高考数学一轮复习 第九章 概率、统计与算法 第1讲 抽样方法、总体分布的估计分层演练直击高考 文-人教版高三数学试题

第1讲抽样方法、总体分布的估计1．(2018·南通调研测试)某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为________．[解析]设高二年级抽取n人，则eq\f(n,930)＝eq\f(280,2800)，故n＝93人．[答案]932．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13，则n＝________．[解析]由已知条件，抽样比为eq\f(13,780)＝eq\f(1,60)，从而eq\f(35,600＋780＋n)＝eq\f(1,60)，解得n＝720.[答案]7203.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是________．[解析]由题意知各数为12，15，20，22，23，23，31，32，34，34，38，39，45，45，45，47，47，48，48，49，50，50，51，51，54，57，59，61，67，68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，极差为68－12＝56.[答案]46，45，564．(2018·江苏省高考命题研究专家原创卷(一))某电商联盟在“双11”狂欢节促销活动中，对11月11日9时到14时的销售额进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知13时到14时的销售额为4.5万元，则10时到13时的销售额为________万元．解析：设10时到13时的销售额为x万元，由题图可知13时到14时的销售额与10时到13时的销售额的比值为eq\f(0.10,0.15＋0.40＋0.25)＝eq\f(1,8)，又13时到14时的销售额为4.5万元，所以eq\f(4.5,x)＝eq\f(1,8)，解得x＝36，所以10时到13时的销售额为36万元．答案：365．(2018·无锡模拟)若一组样本数据8，x，10，11，9的平均数为10，则该组样本数据的方差为________．[解析]因为平均数＝eq\f(8＋x＋10＋11＋9,5)＝10，所以x＝12，从而方差为s2＝eq\f(1,5)(4＋4＋0＋1＋1)＝2.[答案]26．(2018·苏锡常镇四市调研)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是________校区.[解析]方差较小即两者比较时数据比较集中，从茎叶图知，南岗校区数据集中，而群力校区数据分散的很明显，故南岗校区浓度的方差较小．[答案]南岗7．(2018·鹰潭模拟改编)某市共有400所学校，现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本，调查学生课外阅读的情况．把这400所学校编上1～400的号码，再从1～20中随机抽取一个号码，如果此时抽得的号码是6，则在编号为21到40的学校中，应抽取的学校的编号为________．[解析]根据系统抽样的条件，可知抽取的号码为第一组的号码加上组距的整数倍，所以为号20＋6＝26号．[答案]268．(2018·江苏省名校高三入学摸底卷)已知一组数据1，2，3，4，5m的方差为2，那么相对应的另一组数据2，4，6，8，10解析：1，2，3，4，5m的平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝2＋m，方差s2＝eq\f(（－m－1）2＋m2＋（1－m）2＋（－m＋2）2＋（4m－2）2,5)＝2，而2，4，6，8，10m的平均数eq\o(x,\s\up6(－))1＝4＋2m，方差seq\o\al(2,1)＝4×eq\f(（－m－1）2＋m2＋（1－m）2＋（－m＋2）2＋（4m－2）2,5)＝4×2＝8.答案：89．(2018·宿迁调研)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为________．解析：由题图可知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.所以s2＝eq\f(1,7)×[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝eq\f(36,7).答案：eq\f(36,7)10．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}，已知a2＝2a1，且样本容量为300，[解析]因为小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}，且a2＝2a1所以样本的频率构成一个等比数列，且公比为2，所以a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15a1＝1，所以a1＝eq\f(1,15)所以小长方形面积最大的一组的频数为300×8a1[答案]16011．一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅有一个是正确的．学生小张只能确定其中10道题的正确答案，其余2道题完全靠猜测回答．小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表如下：得分(分)4045505560百分率15%10%25%40%10%现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析．(1)应抽取多少张选择题得60分的试卷？(2)若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率．[解](1)得60分的人数为40×10%＝4.设抽取x张选择题得60分的试卷，则eq\f(40,20)＝eq\f(4,x)，则x＝2，故应抽取2张选择题得60分的试卷．(2)设小张的试卷为a1，另三名得60分的同学的试卷为a2，a3，a4，所有抽取60分试卷的方法为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)共6种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种，故小张的试卷被抽到的概率为P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).12．甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.(1)分别计算两组数据的平均数；(2)分别计算两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些．[解](1)eq\o(x,\s\up6(-))甲＝eq\f(1,10)(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，eq\o(x,\s\up6(-))乙＝eq\f(1,10)(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.(2)由方差公式s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(-)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(-)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(-)))2]可求得seq\o\al(2,甲)＝3.0，seq\o\al(2,乙)＝1.2.(3)由eq\o(x,\s\up6(-))甲＝eq\o(x,\s\up6(-))乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当；又因为seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，说明甲战士射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定．1．(2018·徐州模拟)某工厂在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为________．[解析]因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为1200双皮靴．[答案]12002．(2018·北京海淀区模拟)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．[解析]第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.[答案]5010153．某公司300名员工2016年年薪情况的频率分布直方图如图所示，由图可知，员工中年薪在1.4～1.6万元的共有________人．[解析]由频率分布直方图知年薪低于1.4万元或者高于1.6万元的频率为(0.2＋0.8＋0.8＋1.0＋1.0)×0.2＝0.76，因此，年薪在1.4到1.6万元间的频率为1－0.76＝0.24，所以300名员工中年薪在1.4到1.6万元间的员工人数为300×0.24＝72(人)．[答案]724．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，更正后平均分和方差分别是________．[解析]因为甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，则由题意可得：s2＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有75＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化简整理得s2＝50.[答案]70，505．某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并采用茎叶图表示本次测试30人的跳高成绩(单位：cm)，跳高成绩在175cm以上(包括175cm)定义为“合格”，跳高成绩在175cm(1)如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5人，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少？(2)若从甲队178cm(包括178cm)以上的6人中抽取2人，则至少有一人在186cm[解](1)根据茎叶图可知，30人中有12人“合格”，有18人“不合格”．用分层抽样的方法，则5人中“合格”与“不合格”的人数分别为2人、3人．(2)甲队178cm(包括178cm)以上的6人中抽取2人的基本事件为(178，181)，(178，182)，(178，184)，(178，186)，(178，191)，(181，182)，(181，184)，(181，186)，(181，191)，(182，184)，(182，186)，(182，191)，(184，186)，(184，191)，(186，191)其中都不在186cm以上的基本事件为(178，181)，(178，182)，(178，184)，(181，182)，(181，184)，(182，184)，所以都不在186cm以上的概率P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，由对立事件的概率公式得，至少有一人在186cm以上(包括186cm)的概率为1－P＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).6．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．[解](1)由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.