抽象函数常见题型和解法

抽象函数的常见题型及解法抽象函数的定义域f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域假设f(x)的定义域x(a,b)，求f[g(x)]的定义域，其方法是：由a<g(x)<b,求得x的范围，即为f[g(x)]的定义域。即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。f(x)的定义域为[1，4]，求f()的定义域.解:由1≤≤4，得-1≤≤2即-1≤<0或0<≤2解得X≤-1或x≥∴函数的定义域为:f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域假设f[g(x)]的定义域x(a,b)，求f(x)的定义域，其方法是：由a<x<b,求得g(x)的范围，即为f(x)的定义域。即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。假设f(x+2)的定义域为[-2，2]，求函数f(x)的定义域.解：∵f(x+2)的定义域为[-2，2]，∴-2≤x≤2，∴0≤x+2≤4故f(x)的定义域为[0，4]3.f[(x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域先由f[(x)]的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个函数内层函数的值域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。假设f(x+1)的定义域为，求函数f()的定义域.解：∵f(x+1)的定义域为，∴-2≤x3，∴-1≤x+14即f(x)的定义域为.∴-1≤<4，∴-3≤<2即-3≤<0或0<<2解得X≤-或x>∴函数的定义域为:f(x)的定义域，求f[(x)]+f[g(x)]的定义域假设f(x)的定义域x(a,b)，求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域，其方法是：由,求得x的范围，即为f[(x)]+f[g(x)]的定义域。f(x)的定义域为[-1，2]，求g(x)=f(x)+f(-x)的定义域.解：由题意得：-1≤x≤1,故函数的定义域为[-1，1].f(x)的定义域为[0，1]，求g(x)=f(x+m)+f(x-m)的定义域.解：由题意得：解此不等式组，须讨论1-m与m的大小当1-m<m即m>时，不等式无解，此时函数关系不存在。当1-m=m即m=时,x=m=.当1-m>m即0<m<时,m综上，当0<m时,函数g(x)的定义域为{x|m}.抽象函数的解析式抽象函数的对称性抽象函数的单调性抽象函数不等式的解法简单概括为f的“穿”、“脱”问题。将函数符号加上即为“穿”、将函数符号去掉即为“脱”，根据函数值相等----先“穿”，根据函数的单调性----后“脱”。函数f(x)的定义域是(0,+∞)，当x>1时,f(x)>0，且f(x.)=f(x)+f(y)。求f(1);证明f(x)在定义域上是增函数;如果f()=-1,求满足不等式f(x)-f()2的x的取值范围。分析：〔1〕求抽象函数的值常采用赋值法。〔2〕应利用单调性定义证明，在作差f〔x2〕-f(x1)变形时，注意条件f(x.)=f(x)+f(y)的应用及拆、添、凑的思想的运用。〔3〕解抽象函数不等式，实际上就是f的“穿”、“脱”问题。先“穿”后“脱”。解：〔1〕令x=y=1，得f(1)=2f(1)，故f(1)=0〔2〕任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，那么>1,由题意得：f()>0∴f(x2)－f(x1)=f()-f(x1)=f()+f(x1)-f(x1)=f()>0∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在(0,+∞)上的增函数方法二：令y=,得f(1)=f(x)=f(x)+f()=0故f()=-f(x)任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，f(x2)－f(x1)=f(x2)+f()=f()由于>1，故f()>0∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在(0,+∞)上的增函数〔3〕∵f()=-1，∴-f()=12=1+1=-f()-f()=-[f()+f()]=-f()=-f()f(x)-f()2f(x)-f()-f()f(x)+f()f()f()f()∴解得:x∴x的取值范围为{x|x}例2．定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x＞0时，f(x)＞1且对任意a、b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)。〔1〕证明：f(0)＝1。〔2〕证明：对任意的x∈R，恒有f(x)＞0。〔3〕证明f(x)是R上的增函数。〔4〕假设f(x)·f(2x－x2)＞1，求x的取值范围。〔1〕证明：令a＝b＝0，那么f(0)＝f(0)·f(0)又f(0)≠0∴f(0)＝1〔2〕证明：当x＜0时，－x＞0∴f(－x)＞1∴f(0)＝f[x＋〔－x〕]＝f(x)·f(－x)＝1∴f(x)＝又f(0)＝1且当x＞0时，f(x)＞1∴对任意的x∈R，恒有f(x)＞0〔3〕设x1＞x2，x1，x2∈R那么x2－x1＞0∴f(x2－x1)＞1∴f(x1)－f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)·f(x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]∵f(x1)＞0f(x2－x1)－1＞0∴f(x2)－f(x1)＞0∴f(x2)＞f(x1