采用“角点法”计算。“角点法”：利用上式逐个计算每个矩形面积角点下的z值，再按叠加原理求得该计算点附加应力z的最后结果。应用“角点法”要注意以下三点：1.用虚线划分的每一个矩形都有一个公共角点。2.所有划分面积的总和应等于原有受荷面积。3.查表时，注意每个小矩形的长边为l,短边为b。注意：1.要使O点成为每个矩形的角点。2.基础范围外“虚线”所构成的矩形其实是虚设的荷载分布的范围，因而要减去其“产生”的附加应力。

【例1】如图所示，矩形基底长为4m、宽为2m，基础埋深为0.5m，基础两侧土的重度为18kN/m3，由上部中心荷载和基础自重计算的基底均布压力为140kPa。试求基础中心O点下及A点下、H点下z=1m深度处的竖向附加应力。【解】(1)先求基底净压力(基底附加应力)P0，由已知条件(2)求O点下1m深处地基附加应力sz。O点是矩形面积OGbE，OGaF，OAdF，OAcE的共同角点。这四块面积相等，长度l、宽度b均相同，故其附加应力系数Kc相同。根据l，b，z的值可得查表得a0

=0.1999，所以4a0P0

(3)求A点下1m深处竖向附加应力szA。

A点是AcbG，AdaG两块矩形的公共角点，这两块面积相等，长度l、宽度b均相同，故其附加应力系数Kc相同。根据l，b，z的值可得查表，应用线性插值方法可得a0

=0.2315，所以(4)求H点下1m深度处竖向应力szH。H点是HGbQ，HSaG，HAcQ，HAdS的公共角点。szH是由四块面积各自引起的附加应力的叠加。对于HGbQ，HSaG两块面积，长度l宽度b均相同查表，利用双向线性插值得a0=0.23502a0对于HAcQ，HAdS两块面积，长度l宽度b均相同查表，得a0

=0.1350，则szH可按叠加原理求得：

如果在地基上修建建筑物，地基土内各点不仅要承受土体本身的自重应力，而且要承担由建筑物通过基础传递给地基的荷载产生的附加应力作用，这都将导致地基土体的变形。土体变形可分为：体积变形和形状变形。本章只讨论由正应力引起的体积变形，即由于外荷载导致地基内正应力增加，使得土体体积缩小。在附加应力作用下，地基土将产生体积缩小，从而引起建筑物基础的竖直方向的位移（或下沉）称为沉降。

为什么研究沉降？基础的沉降量或者各部位的沉降差过大，那么将影响上部建筑物的正常使用，甚至会危及建筑物的安全。3.5土的压缩性沉降值的大小取决于地基土的压缩实质

土的压缩性主要有两个特点：

☆土的压缩性主要是由于孔隙体积减少而引起的；

☆由于孔隙水的排出而引起的压缩对于饱和粘土来说需要时间，将土的压缩随时间增长的过程称为土的固结。

在建筑物荷载作用下，地基土主要由于压缩而引起的竖直方向的位移称为沉降。

地基土层发生变形的主要因素

内因：土具有压缩性

外因：主要是建筑物荷载的作用建筑物荷载作用，这是普遍存在的因素

地下水位大幅度下降

施工影响，基槽持力层土的结构扰动

振动影响，产生震沉浸水下沉，如黄土湿陷，填土下沉

土体压缩性——土在压力（附加应力或自重应力）作用下体积缩小的特性。通常，均认为土体压缩完全是由于土中孔隙体积减小的结果。土的固结——土体在压力作用下其压缩量随时间增长的过程。土的压缩试验与压缩性指标土体的变形计算，需要取得土的压缩性指标，可以通过室内侧限压缩试验和现场原位试验得到。

室内压缩试验亦称固结试验，是研究土压缩性最基本的方法。

现场载荷试验是在工程现场通过千斤顶逐级对置于地基土上的载荷板施加荷载，观测记录沉降随时间的发展以及稳定时的沉降量s，并绘制成P-S曲线，即获得地基土载荷试验的结果。反映土的压缩性的指标主要有压缩系数、压缩模量、压缩指数和变形模量、体积压缩系数。土的压缩性的高低，常用压缩性指标定量表示，压缩性指标，通常由工程地质勘察取天然结构的原状土样进行。侧限压缩试验侧限压缩试验亦称固结试验。所谓侧限，就是使土样在竖向压力作用下只能发生竖向变形，而无侧向变形。室内压缩试验采用的试验装置为压缩仪(下图)。试验时将切有土样的环刀置于刚性护环中，由于金属环刀及刚性护环的限制，使得土样在竖向压力作用下只能发生竖向变形，而无侧向变形。在土样上下放置的透水石是土样受压后排出孔隙水的两个界面。压缩过程中竖向压力通过刚性板施加给土样，土样产生的压缩量可通过百分表量测。常规压缩试验通过逐级加荷进行试验，常用的分级加荷量p为：100，200，300，400kPa。土的压缩是由于孔隙体积减小，所以土的变形常用孔隙比e表示。单向固结试验或侧限固结试验单向固结试验或侧限固结试验土的压缩变形常用孔隙比e的变化来表示。根据固结试验的结果可建立压力p与相应的稳定孔隙比的关系曲线，称为土的压缩曲线。压缩曲线可以按两种方式绘制，一种是按普通直角坐标绘制的e-p曲线（常用）；另一种是用半对数直角坐标绘制的e-lgp曲线。要绘制e－p曲线，就必须求出各级压力作用下的孔隙比——e。如何求e？看示意图：

设试样的初始高度为H0，S为某级压力下土样高度变化（用百分表量测），cm。设土粒体积为VS=1

(不变)

，压缩稳定后的孔隙体积为Vv1，根据土的孔隙比的定义,则受压前后土的孔隙体积分别为

e0和ei。Vv=e0Vv=eiVs=1Vs=1

e-p

曲线确定压缩系数依侧限压缩试验原理可知：土样压缩前后试样截面积A不变，土粒体积不变，即VS0＝VS1，则有（4-2）常规试验中，一般按P=100kPa、200kPa、300kPa、400kPa四级加荷，测定各级压力下的稳定变形量S，然后由式（4-1）计算相应的孔隙比e

。压缩指标反映土的压缩性的指标主要有压缩系数、压缩指数、压缩模量和变形模量、体积压缩系数。

压缩系数：曲线上任意两点割线的斜率。可表示为：式中，负号表示随着压力P的增加，e逐渐减少。压缩性不同的土，其压缩曲线的形状是不一样的。曲线愈陡，说明随着压力的增加，土孔隙比的减小愈显著，因而土的压缩性愈高。工程上，自重应力P1增加到外荷作用土中应力P2(自重与附加应力之和)为了便于应用和比较，通常采用压力由P1＝100kPa增加到P2

＝200kPa时所得的压缩系数a1-2来评定土的压缩性：工程中，为减少土的孔隙比，从而达到加固土体的目的,常采用砂桩挤密、重锤夯实、灌浆加固等方法

a1-2

<0.1MPa-1时，低压缩性土

0.1≤a1-2

<0.5MPa-1时，中压缩性土

a1-2≥0.5MPa-1时，高压缩性土

Cc

<0.2时，低压缩性土

Cc≥0.4时，高压缩性土

压缩模量：土体在完全侧限的条件下，竖向应力增量与竖向应变增量的比值。

Es

>15MPa时，低压缩性土

15≥Es

>4MPa时，中压缩性土

Es<4MPa时，高压缩性土

现场载荷试验是在工程现场通过千斤顶逐级对置于地基土上的载荷板施加荷载，观测记录沉降随时间的发展以及稳定时的沉降量s，将上述试验得到的各级荷载与相应的稳定沉降量绘制成p-s曲线，即获得了地基土载荷试验的结果。

1－承压板2－千斤顶3－百分表4－平台5－支墩6－堆载地基土现场载荷试验图

3.6地基最终沉降量计算

定义

地基土层在建筑物荷载作用下，不断产生压缩，直至压缩稳定后地基表面的沉降量称为地基的最终沉降量。

原因

其外因主要是建筑物荷载在地基中产生附加应力；内因是土的碎散性，孔隙发生压缩变形，引起地基沉降。目的

判断地基变形值是否超出允许的范围，以便在建筑物设计时，采取相应的工程措施，保证建筑物的正常使用。方法有关地基沉降量的方法很多，工业与民用建筑中常见的有分层总和法和《规范》法，还有弹性理论法和数值计算法。

（一）分层总和法

工程上计算地基的沉降时，在地基可能产生压缩的土层深度内，按土的特性和应力状态的变化将地基分为若干(n)层，假定每一分层土质均匀且应力沿厚度均匀分布，然后对每一分层分别计算其压缩量si，最后将各分层的压缩量总和起来，即得地基表面的最终沉降量s，这种方法称为分层总和法。基本假设

地基是均质、弹性地基土不产生侧向变形，以基础中点沉降量代替基础沉降量分层总和法的基本思路是：将压缩层范围内地基分层，计算每一分层的压缩量，然后累加得总沉降量。计算步骤1.确定沉降计算深度范围内的分层界面沉降计算分层面可按下述原则确定：第一，不同土层的分界面与地下水位面;第二，每一分层厚度不大于基础宽度的0.4倍。2.计算各分层界面处土的自重应力，计算各分层界面处基底中心下竖向附加应力。3.确定地基沉降计算深度(1)一般取附加应力与自重应力的比值为20％处，即处的深度作为沉降计算深度的下限;(2)若在该深度以下为高压缩性土（软土），则应取附加应力与自重应力的比值为10％处;(3)在沉降计算深度范围内存在基岩时，zn可取至基岩表面为止。一般土软土4.计算各分层沉降量Si5.最终变形量查e～p曲线【讨论】分层越细越准确吗？实用计算步骤：分层——→计算每一层的自重应力和附加应力——→确定计算深度——→计算每一层的平均自重应力（）和平均附加应力()——→令e2i例1：有一建筑物基础，基底面积为2*4，埋深为1m，基础中心垂直荷载为2240KN，地基土上层为中砂，第二层为饱和粘土，最下层为坚硬的不透水岩石，地质资料和其它尺寸示于图中。试用分层总和法求饱和黏土的变形量（分层厚度取0.8m）饱和粘土层的e—p资料P(kPa)43100135184248300e1.020.950.900.860.830.81z/b0.000.400.801.21.62.4l/b0.250.2440.2180.1820.1480.098矩形(L*b)均布荷载角点下应力系数表

【例题2】有一矩形基础放置在均质粘土层上，如图所示。基础长度L=10m，宽度B=5m，埋置深度d=1.5m，其上作用着中心荷载F=10000kN。地基土的重度为20kN/m3，饱和重度21kN/m3，土的压缩曲线如图（b）所示。若地下水位距基底2.5m，试求基础中心点的沉降量。【解】（1）由L/B=10/5=2<10可知，属于空间问题，且为中心荷载，所以基底压力为

基底净压力为

（2）因为是均质土，且地下水位在基底以下2.5m处，取分层厚度2.5m（3）求各分层面的自重应力（注意：从地面算起）并绘分布曲线见图（a）

（4）求各分层面的竖向附加应力并绘分布曲线见图(a)。该基础为矩形，属空间问题，故应用“角点法”求解。为此，通过中心点将基底划分为四块相等的计算面积，每块的长度L1=5m，宽度B1=2.5m。中心点正好在四块计算面积的公共角点上，该点下任意深度zi处的附加应力为任一分块在该点引起的附加应力的4倍，计算结果如下表所示。（5）确定压缩层厚度。从计算结果可知，在第4点处有σz4/σc4＝0.195<0.2，所以，取压缩层厚度为10m。（6）计算各分层的平均自重应力和平均附加应力。各分层的平均自重应力和平均附加应力计算结果见下表。（7）由图(b)根据p1i=σsi和p2i=σsi+σzi分别查取初始孔隙比和压缩稳定后的孔隙比，结果列于下表。（8）计算地基的沉降量。分别计算各分层的沉降量，然后累加即得

对大量建筑物进行沉降观测，并与分层总和法计算相对比发现：①中等强度地基，计算沉降量与实测沉降量相接近；②软弱地基，计算沉降量小于实测沉降量，最多可相差40%③坚实地基，计算沉降量远大于实测沉降量，最多竞相差5倍。

《建筑地基基础设计规范》所推荐的地基最终沉降量计算方法是另一种形式的分层总和法。它也采用侧限条件的压缩性指标，并运用了平均附加应力系数计算；还规定了地基沉降计算深度的标准以及提出了地基的沉降计算经验系数，使得计算成果接近于实测值。

（二）地基规范法(应力面积法)应力面积法一般按地基土的天然分层面划分计算土层，引入土层平均附加应力的概念，通过平均附加应力系数，将基底中心以下地基中zi-1-zi深度范围的附加应力按等面积原则化为相同深度范围内矩形分布时的分布应力大小，再按矩形分布应力情况计算土层的压缩量，各土层压缩量的总和即为地基的计算沉降量。为平均附加应力系数，查表为从基底算至所求土层i的底面、顶面1.基本计算公式的推导即为基底中心点以下0-zi深度范围附加应力面积Ai即为基底中心点以下0-zi-1深度范围附加应力面积Ai-12.地基受压层计算深度的确定计算深度Zn可按下述方法确定：

1）对无相邻荷载的独立基础，基础宽度在1-30m范围内时，可按下列简化的经验公式确定沉降计算深度Zn：在计算深度范围内存在基岩时，取至基岩表面，当存在较厚的坚硬粘性土层，其孔隙比小于0.5、压缩模量大于50MPa,或存在较厚的密实砂卵石层，其压缩模量大于80MPa,Zn可取至该层土表面。（3.43）2）考虑相邻荷载的影响应满足下式要求：式中：△sn′--在深度zn处，向上取计算厚度为△z的计算变形值；△z查P91表3.12；△si′--在深度zn范围内，第i层土的计算变形量。如确定的沉降计算深度下部仍有较软弱土层时,应继续往下计算,同样也应满足上式。（3.42）3.沉降计算经验系数ψs《规范》推荐的沉降计算公式：式中：ψs--沉降计算经验系数，应根据同类地区已有房屋和构筑物实测最终沉降量与计算沉降量对比确定，查书P91表3.11(3.41)平均压缩模量的计算例1：某矩形基础底面尺寸2.5m*2.5m,作用的准永久组合时作用于基础底面的竖向力F=1250kN,基础埋深d=2m,基础自重和覆土标准值G=250kN,计算地基的最终沉降量。2m1m4mEs=6.8MPaEs=8MPaEs=6.8MPar=19.5kN/m3fak=200kPaZiEsi00.25010.2350.2354.442.942.950.1110.3206.837.880.75.40.1050.01281.281.9例2：某建筑物基础底面尺寸4m*8m,作用的准永久组合时作用于基础底面的竖向力F=1920kN,基础埋深d=1m,土层天然重度r=18kN/m3,地下水埋深为1m，基础底面以下平均附加应力系数如下表所示，沉降计算经验系数为1.1，计算最终沉降量为多少？Zil/bZi/b44ZiEsi0200.25001.00002210.23400.93601.8721.87210.26230.16190.64763.8862.0143.4比较《规范法》与《分层总和法》（１）规范法采用了精确的“应力面积”的概念，因而可以划分较少的层数，一般可以按地基土的天然层面划分，使得计算工作得以简化。（２）地基沉