广东省大湾区2023届高三联合模拟（二）数学试题

要求的.2．已知i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=i，则z在复平面内对应的点位于()3．已知函数y=f(x)部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为()A．f(x)=xsin2xB．f(x)=xsinxC．f(x)=2xsinxD．f(x)=2xsin2x6．已知θe,，且sin2θ=，则tanθ=(-3-1(-3-1)8571000200 A．32πB．28πC．24πD．20π部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)的图像关于点,0中心对称C．函数f(x)在定义域上单调递增D．若-π≤x<π,则f(x)≥110．已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，定义函数f(x)为X取值不超过x的概率，即f(x)=P(X≤x)．若x>0，则()A．f(-x)=1-f(x)B．f(2x)=2f(x)C．f(x)在(0,+伪)上是减函数D．P(X≤x)=2f(x)-1111．已知函数f(x)=ex+ex，则()A．f(x)=f(-x)B．f(x)的最小值为2eC．f(x)f(-x)的最小值为4D．f(x)在区间(-1,0)上单调递增圆记为圆I，圆I的半径为r，过F1作PI的垂线，交PI的延长线于Q，则()A．动点I的轨迹方程为x=4(y产0)B．r的取值范围为(0,3)C．若r=1，则tanZF1PF2=D．动点Q的轨迹方程为x2+y2=1613．若数列{an}满足an+1>an且Sn+1<Sn，其中Sn为数列{an}的前n项和．数列通项an=.m2，m3m3，m415．如图为三棱锥A-BCD的平面展开图，其中AC=CD=CB=2，AE」BD，垂足为C，则该三棱锥的体积为.16．设随机变量T满足P(T=i)=，i=1,2,3，直线y=x+T与抛物线y2=2px(p>0)的公共点个数为η,若E(η)=，则p=.123456789（2）vnE**，数列{cn}满足++...+1=a+1，求{cn}的前n项和Sn. 18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．点D为BC边的中点，已知c=2， 2asinCcosB=asinA-bsinB+bsinC，cosCAD=.（1）求b；（2）求△ABC的面积.19．如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，BB1=B1C1=C1C=面BB1C1C.（1）证明：AB平面BB1C1C；（2）若二面角B-C1C-A的大小是，求线段AB的长.BC=2（1）对于方案一，设X为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求X的分布列与数学期望E(X)；（2）在两种方案下，分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据21．已知圆O的方程为x2+y2=4，P为圆上动点，点F坐标为(1,0)，连OP，FP．过点P作直线FP的垂线l，线段FP的中垂线交OP于点M，直线FM交l于点A.（1）求点A的轨迹方程；与直线n交于点H，记λ=，μ=，问：λ.μ是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22．已知函数f(x)=-lnx-a，其中a为常数，e=2.71828…是自然对数的底数.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；（2）当a>1时，问f(x)有几个零点，请说明理由.32+1232+12RB2．【答案】D【解析】由z(1+i)=i可知，z===+i，:z=-i，:z在复平面3．【答案】D【解析】由图像知f(x)=0，x=[0,π]有三个零点，经验证只有AD满足，排除BC选项，A中函数满足f(-x)=-xsin(-2x)=xsin2x=f(x)为偶函数，D中函数满足f(-x)=2-xsin(-2x)=-2xsin2x=-f(x)为奇函数，4．【答案】C【解析】设剪去的△ABC的边长AC=BC=x，2x+2x=4，解得x=4-2，则BD=4-4，所以外接圆的直径为d=BF=，b=b=所以在上的投影向量为所以在上的投影向量为 3:tanθ=或， 3:tanθ=或，：sin2θ=2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ=tan2θ+1tanθ=．故选：B.:θ=,，:tanθ=．故选：B.则P(A1)=1，P(A2)=1，P(B|A1)=，P(B|A2)=510，432π432π底面圆心为C，内切球球心为D，内切球切母线AB于E，底面半径BC=R>2，经BDC=θ,则故该圆锥的表面积为SπR2tanθ=，又ADEπ2θ,故ABBEAER2tan(π2θ)R2tan2θ,故该圆锥的表面积为SπR22tanθRtan2θ=1tan2θ1R2又，故AB2tanθRtan2θ=1tan2θ1R2又4R2R2442πR4R242πt8≥2π22π(t2πt8≥2π22π(t4)2t则S当且仅当t，即t4，R2时取等号．故选：A.9．【答案】BD【解析】f(x)的最小正周期为T，A选项错误；f(x)的对称中心，令2x，x,kZ，对称中心为,0,kZ，当k1时，,0是对称中心，B选项正确；0π,f(0)f(π)，函数f(x)在定义域上不是单调递增，C选项错误；10．【答案】AD【解析】因为随机变量X服从正态分布N(0,1)，所以f(x)P(X≤x)P(Xx)1P(X≤x)1f(x)，A正确；f(2x)P(X≤2x)，2f(x)2P(X≤x)，因为x0，所以f(x)P(X≤x)所以f(2x)2f(x)不可能，B不正确；因为x0，所以当x增大时，f(x)P(X≤x)也增大，C不正确； 1,2PXf(x)]2f(x)1，D正确．故选：AD.≤xP(x≤X≤x)1PXf(x)]2f(x)1，D正确．故选：AD.11．【答案】CD【解析】对于A选项，f(2)e2ee2，f(2)e2e，则f(2)f(2)，A错；对于B选项，因为f12e12e，故函数fx的最小值不是2e，B错；xf(x)f(x)exeexe2exex≥22exex4，ex时，即当x1时，等号成立，故f(x)f(x)的最小值为4，C对；对于D选项，当x(1,0)时，f(x)exeexelnx2exe2ln(x)，令g(x)x12ln(x)，其中1x0，则g(x)12(x21)20，xxxx所以，函数g(x)在(1,0)上单调递增，当1x0时，g(x)g(1)0，即x2ln(x)，故f(x)exe2ln(x)0，因此，函数f(x)在(1,0)上单调递增，D对．故选：CD.【解析】设I(x,y)，设△PF1F2的内切圆分别与边PF1，PF2，F1F2切于A，B，C三点，如图所示.A选项：由题知，a=4,b=3,c=5，F1(-5,0),F2(5,0)，8=PF1-PF2=(PA+F1A)-(PB+F2B)=F1A-F2B=F1C-F2C，所以(x+5)-(5-x)=8，x=4，显然y牛0，故A正确；B选项：根据对称性，不妨假设P点在x轴上方，根据A选项可设I(4,r)，双曲线的一条渐近线为y=x，考虑P点在无穷远时，直线PF1的斜率趋近于，此时PF1的方程为y=(x+5)，此时圆心到直线的距离为3根420=r，解得r=3，所以r的取值范围为(0,3)，故B正确；C选项：r=1时，IC=IB=1，F2C=1，此时PF2」F1F2，所以PF1=PM，且Q为F1M的中点，所以PF1-PF2=PM-PF2=MF2=8.又因为点O为F1F2的中点，Q为F1M的中点，所以OQ=MF2=4，所以动点Q的轨迹方程为x2+y2=16，显然x牛4，又考虑P点在无穷远时，此时直线OP趋近于渐近线y=x，直线F1Q为y=-(x+5)，(联立方程组y=3 x4-(x+5)所以点Q的横坐标x>-，动点Q的轨迹方程为x2+y2=16又由数列{an}满足an+1>an，故数列{an}为各项为负的递增数列，其通项公式可以为：an=-，故答案为：an=-(答案不唯一)同时开放m3，m4两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为190(s)，同时开放m1，m3两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为160(s)，得m1比m4快，同时开放m2，m3两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为140(s)，综上所述：疏散乘客用时最短的一个安全出口的编号是m2．故答案为：m2【解析】由三棱锥A一BCD的平面展开图可得其直观图如下：其中AC」CD，AC」CB，CD」CB，AC=CD=CB=2，又BCnCD=C，BC,CD一平面BCD，所以AC」平面BCD，所以VA一BCD=S△BCD.AC=xx2x2x2=，故答案为：653【解析】设3条直线与抛物线y2=2px(p>0)的公共点个数的和为m，因为E(η)=，则xm53则m=5，因为直线与抛物线的交点个数为0，1，2，所以直线y=x+T与抛物线y2=2px(p>0)的公共点个数η的取值为1，2，2，因为T=1,2,3，所以当T=3时，y=x+3与抛物线y2=2px(p>0)相(y=x+3ly=2px，得x2+(6一2p)x+9=0，Δ=(6一2p)2一36=0(y=x+3ly=2pxn12）Sn=3n.则b2=a2=1+d，b3=a5=1+4d，b4=a14=1+13d，················································1分因为数列{bn}为等比数列，则b=b2b4，即(1+4d)2=(1+d)(1+13d)，因为d>0，解得d=2，2分又因为b2=a2=3，b3=a5=9，所以，等比数列=a当n=2时，b+b+...+==n+1nn+1n3=，所以，cn=bn+1=2.3n一1(n=2)，n,3n1(n=2)，···············································································7分n=1S1=3也满足Sn=3n(n=2)，综上所述，对任意的ne**，Sn=3n.······························10分【解析】（1）因为2asinCcosB=asinA一bsinB+bsinC，由正弦定理得2accosB=a2一b2+bc，····················································2ac=a22+bc，····························所以c=b，···················（2）因为A+=2，···············································因为cos经CAD=，所以20=4221=2AD=2或AD21=2AD=2或ADAD化简得2因为sin经DAC=2 8所以S△ABC=2S△ADC=2x=x2x4x=，······································在Rt△BDB1中，cos经B1BC==，:经B1BC=，B1D=，···························1分在Rt△CDB1中，DC=3，解得B1C=2，······························:B1B2+B1C2=BC2，即B1C」B1B，········································································3分由平面AA1B1B」平面BB1C1C，平面AA1B1Bn平面BB1C1C=B1B，B1C」B1B:B1C」平面AA1B1B，·······························：AB」BC，BCnB1C=C，BC,B1C仁平面BB1C1C，:AB」平面BB1C1C.···············6分（2）如图，在平面BB1C1C内，过点B作BE」BC，以B为原点，以BA,BC,BE所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设AB=t，t>0则A(t,0,0)，C(0,4,0)，C1(0,3,)，B1(0,1,)，7分SS2λ= △HFR△HFS= =SS2λ= △HFR△HFS= =解得t=2， 则P(X=0)=2=，P(X=1)=C..=，P(X=2)=2=，·················3分所以，随机变量X的分布列如下表所示：X012P 38 所以E(X)=2根1=.2 3=5C2所以点A的轨迹是长轴长为4，焦距为2的椭圆，···············································所以点A的轨迹方程为x+y=1；············································································4分（2）设F到直线n的距离为h，设S(x1,y1)，R(x2,y2)，H(xH（2）设F到直线n的距离为h，μ=S△GFSS△GFRS= =22λμ=HR.GSλμ=HR.GS=(y2一yH)y1，HS.GR(yHy1)y22+y1=ty1y2+3y1，······································································8分1y2-3y2-ty1y2(x2y22+4)y2+24ty+36(x2y2所以y1+y2=-24t3t2+4=1y2=3t2+41y2=-(y1+y2)，-3(y1+y2)+3y1=所以λμ=2=-3y2+(y1+y2) (y1-y2)(y1-y2)【解析】（1）当a=1时，f(x)=-lnx-1，则f(1)=0，··········································1分f,(x)=2-2-，则f,(1)=0，····················································故当a=1时，曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=0.·············································3分2（2）令f(x)=0，可得-lnx-a=0常=lnx+a=ln(ea.x)，=ln(eax)，即=lnexln(eax)x