第2章 网络的正弦稳态

第2章网络的正弦稳态分析

2.1引言

对于动态网络进行分析，列出的是微分方程，求出的解是时间的函数。通常情况下的解可以分为两部分－－与时间有关的暂态解和与时间无关的稳态解。如果仅仅考虑稳态情况，则暂态解不必求出，相应采用的分析方法称为稳态分析。如果电路中电源的电动势、电激流都是时间的正弦函数，而且电源的频率相同，则求稳态解的方法称为正弦稳态分析。

相量分析法

1.应用复数的表示方法将电路中电源的电动势、电激流等时间正弦量变换为相量；2.将元件特性方程和基尔霍夫定律的时域形式（方程和定律中电路变量是时间的函数）变换为相量形式（相量不是时间的函数），将电路的时域模型变换为电路的相量模型；3.仿照分析电阻电路的方法对电路的相量模型建立相量形式的电路方程并求解，即可得到正弦稳态解。2.2正弦交流电的有效值如果在一个周期的时间内，一个周期电流通过一个电阻所产生的热量，等于某一直流电流通过同一电阻且在相同时间内所产生的热量，那么，这个直流电流的量值称为该交流电流的有效值。

设通过电阻R的正弦交流电流为，则在时间内产生的热量是，在一周期T内所产生的热量为

（2－2－1）

直流电流I通过同一电阻，在同一时间T内所产生的热量为若，则

交流电的有效值表示为瞬时值的均方根值：

即

同理，正弦电压和正弦电动势的有效值分别为

2.3正弦量的相量表示法基尔霍夫定律的相量形式

2.3.1同频率正弦量的叠加

（2－3－l）

（2－3－2）

图2－3－1

图2－3－2设合成电动势的参考极性与、的参考极性相同。于是，应等价于和之和，即

（2－3－4）

把式（2－3－1）和（2－3－2）代入上式，得

（2－3－5）

是合成电动势的最大值是两个同频率正弦量的相位角之差，是的初相位。

从上式可知:（1）两个同频率正弦电动势叠加之后，其合成电动势仍是正弦量，频率不变，只是最大值和初相位有所不同而已。（2）相位差对合成电动势的幅值有很大影响。

如当，即两个电动势同相时，则

即合成电动势幅值为原来电动势幅值的两倍；，两者反相，则即电动势幅值为零。

当例[2－3－1］两个交流电源相如图串联，已知

求A、B端输出的合成电动势。

图2－3－4

[解]设的参考极性是B为负A为正，则有

把式（2－3－6）代入上式，即得

（2－3－8）

式中，是合成电动势的幅值。

图2－3－5

2.3.2正弦量的相量表示法

1.相量和相量图正弦量（2－3－9）有三个要素：有效值（或幅值）、初相位和频率；而对于同频率正弦量的合成，频率总是不变的，只用有效值和初相位两个量即可完整地把一个正弦量的特征表示出来。相量法进行正弦量的加减运算分三个步骤：1.将正弦量变换为复数；2.按复数基本运算规律对变换所得的复数进行加减运算；3.将运算得到的结果变换为正弦量。

复数有两个表示其特征的量，以指数形式和极坐标形式表示的复数：

（2－3－10）这两个量就是复数A的模和辐角。

如果以电动势的有效值E作为复数的模，初相位作为辐角，构成的一个复数：

（2－3－11）这个复数可以用来表示正弦电动势。为了把数学上的复数与用来表示正弦量的复数区分开来，把后者叫做相量。表示相量的大写字母上面要加一个点号。根据上面的讨论，式

是用来替换式

所表示的正弦电动势，叫做电动势相量。这两式是对应的，可以写成

（2－3－12a）或写为

（2—3—12b）从上述看出，正弦量是时间的函数，而相量不是时间的函数，相量只是反映了正弦量的有效值和初相位，并未完整地反映正弦量的性质。因此相量与正弦量只有对应关系，不能用等号代替对应号。

图2－3－62.相量加减和正弦量加减的等效性利用相量代替正弦量进行正弦稳态分析的方法称为相量法。用相量进行加减运算所得的结果与用三角函数进行加减运算的结果是一致的，可以用较简单的相量运算来代替繁杂的三角函数运算。相量可以在复平面上用矢量表示，式（2－2－11）的相量可在复平面上用长度等于E，与实轴夹角等于辐角的矢量表示。用来表示相量的几何图形，称为相量图。例[2－3－2］两个交流电源相如图所示的串联，已知

利用相量法求A、B端输出的合成电动势。

图2－3－4

［解］将和重写如下：

式中，是电动势有效值。上面两式相应的相量是

（2－3－13）

（2－3－14）由式（2－3－13）和（2－3－14）得

与上式所对的相量对应的正弦量为：

（2－3－17）

（2－3－16）相量（）是直接将两正弦量相减之后所得的正弦量的相量。结论：用相量替换正弦量进行加减运算和直接将正弦量相加减是等效的。

在复平面上作相量和的矢量，按平行四边形法则，求出相量（

）所对应的矢量，即图中的对角线。由于和的长度均为，由图，相量与实轴的夹角等于。相量的长度为故相量可以写为

图2－3－7

（2－3－18）此结果与式（2－3－16）相同。正弦量化为相量的叠加变换法则：若干个正弦量之和（差）的相量，等于各正弦量的相量之和（差）。用对应号可表示为

（2－3－19）因而，若在电路图上用相量、、替换对应的正弦量、及，并且规定正弦量、及的参考极性就是相量、及的参考极性，便能直接写出、及的关系式。2.3.3基尔霍夫定律的相量形式若和都是正弦量，按照正弦量化为相量的叠加变换法则用相量、代替正弦量、，规定后者的参考方向（参考极性）就是前者的参考方向（参考极性），那么，基尔霍夫定律可化为（2－3－22）

（2－3－23）这两式是基尔霍夫定律的相量形式。相量前面取正、负号的规则：对于第一定律，如电流相量的参考方向背向结点，则取正号，反之取负号；对于第二定律，若电压相量的参考极性和绕行方向相同，则取正号，反之取负号。

2.4无源元件特性方程的相量形式

2.4.1电阻元件特性方程的相量形式1.电压和电流的相位关系当采用无源惯例时，电阻元件的特性方程为

（2－4－1）设

（2－4－2）代入上式得（2－4－3）2.电压和电流的数量关系由式（2－4－3）可得，电压和电流有效值之间的关系为（2－4－4）或（2－4－5）这两式表示电压和电流的数量关系。3.电阻元件特性方程的相量形式将式（2－4－2）和（2－4－3）用相应的相量表示，则

（2－4－6）

（2－4－7）由上面两式得

（2－4－8）或

（2－4－9）

2.4.2电容元件特性方程的相量形式1.电压和电流的相位关系设电压的参考极性、电流的参考方向以及极板电荷的参考极性配合符合充电惯例，则有

（2－4－11）设加在电容两端的电压为

（2－4－12）则有令为有效值，即则有

（2－4－14）

电压和电流表示式中的初相位不同，前者为，后者为。电压在相位上比电流落后。

2.电流和电压的数量关系由式（2－4－13）可得定义电压与电流的有效值之比值为容抗，即

（2－4－16）将式（2－4－16）代入式（2－4－15）即得

（2－4－17）3.特性方程的相量形式将式（2－4－12）和式（2－4－14）换成相应的相量，则有

（2－4－18）

（2－4－19）将式（2－4－18）代入（2－4－19）得

（2－4－20）

或2.4.3电感元件特性方程的相量形式1.电流和电压的相位关系设电压的参考极性、电流的参考方向配合符合无源惯例，加在电感元件的电压为

（2－4－23）由式（1－2－13）可知，通过电感元件的电流为

（2－4－24）设，，将上式积分即得

（2－4－25）令

（2－4－26）为电流有效值，于是有

（2－4－27）

2.电压和电流的数量关系

（2－4－28）定义电压与电流的有效值之比值为感抗，即

式中，感抗的单位为（欧）f为电源频率，单位为HZ（赫），L为线圈的自感，单位为H（亨）。

（2－4－29）3.特性方程的相量形式将式（2－4－24）和式（2－4－27）换成相应的相量形式，则有

（2－4－30）

（2－4－31）由上面两式得

（2－4－32）图2－4－7图2－4－8

2.4.4实际元件前面介绍的电阻、电感和电容等三种元件都是理想元件。对于理想元件，R、L、C都是不变的常数，它们都属于线性元件。实际元件或多或少都是非线性的，但只要其非线性的程度很微弱，则仍可把它作为线性元件处理，由此带来的误差是可以忽略的。

2.5复阻抗有源元件特性方程的相量形式2.5.1复阻抗

三种无源元件特性方程的相量形式，可写为

复阻抗：一段无源电路两端的电压相量对通过它的电流相量之比，用表示，即

（2－5－2）

（2－5－1）电阻元件的复阻抗

（2－5－3）电容元件的复阻抗

（2－5－4）电感元件的复阻抗

（2－5－5）无源元件特性方程的相量形式可统一写为

（2－5－6）上式也称为交流电的欧姆定律，其中的单位是。

2.5.2复阻抗的串联相量模型电路图中的和都是正弦量可用对应的相量和替换，电阻保持不变，电容用替换，电感用替换，得到如图（b）所示的电路模型，它称为相量模型。图2－5－l1.、

、

串联电路的等效复阻抗根据图2－5－l（b）相量模型中相量、、及的参考极性，即得

（2－5－7）将式（2－5－l）代入上式，即得

（2－5－8）根据复阻抗的定义，由式（2－5－2）可得等效复阻抗为

（2－5－9）

（2－5－10）

式中，称为电抗

若用极坐标形式表示，式（2－5－10）可以表示为其中，

（2－5－11）是复阻抗的模，称为阻抗；

（2－5－12）是复阻抗的辐角，称为阻抗角。

由此可见，、和三者的关系构成一个直角三角形，称为阻抗三角形。

2.复阻抗串联的一般表示式

如图2－5－3（a）所示的相量模型，三个复阻抗、和相串联，按图中各相量的参考方向（参考极性）可得

图2－5－3于是，等效复阻抗为

(2－5－13)上式表明，复阻抗、和串联后，其等效复阻抗为各复阻抗之和。对于实际元件，复阻抗可一般表示为

设将它们代入式（2－5－13），并注意到复数的实部和虚部对应相等，即得

（2－5－14）

（2－5－15）

［例2－5－l］如图所示的R、L、C串联电路，已知

，，，电源电压为

220V，频率为，求：（1）各元件复阻抗的指数式和极坐标式；（2）等效复阻抗的极坐标式；（3）电流相量；（4）各元件电压相量；（5）作出相量图。

［解］（1）

（2）等效复阻抗为

（3）设电压相量

，故电流相量为（4）各元件电压相量分别为

（5）作相量图。因为是串联电路，通过三个元件的电流相量相同，故以它为参考相量，并画在实轴上。根据和同相，比落后

比超前的关系作出这三个相量。按

关系式，利用平行四边形法则作出相量。2.5.3有源元件特性方程的相量形式

特性方程名称电源的相量模型特性方程的相量形式电压源（发动机惯例）（电动机惯例）（三同惯例）电流源（发动机惯例）2.6复导纳2.6.1复导纳及其计算1.复导纳的概念在图（a）的电路中为复阻抗，按照无源元件特性方程，有或写为

（2－6－l）

复导纳复阻抗的倒数，用Y表示，即

（2－6－2）复导纳的单位为[西子]，用S表示。由上式得

（2－6－3）为用复导纳表示的无源元件特性方程的相量形式。

图2－6－12.复阻抗和复导纳的等效互换复阻抗的极坐标表示式为

（2－6－4）复导纳Y的极坐标表示式为

（2－6－5）

是复导纳的模，称为导纳，为复导纳的辐角，称为导纳角。根据式（2－6－2），可得故得

（2－6－7）同一元件的导纳和阻抗互为倒数，导纳角和阻抗角差一个负号。

（2－6－6）设元件复阻抗的代数形式为

（2－6－8）与之等效的复导纳为

（2－6－9）

令

（2－6－10）式（2－6－9）可写为（2－6－11）

称为电导，称为电纳，单位都为S（西）。若已知复导纳，从式（2－6－10），可得

（2－6－12）

3.三种理想元件的复导纳电阻元件：，

（2－6－13）电容元件：，,

（2－6－14）式中，称为容纳。电感元件：，，

（2－6－15）式中，称为感纳。

2.6.2复导纳的并联1.、、并联电路的等效复导纳由式（2－6－13）～（2－6－15）可知：图2－6－2中的、、分别用、和替换，正弦量用对应的相量代替，得图2－6－3（a）所示的相量模型。

图2－6－2图2－6－3各元件特性方程的相量形式为根据总电流相量和支路电流相量的参考方向可得等效复导纳

（2－6－16）导纳

（2－6－17a）导纳角

（2－6－17b）

2.复导纳并联的一般表示式图为三个复导纳并联的相量模型，其中

（2－6－18）图2－6－4根据各相量的参考方向，可得

总电流相量等效复导纳为

复导纳并联的等效复导纳为各支路复导纳之和。

设，可得

（2－6－20）［例2－6－l］如图2－6－2所示的、、并联电路，已知

，，，通过线路的总电流，，求：（1）各支路复导纳的指数形式和极坐标形式；（2）等效复导纳的极坐标形式；（3）电压相量；（4）各支路电流相量；（5）作出相量图。

［解］（1）由式（2－6－13）～（2－6－15）可得

（2）等效复导纳

（3）按题意设电流相量，故电压相量（4）各支路电流相量分别为（5）作相量图。因为是并联电路，各支路电压根量相同，故选电压

为参考相量，并沿实轴方向。作和同相，比

超前，比

落后

，

最后用平行四边形法则求、和的几何和即为总电流相量。显然，将该图沿反时针方向转过后就与用前一种方法画出的相量图相同。[例2－6－2]如图2－6－6所示的电路，已知求总电流的相量及其正弦量表示式。

图2－6－6［解］元件和的复导纳为并联后的复导纳为相应的复阻抗为

等效复阻抗

电流相量

对应的正弦电流为2.7分析正弦交流电路的基本方法2.7.1分析简单正弦交流电路的方法如果给出的是电路的时域模型，先把它变换为相量模型。在电路中用相量代替时变量，用复阻抗代替电阻，用复导纳代替电导。在分析过程中用相量形式的欧姆定律和基尔霍夫定律代替时域形式的欧姆定律和基尔霍夫定律，用相量形式的元件特性方程代替时域形式的元件特性方程。

2.7.2分析复杂正弦交流电路的方法

l.相量分析法相量分析法分支路电流法结点分析法和回路分析法等方法。（1）结点分析法

a.规定各支路电流相量的参考方向，任选一点为参考结点，对各独立结点列出KCL的相量式；

b.规定各结点电压相量的参考极性（一般以参考结点为负），利用元件特性方程的相量形式将支路电流相量表示为结点电压量的函数；

c.将步骤b的结果代入KCL表示式，即得所需要的电路方程。

[[[2－7－l]如图所示电路，已知：

试求结点电压相量及对应的正弦量表示式。

图2－7－1[解]先把电路的时域模型化为相量模型

选结点3为参考结点，结点电压相量、的参考极性均以参考结点为负。对结点1和2，按KCL的相量形式，可得

[2]

图2－7－2[1]利用元件特性方程的相量形式，将电流相量表示为结点电压相量的函数：

[3]

[4]

[5]

[6]

将式[3]～[6]代入式[1]和[2]，化简整理后，得

[8]

[7]对[7]和[8]两式行列式求解：

[9]

[10]其极坐标形式为

[11]

[12]

相量、所对应的正弦量表示式为

（2）回路电流法

a.先从网络中选取一组独立回路，规定各回路所属支路的电压相量的参考极性及回路绕行方向，然后对各回路列出KVL的相量式；

b.规定各回路所属支路的电流相量参考方向及回路电流参考方向，列出它们之间的关系式；

c.利用元件特性方程，将支路电压相量表示为回路电流相通的函数，然后代入KVL的相量式，即得电路方程。

[例2－7－2]在图所示的电路中，已知：

求：（1）总电流相量（2）A、B间的等效复阻抗；（3）C、D两点间的电压相量。

图2－7－3[解]设选三个网孔组成一组独立回路，按照KVL可得回路I

[1]回路II

[2]回路III

[3]根据图中所标出关于回路电流相量和支路电流相量的参考方向可得

利用元件特性方程的相量形式，将支路电压表示为回路电流的函数：

将以上各式代入式[1]～[3]，整理后得

[4]把已知的数据代入上式得

[5]

解之得

总电流相量为A、B间的等效复阻抗为

C、D两点间的电压相量2.相量图解法根据已知条件，画出能反映各支路电压相量、支路电流相量相互之间所具有的特殊关系的相量图，然后再结合题目解答的具体要求进行分析。［例2－7－3］如图2－7－4所示的电路，（1）试证电阻R变化时，O、E间的电压的模不变；（2）求对的相位差依赖于电阻R及电容C的关系式。图2－7－4

[解]以电流为参考相量。作（较落后）及（和同相），再注意到，故、和组成一个直角三角形BED。当R的数值改变时，和都在变化，但由于（它等于2）不变，所以相量的末端E在以O（O点是的二等分点）为圆心，电压相量的模为直径的半圆上移动。

图

2－7－5由于O、E两点间的电压为所以，从图2－7－5上看出，从O点引一指向E点的相量就是。由于R变化时，E点在半圆上移动，故的模不变。从图2－7－5还可以看出，比落后的角度为

（2－7－1）

（2－8－1）（2－8－2）图2－8－1当电路处于正弦稳态时，上面两式的相量表示为

（2－8－3）（2－8－4）2.8有互感的网络对于有互感的成对电感元件，其特性方程是：[例2－8－l]如图所示的电路，已知：求总电流。

图2－8－2[解]图（a）电路的相量模型如图（b）所示，在图中已标出各回路电流及各支路电流的参考方向。现设回路电流参考方向就是回路的绕行方向，电阻R，电感、和的电压分别为、、和，按照KVL可得

回路II

［2］

支路电流与回路电流的关系为

回路I

［1］利用元件特性方程的相量形式将支路电压表示为回路电流的函数：

将以上各式代入式[1]和[2]并注意到，可得

［3］

［4］

由于，由式［4］得，故有将各电路参数的数值代入得

总电流电流相量所对应的正弦电流为2.9交流电路的功率和功率因数当正弦量电压的参考极性和正弦量电流的参考方向符合无源惯例时，一个正弦交流二端网络吸收的瞬时功率表示式为：在交流电路中，由于二端网络的电流与电压之间有相位差，二端网络与电源之间出现能量交换。因此，对一般交流电路功率的分析需要引入有功功率（平均功率）、无功功率、视在功率、功率因数等概念。

2.9.1无源元件吸收的瞬时功率和有功功率1.电阻元件吸收的瞬时功率和有功功率假设电阻元件的两端电压为，流过的电流为，则吸收的瞬时功率为

（2－9－1）由于和同相，瞬时功率是正值，电阻总是从电源吸收电能而转变为热能。

图2－9－1

瞬时功率在一周期内的平均值，称为平均功率（用表示）。平均功率反映了电路中实际消耗的功率，又叫有功功率（用表示）。电阻电路中的有功功率为

因为故

（2－9－2）上式与直流电路中功率的表示式完全一致，不同的只是电压、电流等均用有效值表示。

2.电容元件吸收的瞬时功率和有功功率在采用无源惯例时，若加在电容元件两端的电压为

则通过电容的电流为电容元件吸收的瞬时功率为

图2－9－2

平均功率(有功功率)为

（2－9－3）3.电感元件吸收的瞬时功率和有功功率在采用无源惯例时，若加在电感元件的电压为

电流为，吸收的瞬时功率为

（2－9－4）

图2－9－3

平均功率(有功功率)为

2.9.2二端网络吸收的瞬时功率和有功功率设通过二端网络的电流及二端网络电压的表示式为

式中，为电压对电流的相位差。二端网络所吸收的瞬时功率为

（2－9－7）

图2－9－4（2－9－5）（2－9－6）图2－9－5

瞬时功率可以看成是两个分量的叠加：第一个分量是只有大小变化而不改变功率传输方向的瞬时功率分量，它代表电路的电阻元件所吸收的功率，称为有功分量，用表示；第二个分量是瞬时功率的交变分量，与电感元件、电容元件的瞬时功率波形相似，代表电路和电源之间的能量互换部分，称为无功分量，用表示。

电路的平均功率（有功功率）为

（2－9－8）上式表明，平均功率与相位差的余弦成正比。在、一定的条件下，相位差为零时，平均功率最大，其值为，在这种情况下电路和电源之间不出现能量互换的情况。当时，平均功率为零，电路不吸收能量，这与只有单个动态元件时的情况相似。

2.9.3动态元件和二端网络吸收的无功功率1.动态元件吸收的无功功率无功功率在（）时，电容和电感元件的瞬时功率。将代入式（2－9－3）和（2－9－4）即得

电感元件的无功功率恒为正值，是吸收无功功率的；而电容元件的无功功率恒为负值，是释放无功功率的。（2－9－9）（2－9－10）2.二端网络吸收的无功功率二端网络的瞬时功率的无功分量，代表二端网络与电源之间的能量互换部分，其表示式为将（

）代入上式得

（2－9－11）式中，

是电压对电流的相位差，即二端网络的阻抗角。对于电感性网络，

，为正，即二端网络吸收无功功率。对于电容性网络，，为负值，即二端网络释放无功功率。无功功率的单位为无功伏安，简称乏（var），数值大的，可用千乏（kvar）表示。

2.9.4视在功率和功率因数1.视在功率视在功率二端网络两端电压有效值和电流有效值的乘积，用表示，即

（2－9－12）视在功率的单位为V·A（伏安），数值较大的，可用kV·A（千伏安）表示。由式（2－9－8）、（2－9－11）和（2－9－12）可得二端网络的视在功率、有功功率和无功功率的关系为（2－9－13）2.功率因数根据式（2－9－12），二端网络的有功功率为

（2－9－14）式中，是视在功率。有功功率与视在功率的比值称为功率因数。表示，即（2－9－15）阻抗角也叫作功率因数角。

对于电感性电路，＞0；对于电容性电路，＜0。为了体现电路的性质，习惯上在功率因数后面加上落后或超前，所谓落后（超前），是指电流落后（超前）于电压。功率因数的大小反映了二端网络的性质和电源设备的“利用率”。

2.9.5复功率在一般情况下，图示二端网络的电压和电流可表示为令，它是电压对电流的相位差（图2－9－6）。有功功率、无功功率和视在功率由下式表示：图2－9－6视在功率、有功功率、无功功率可以定义一个复功率统一表示，记为，即

（2－9－16）复功率的模就是视在功率。由以上各式可得

式中，电压相量，是电流相量的共轭复数（见图2－9－6），故得

（2－9－17）复功率等于电压相量与电流相量的共轭复数的乘积。可见正弦量用相量替换之后，对于乘除运算没有等效性。注意，复功率不是相量，只是复数。为了与视在功率S区别，故用表示。

[例2－9－1]设20W日光灯电路(图2－9－7(a))中的