数学分析试题库-计算题、解答题-答案解析

./数学分析题库〔1-22章四．计算题、解答题求下列极限解：１.２．３．４.这是型,而故原极限＝56因,故原极限＝.7．用洛必达法则8.9.;解法1：解法2：10．解 因,〔3分故原式=求下列函数的导数解11121314.15161718.19．；20.求下列函数的高阶微分：设,求解因为所以所以21.解：22.解：令,两边对两边对求导有,两边对求导有23.求由参量方程所确定的函数的二阶导数解法1：由含参量方程的求导法则有求即求参量方程的导数解法2：由含参量方程的求导法则有求即求参量方程的导数24．设,试求.解基本初等函数导数公式,有,应用莱布尼兹公式〔得.25．试求由摆线方程所确定的函数的二阶导数.解.求到项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.解因为,所以到项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为.27．－２<－2,－1>－１<－1,0>０－０＋不存在＋０－递减,凹极小值－３递增,凹递增,凹极大值１递减,凹28．解〔1,故对任意正整数m,在连续.〔2,故当时,在可导.〔3先计算的导函数.,由〔2知,,于是当时,有,所以当时,在连续.29．解因为,故当时,,不满足柯西中值定理的条件,所以在区间[-1,1]上不能用柯西中值定理.30．证明〔1对任何,有,故是极小值点.〔2当时,有,作数列,,则,.即在的任何右邻域内,既有数列中的点,也有数列中的点.并且,,所以在内的符号是变化的,从而不满足极值的第一充分条件.又因为,,所以用极值的第二充分条件也不能确定的极值.31．答：能推出在内连续.证明如下：,取,于是,由题设,在上连续,从而在连续.由的任意性知,在内连续.32.试求函数在上的最值和极值.解在闭区间上连续,故必存在最大最小值.令,得稳定点为.又因故在处不可导.列表如下不存在00递减极小值递增极大值递减极小值递增所以和为极小值点,极小值分别为和,为极大值点,极大值为.又在端点处有,,所以函数在处取最小值,在处取最大值.33.求函数在上的最大最小值：解：令令解得函数在的稳定点为,而,所以函数在的最大值和最小值分别为.34.确定函数的凸性区间与拐点:解：令解得,当时,,从而区间为函数的凹区间,当时,,从而区间为函数的凸区间.并且,所以为曲线的拐点.35.设,则是有理数列.点集非空有界,但在有理数集内无上确界.数列递增有上界,但在有理数集内无极限.36.设,则是有理数列.点集有界无限,但在有理数集内无不存在聚点.数列满足柯西准则,但在有理数集内不存在极限.37.不能从中选出有限个开区间覆盖.因为中任意有限个开区间,设其中左端点最小的为,则当时,这有限个开区间不能覆盖.38.39.令,则40.41.42.令,则有,43.令,则有,.44..45..46..47..其中和式是函数在上的一个积分和,所以.48..于是.49.以平面截椭球面,得一椭圆.所以截面积函数为.于是椭球面的体积.50.化椭圆为参数方程:.于是椭圆所围的面积为.51.,于是所求摆线的弧长为.52.根据旋转曲面的侧面积公式可得所求旋转曲面的面积为.53.因为.于是无穷积分收敛,其值为.54.因为于是无穷积分收敛,其值为.55.因为,从而级数的部分和为.于是该级数收敛,其和为.56.因为,且级数收敛,所以级数收敛.57.因为,由根式判别法知级数收敛.58.因为,且级数发散,故原级数不绝对收敛.但单调递减,且,由莱布尼茨判别法知级数条件收敛.59.因为,当时,,于是.所以级数的部分和数列当时有界,从而由狄利克雷判别法知级数收敛;同法可证级数在上收敛.又因为,级数发散,收敛,于是级数发散,由比较判别法知级数发散.所以级数在条件收敛.60.判断函数项级数在区间上的一致收敛性.解记.则有ⅰ>级数收敛;ⅱ>对每个,↗；ⅲ>对和成立.由Abel判别法,在区间上一致收敛.61.,.讨论函数列{}的一致收敛性.解0,.|―0|.可求得.函数列{}在区间上非一致收敛.62.函数列在上是否一致收敛？解：由于,故.当时,只要,就有,故在上有.于是函数列〔8在上的极限函数,又由于,所以函数列〔8在[0,1]上不一致收敛.63.在R内是否一致收敛？解显然有,在点处取得极大值,.由系2,不一致收敛.64.函数列在上是否一致收敛？解时,只要,就有.因此,在上有.,.于是,在上有.但由于,,因此,该函数列在上不一致收敛.65.求幂级数的收敛域.解是缺项幂级数..收敛区间为.时,通项.因此,该幂级数的收敛域为.66.计算积分,精确到.解.因此,.上式最后是Leibniz型级数,其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值.为使,可取.故从第项到第项这前7项之和达到要求的精度.于是.67.把函数展开成的幂级数.解,.而,.68.求幂级数的和函数.解法一收敛域为,设和函数为,则有.因此,=,.解法二,.69.展开函数.解.70.在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数〔i〔ii解〔1〔i函数及其周期延拓后的图象所示.显然是按段光滑的,故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数.由于.当时,有所以在区间上〔ii函数及其周期延拓后的图象所示.显然是按段光滑的,故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数.由于.当时,.所以在区间上.71.设是以为周期的分段连续函数,又设是奇函数且满足试求的Fourier系数的值,.解由是奇函数,故是偶函数,再由,故有.作变换,则.所以,,72.设以为周期,在区间内,试求的Fourier级数展开式。解由Fourier系数的计算公式,.又满足Fourier级数收敛的Dirichlet条件,故.73.设,求在内的以为周期的Fourier级数展开式.解注意到是奇函数,故的Fourier系数.因此.由在内分段单调,连续,且故在内.74.设是以为周期的连续函数,其Fourier系数为.试用表示函数的Fourier系数解由Fourier系数的计算公式,75.试求极限解.76.试求极限解由.77.试求极限解由于,又,所以,,所以.78.试讨论解当点沿直线趋于原点时,.当点沿抛物线线趋于原点时,.因为二者不等,所以极限不存在.79.试求极限解由=.80.,有连续的偏导数,求解令则81.求解由.82.求抛物面在点处的切平面方程与法线方程。解由于,在处,所以,切平面方程为.即法线方程为.83.求在处的泰勒公式.解由.得.84.求函数的极值.解由于解得驻点,所以是极小值点,极小值为85.叙述隐函数的定义.答:设,,函数对于方程,若存在集合与,使得对于任何,恒有唯一确定的,使得满足方程,则称由方程确定了一个定义在上,值域含于的隐函数。一般可记为且成立恒等式86.叙述隐函数存在唯一性定理的内容.答:若满足下列条件:〔i函数F在以为内点的某一区域上连续;〔ii〔通常称为初始条件;〔iii在D内存在连续的偏导数;〔iv0,则在点的某邻域内,方程=0唯一地确定了一个定义在某区间内的函数〔隐函数,使得1º,时且；2°在内连续.87.叙述隐函数可微性定理的内容.答:若满足下列条件:〔i函数F在以为内点的某一区域上连续;〔ii〔通常称为初始条件;〔iii在D内存在连续的偏导数;〔iv0,又设在D内还存在连续的偏导数,则由方程所确定的隐函数在在其定义域内有连续导函数,且88.利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.答:设在的某邻域内有连续的导函数,且;考虑方程由于,,所以只要,就能满足隐函数定理的所有条件,这时方程能确定出在的某邻域内的连续可微隐函数,并称它为函数的反函数.反函数的导数是89.解:显然及在平面上任一点都连续,由隐函数定理知道,在使得的点附近,方程都能确定隐函数；所以,它的一阶与二阶导数如下：对方程求关于的导数〔其中是的函数并以3除之,得,或〔1于是〔2再对〔1式求导,得：即〔3把〔2式代入〔3式的右边,得再利用方程就得到90.解:由于处处连续,根据隐函数定理18.3,在原点附近能惟一确定连续可微得隐函数,且可求得它得偏导数如下：91.解:<1>令,则有.由于均连续,且,故在点附近由上述方程能确定隐函数和.<2>当时,由定理知;同理,当时,由定理知.于是求得并且有,.92.解:首先,即满足初始条件.再求出F,G的所有一阶偏导数容易验算,在点处的所有六个雅可比行列式中只有因此,只有难以肯定能否作为以为自变量的隐函数.除此之外,在的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.如果我们想求得的偏导数,只需对方程组分别关于求偏导数,得到〔1〔2由〔1解出由〔2解出93.解:设,.<1>关于的雅可比行列式是,当时,在满足方程组的任何一点的一个邻域内,由方程组可以唯一确定是的可微函数;<2>关于的雅可比行列式是,当时,在满足方程组的任何一点的一个邻域内,由方程组可以唯一确定是的可微函数.94.解:设,.它们在处的偏导数和雅可比行列式之值为：和,,.所以曲线在处的切线方程为：,即法平面方程为,即.95.解:令,则,故,因此曲面在点处的法向量为,所求切平面方程为,即.法线方程为即96.解:这个问题实质上就是要求函数〔空间点到原点的距离函数的平方在条件及下的最大、最小值问题.应用拉格朗日乘数法,令.对求一阶偏导数,并令它们都等于0,则有求得这方程组的解为与〔1〔1就是拉格朗日函数的稳定点,且所求的条件极值点必在其中取得.由于所求问题存在最大值与最小值〔因为函数在有界闭集上连续,从而必存在最大值与最小值,故由所求得的两个值,正是该椭圆到原点的最长距离与最短距离.97.叙述含参量的正常积分定义.答:用积分形式所定义的这两个函数〔1与,〔2通称为定义在上含参量的〔正常积分,或简称含参量积分.〔1式的意义如下：设是定义在矩形区域上的二元函数。当取上某定值时,函数则是定义在上以y为自变量的一元函数.倘若这时在可积,则其积分值是在上取值的函数,记它为,就有.〔2式的意义如下：一般地,设为定义在区域上的二元函数,其中为定义在上的连续函数,若对于上每一固定的值,作为的函数在闭区间上可积,则其积分值是在上取值的函数,记作时,就有98.叙述含参量的正常积分的连续性定理的内容.答:设二元函数在区域上连续,其中为上的连续函数,则函数〔6在上连续.99.叙述含参量的无穷限反常积分定义.答:设二元函数定义在无界区域上,若对于上每一固定的值,反常积分<1>都收敛,则它的值是在上取值的函数,当记这个函数为时,则有,称<1>式为定义在上的含参量的无穷限反常积分,或简称含参量反常积分.100.叙述含参量的无穷限反常积分的一致收敛性定义.答:若含参量反常积分与函数对任给的正数,总存在某一实数使得当时,对一切,都有即则称含参量反常积分在上一致收敛于,或简单地说含参量积分在上一致收敛.101.叙述含参量的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.答:含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是：对任给正数,总存在某一实数,使得当时,对一切,都有.102.叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法.答:设对一切实数N>c,含参量正常积分对参量在上一致有界,即存在正数M,对一切N>c及一切,都有对每一个,函数关于y是单调递减且当时,对参量一致地收敛于0.则含参量反常积分在上一致收敛．103.叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法.答:设在上一致收敛；对每一个,函数为的单调函数,且对参量,在上一致有界,则含参量反常积分在上一致收敛。104.叙述含参量反常积分的可积性定理内容.答:设在上连续,若在上一致收敛,则在上可积,且设在上连续.若关于在任何闭区间上一致收敛,关于在任何区间上一致收敛；积分〔18中有一个收敛,则〔18中另一个积分也收敛,且105.解:因为所以由于函数在上满足定理的条件,所以交换积分顺序得到106.解:因为,所以该积分是正常积分.交换积分次序,得.在上面的内层积分中作变换,有,于是.解法二:取为参量,利用积分号下求导数的方法,有积分上式,可得由于,即有,于是有.107.解:因为,所以〔21由于及反常积分收敛,根据魏尔斯特拉斯M判别法,含参量反常积分在上一致收敛.由于在上连续,根据定理19.11交换积分〔21的顺序,积分I的值不变.于是在上述证明中,令,则有,<22>由阿贝耳判别