高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 课时达标检测（十三）函数模型及应用-人教版高三数学试题

课时达标检测(十三）函数模型及应用[练基础小题——强化运算能力]1．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lgeq\f(I,I0)(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70dB的声音的声波强度I1是60dB的声音的声波强度I2的________倍．解析：由η＝10lgeq\f(I,I0)得I＝I010，所以I1＝I0107，I2＝I0106，所以eq\f(I1,I2)＝10，所以70dB的声音的声波强度I1是60dB的声音的声波强度I2的10倍.答案：102．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2017年5月1日12350002017年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35600－35000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：83．(2018·安阳一模)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是________．解析：由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获得利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．答案：94．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.24[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018·德阳一诊)某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p02－eq\f(t,30)，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln2，则p(60)＝________毫克/升．解析：因为当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln2，所以－10ln2＝eq\f(\f(1,2)p0－p0,30－0)，所以p0＝600ln2，因为p(t)＝p02－eq\f(t,30)，所以p(60)＝600ln2×2－2＝150ln2(毫克/升)．答案：150ln22．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元．解析：设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.答案：1083．(2018·江苏南通诊断)将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin甲桶中的水只有eq\f(a,4)L，则m的值为________．解析：∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝eq\f(1,2)a，可得n＝eq\f(1,5)lneq\f(1,2)，所以f(t)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，设kmin后甲桶中的水只有eq\f(a,4)L，则f(k)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(a,4)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,4)，解得k＝10，所以m＝k－5＝5(min)．答案：54.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费S(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．解析：依题意可设SA(t)＝20＋kt，SB(t)＝mt.又SA(100)＝SB(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，于是SA(150)－SB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150(k－m)＝20＋150×答案：105．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________．(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)解析：设2017年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞eq\f(20,13)，两边取常用对数，得n＞eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈eq\f(0.30－0.11,0.05)＝eq\f(19,5)，∴n≥4，∴从2021年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．答案：2021年6．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－eq\f(21,2)))2＋0.1×eq\f(212,4)＋32.因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．答案：437.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．解析：依题意知：eq\f(20－x,20)＝eq\f(y－8,24－8)，即x＝eq\f(5,4)(24－y)，所以阴影部分的面积S＝xy＝eq\f(5,4)(24－y)·y＝eq\f(5,4)(－y2＋24y)＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180(0＜y＜24)．所以当y＝12时，S有最大值为180.答案：1808．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝aeq\r(A)(a为常数)，广告效应为D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示)解析：令t＝eq\r(A)(t≥0)，则A＝t2，∴D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－eq\f(1,2)a))2＋eq\f(1,4)a2.∴当t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2时，D取得最大值．答案：eq\f(1,4)a29.(2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春节前后，从2月5日至2月22日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示(2月5日是第1天)，则此人在2月10日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10＝k＋b，,30＝10k＋b，))解得k＝eq\f(20,9)，b＝eq\f(70,9)，所以y＝eq\f(20,9)x＋eq\f(70,9)，则当x＝6时，y＝eq\f(190,9).答案：eq\f(190,9)10．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套公寓房月租金定为3000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．解析：由题意，设利润为y元，每套房月租金定为3000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)．则y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(58＋x＋70－x,2)))2＝204800，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故当每套房月租金定为3000＋50×6＝3300元时，可使公司获得最大利润．答案：3300二、解答题11．(2018·启东中学第一次检测)运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解：(1)设所用时间为t＝eq\f(130,x)(小时)．y＝eq\f(130,x)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))＋14×eq\f(130,x)，x∈[50,100]．代简得这次行车总费用y关于x的表达式是y＝eq\f(2340,x)＋eq\f(13,18)x，x∈[50,100]．(2)y＝eq\f(2340,x)＋eq\f(13,18)x≥26eq\r(10)，当且仅当eq\f(2340,x)＝eq\f(13,18)x，即x＝18eq\r(10)时，等号成立．故当x＝18eq\r(10)千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26eq\r(10)元．12．(2018·苏州高三调研)如图所示的是一种自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB为2米，梯形的高为1米，CD为3米，上部是个半圆，固定点E为CD的中点．MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计)，且滑动过程中始终保持和CD平行．当MN位于CD下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH(阴影部分均不通风)．(1)设MN与AB之间的距离为xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x＜\f(5,2)且x≠1))米，试将通风窗的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数y＝S(x)；(2)当MN与AB之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S取得最大值？解：(1)当0≤x＜1时，过A作AK⊥CD于K(如图)，则AK＝1，DK＝eq\f(CD－AB,2)＝eq\f(1,2)，HM＝1－x，由eq\f(AK,DK)＝eq\f(MH,DH)＝2，得DH＝eq\f(HM,2)＝eq\f(1－x,2)，所以HG＝3－2DH＝2＋x，所以S(x)＝HM·HG＝(1－x)(2＋x)＝－x2－x＋2；当1＜x＜eq\f(5,2)时，过E作ET⊥MN于T，连结EN(如图)，则ET＝x－1，TN＝eq\f(MN,2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2－x－12)＝eq\r(\f(9,4)－x－12)，所以MN＝2eq\r(\f(9,4)－x－12)，所以S(x)＝MN·ET＝2eq\r(\f(9,4)－x－12)·(x－1)，综上：S(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－x＋2，0≤x＜1，,2x－1\r(\f(9,4)－x－12)，1＜x＜\f(5,2).))(2)当0≤x＜1时，S(x)＝－x2－x＋2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(9,4)在[0,1)上递减，所以S(x)max＝S(0)＝2；当1＜x＜eq\f(5,2)时，S(x)＝2(x－1)eq\r