2021年上海市松江区中考数学模拟试卷（附答案）

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【中考冲刺】2021年上海市松江区中考数学模拟试卷（附答

案）

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1.如果两个相似多边形的面积之比为1:4,那么它们的周长之比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

2.已知在RSABC中，NC=90。，如果BC=2,ZA=a,则AC的长为()

A.2sinaB.2cosaC.2tanaD.2cota

3.将抛物线y=2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（)

A.y=2x2+3B.y=2x2-3C.y=2(x+3)2D.y=2(x-3)2

4.已知〃，下列说法中不正确的是（)

A.a—2b=0B.&与b方向相同C.a!lbD.|a|=2|b|

5.如图，一艘船从A处向北偏东30。的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方

向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）

C.100千米D.5百千米

6.如图，已知在RrABC中，NC=90°,点G是A5C的重心，GEA.AC,垂

足为E,如果C8=8,则线段GE的长为（）

CB

57810

A.B.C.D.

3333

二、填空题

x5,x-y

1.已知一=彳，则——

y3y

8.已知线段MN的长是4cm,点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是

9.计算sin30。<0160。=—.

3

10.在吊ABC中，NC=90。，AC=6,cosA=—,那么AB的长为

4

11.一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x>0）厘米，则面积随之增加y

平方厘米，那么y关于x的函数解析式为一.

12.已知点A（2,yJ,5（3,%）在抛物线丁=/一2%+。（c为常数）上，则y―%

（填或“V”）

13.如图，已知直线4，/2,&分别交直线1于点A,B,C,交直线1于点D,E,F,

旦A8=4,AC=6,DF=10,则。石=—.

14.如图，ABC在边长为1个单位的方格纸中，ABC的顶点在小正方形顶点位置,

那么NABC的正弦值为.

DE3

15.如图，己知点D.E分别在A6c的边AB和AC上，DEHBC,——=一，四

BC4

边形DBCE的面积等于7,则49E的面积为一.

试卷第2页，总6页

A

B

16.如图，在梯形ABCD中，AD!IBC,BC=2AD,设向量AB=a，AD=b.

用向量a，b表示AC为___-

17.如图，正方形OEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点O,G分别在AB、AC

上，已知/WC的边6C=16cm,高AH为10a”，则正方形。EFG的边长为一.

18.如图，已知矩形纸片ABCD,点E在边AB上，且8E=1，将沿直线CE

翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF,如果点D,F,E在同一直线上，则

线段AE的长为—.

三、解答题

19.用配方法把二次函数y=3d—6x+5化为y=a(x+m)2+左的形式，并指出这个

函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.

20.如图，已知43〃CD,AD、BC相交于点E,A8=6,BE=4,BC=9,连接

AC.

(1)求线段CD的长；

(2)如果AE=3,求线段AC的长.

3

21.如图，已知在R/ABC中，NC=90o,sinNABC=M，点。在边8c上，BD=4,

2

连接AO,tanADAC=-.

3

A

(1)求边4c的长；

(2)求cot/BAO的值.

22.如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处(点A、

B、C在同一直线上)，某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿

斜坡DE方向前行65米到E点(点A、B、C、D、E在同一平面内)，在点E处测得

5G信号塔顶端A的仰角为37。，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i=1：2.4.(参

考数据：sin37°®0.60,cos37°®0.80,tan37°«0.75)

试卷第4页，总6页

(1)求斜坡DE的高EH的长；

(2)求信号塔AB的高度.

23.如图，已知在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE,延长BA、

CE相交于点F,CE?=DEBC

(2)求证：BEEF=BFAE.

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线>=以2+法—2经过点4(2,0)和

3(-1,一1)与y轴交于点C.

(1)求这个抛物线的表达式；

PD?

(2)如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D,——=一.

DC3

①求P点坐标；

②点Q在x轴上，如果NQC4=NPCB,求点Q的坐标.

25.如图，已知在等腰ABC中，AB=AC=5石，tanZABC=2,BFLAC,

垂足为F,点D是边AB上一点(不与A,B重合)

AAA

(1)求边BC的长；

(2)如图2,延长DF交BC的延长线于点G,如果8=4,求线段AD的长;

(3)过点D作r>E，BC,垂足为E,DE交BF于点Q,连接DF,如果△。QE和ABC

相似，求线段BD的长.

试卷第6页，总6页

参考答案

1.A

【分析】

根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可.

【详解】

解：；两个相似多边形面积的比为1:4,

：.两个相似多边形周长的比等于1:2,

这两个相似多边形周长的比是1:2.

故选：A.

【点睛】

本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比

的平方.

2.D

【解析】

试题分析：根据锐角三角函数的定义得出cotAA=C2,代入求出即可•在RSABC中,

BC

ZC=90°,

BC

；BC=2,ZA=a,

AC=2cota,

故选D.

考点：锐角三角函数的定义.

3.D

【分析】

先确定抛物线的顶点坐标是坐标原点，然后根据向右平移，横坐标加，向上平移纵坐标加求

出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据平移变换不改变图形的形状，利用顶点式形式写出即

可.

【详解】

抛物线），=2r的顶点坐标为（0,0）,

答案第1页，总23页

•••向右平移3个单位

.••平移后的顶点坐标为(3,0),

•平移后的抛物线解析式为y=2(x—3)2.

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是熟记平移规律”左加右减，上加下减

4.A

【分析】

根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用.

【详解】

A.q-2b=0，故该选项错误，

B.：。=2/?，

，。与〃方向相同，故该选项正确，

C.，：a=2b,

■-a//b>故该选项正确，

D.a=2b>

：.\a\=2\b\,故该选项正确，

故选：A.

【点睛】

本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向，平行向量，也叫共线向量，是

指方向相同或相反的非零向量.零向量和任何向量平行.

5.C

【分析】

根据题意，利用440=30。，根据锐角三角函数求出AD和BD的长，从而得到CD的长，

再用勾股定理求出AC的长.

【详解】

解:如图，

答案第2页，总23页

BD=AB-sin30°=10x—=5Z:m,

2

AD-ABcos30°=10x——=5y/3km，

2

BC=20km,

CD=15初z,

AC=yJCD2+AD2=5km-

故选：C.

【点睛】

本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法.

6.C

【分析】

因为点G是ABC的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：

2

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1,可知点。为8c的中点，——=—,

GD1

EGAG

根据GELAC,可得ZAEG=900,进而证得△AfG-AACD，从而得到一=—，

CDAD

代入数值即可求解.

【详解】

如图，连接AG并延长交于点£>.

答案第3页，总23页

A

点G是ABC的重心，

AQ2

•••点。为BC的中点，一=一,

GD1

CB=8,

CD=BD=-BC=4,

2

GEA.AC,

ZAEG=90°,

ZC=90°,

ZAEG=ZC=90°,

ZEAG^ZCAD（公共角），

AAEGs&CD,

.EGAG

•,一,

CDAD

AG2

而T

AG2

——=-,

AD3

..-E-G----A-G-——2,

4AD3

EG=§.

3

故选：C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心

的性质是解题的关键.

答案第4页，总23页

3

【分析】

x55

由一=:；得到1=—y,代入式子计算即可.

》33

【详解】

••_x__5_

...x=—5y,

3

5

■—y-y-y2

y~一工

y3

2

故答案为：一.

3

【点睛】

此题考查比例的性质，正确进行变形，熟练掌握和灵活运用相关运算法则是解题的关键.

8.275-2

【解析】

较长的线段MP的长为xcm,则较短的线段长是(4-x)cm.

则x2=4(4-x),

解得x=2指—2或-2岔一2(舍去).

故答案为26-2.

9,也

6

【分析】

先代入特殊角的三角函数值，然后再进行计算即可.

【详解】

sin30°-cot60°=—X—=—,

236

答案第5页，总23页

故答案为:

6

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值、实数乘法运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.

10.8

【分析】

根据余弦函数的定义即可直接求解.

【详解】

4c3

解：*•'cosA-......=—>

AB4

AC6_

AB=3=3=8,

44

故答案为：8.

【点睛】

本题考查了余弦函数的定义，是所邻的直角边与斜边的比，理解定义是关键.

11.y=x2+4x

【分析】

首先表示出原边长为2厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根

据面积随之增加y平方厘米可列出方程.

【详解】

原边长为2厘米的正方形面积为：2x2=4(平方厘米)，

边长增加x厘米后边长变为：x+2,

则面积为：(x+2)2平方厘米，

".y—(x+2)2-4=X2+4X.

故答案为：y=x2+4x.

【点睛】

此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积.

12.<

【分析】

答案第6页，总23页

先确定抛物线的开口方向向上，然后再求出抛物线的对称轴，最后根据离对称轴距离越远的

点、函数值越大解答即可.

【详解】

解：Vy=x2-2x+c

.••抛物线开口方向向上，对称轴为x=3-=l

—2x1

V2-1<3-1

，%<内•

故答案为<.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上，离对称轴距离越远的点、函

数值越大成为解答本题的关键.

20

13.—

3

【分析】

根据平行线分线段成比例定理解答即可.

【详解】

V/,//Z2//Z3AB=4,AC=6,。尸=10,

..ABDE

,~AC~~DF

4DE

即nn_=——，

610

…20

可得：DE=—,

故答案为：学.

3

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键.

14.好

5

【分析】

利用勾股定理可求出AC、BC、AB的值，利用勾股定理逆定理可得NACB=90。，根据正弦

的等于即可得答案.

答案第7页，总23页

【详解】

:ABC1在边长为I个单位的方格纸中，ABC1的顶点在小正方形顶点位置,

2

/.AB=yjf+3=A/10.BC=2五，AC=3,

；（2q）2+（正）2=（9）2,

NACB=90°,

.•.sinZABC=^=<=^

AB回5

故答案为：好

5

【点睛】

本题考查网格的特征、勾股定理及正弦的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与

斜边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.

15.9

【分析】

sDE2

由DEH8C易证△ADE^AABC利用相似三角形的性质产里=一厘利用分比性质

SAAnF99

SAABCFADE=吟'由藐一S四…E=7,代入5研=^四边形DBCE即可•

【详解】

•.•点D.E分别在ABC的边AB和AC上，DEHBC,

ZADE=ZABC,

/A共用,

AAADE^AABC,

..DE3

*一9

BC4

2

。八ADEDE_9

^-16

°AABC

%SADE9

°SAABC-S°AADE1U6-Qy

答案第8页，总23页

QQ

・°AADE-y

•,。s四边形DBCE_7'，

•S四边形DBCE=7，

・_9_9_

故答案为：9.

【点睛】

本题考查三角形相似的判断与性质，会证三角形相似，能利用相似三角形的性质列出面积比，

会利用比例性质解决问题是关键.

16.a+2b

【分析】

由AT>〃BC说明向量AD与向量BC是共线向量，又是同向向量，由5c=24），说明向

量BC与向量AD是2倍关系，即BC=2AD=28，再利用和向量求向量AC即可

【详解】

VAD//BC,BC=2AD,

BC=2AD=2A

•••AC=AB+BC=a+2人

故答案为：a+2b

【点睛】

本题考查方向相同的共线向量与向量的倍分关系，以及和向量问题，掌握方向相同的共线向

量与向量的倍分关系，以及和向量，利用方向相同的共线向量进行线性计算，会利用平行四

边形法则求和向量是解题关键

80

17.—

13

【分析】

高A”与边DG的交点为P，由四边形DEFG是正方形，得到DE=DG=PH,DG//EF,

所以NADG=ZB,又因为ND4G=NB4C，可证ADG^ABC,根据相似三角形

答案第9页，总23页

DGAP

边之比等于高之比得到——=——，代入数据求解即可.

BCAH

【详解】

高AH与边DG的交点为P,如图,

四边形OEFG是正方形，

DG//EF，DE=DG=PH,

设正方形DEFG的边长为xcm,

则£>E=DG=P”=x,

A"=1(),

AP=AH-PH=\O-x,

DG//EF,

ZADG=ZB,

ZDAG=ZBAC(公共角)，

ADG^ABC,

.DGAP

•«一，

BCAH

3c=16,AH=10,

一x=-1-0---x,

1610

故答案为:

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是注意图中公共角这个隐

含条件.

1+V5

2

答案第10页，总23页

【分析】

设AE=x,根据折叠的性质和矩形的性质得到DE=DC=A8=x+l,证明

AEF~DEA，利用对应边成比例列式求出AE的长.

【详解】

解：设AE=x,则AB=x+l,

•••折叠，

:.BE=EF=1，ZBEC=AFEC,

•••四边形ABCD是矩形，

/.AB//CD,

:./BEC=/DCE,

：.NFEC=ADCE,

DE—DC—AB—x+1,

■:ACIDE,

二ZAFE=ZDAE=90°,

ZAEF=ZDEA,

AEF〜DEA,

AEEF

，即AE2-DE-EF，

DEEA

...f=（x+i）」，解得x=3E或匕立（舍去），

'，22

1+V5

•*.AE=

2

故答案是：1±且.

2

【点睛】

本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定.

19.化为y=3（x—l>+2,开口方向：向上；对称轴：直线x=l；顶点坐标：P（L2）

【分析】

先利用配方法把一般式化成顶点式，再利用二次函数的性质得到图像的开口方向、对称轴和

顶点坐标.

答案第11页，总23页

【详解】

解：产3X2-6X+5=3(X2-2X+1)+2=3(x-1)2+2,...抛物线开口向上，对称轴为直线k1,

顶点P(1,2).

【点睛】

本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是

解题的关键.

159

20.(1)CD=—；(2)

22

【分析】

(1)利用线段的和差关系可求出CE的长，由AB//CD可得△ABEs^DCE,根据相似三

角形的性质即可得答案；

BEAB

(2)由AB、BE、BC的长可得——=—,即可证明△ABEs/\CBA,根据相似三角形的

ABBC

性质即可得答案.

【详解】

VBC=9,BE=4,

，CE=5,

VAB//CD,

.,.△ABE^ADCE,

.BEAB.4_6

••-，即-=，

CECD5CD

解得：CD=—.

2

(2)-：AB^6,BE=4,BC=9,

.BEAB2

・•---=----=一,

ABBC3

VZB为4ABECBA的公共角，

.,.△ABE^ACBA,

.ACBCpnAC_9

AEAB36

9

解得:AC=一.

2

【点睛】

答案第12页，总23页

本题考查相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与

原三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形

相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

21.(1)6；(2)—.

6

【分析】

3

(1)设AC=3x,根据sin/A8C=j,可求出4B长度，再根据勾股定理可求出BC长度,

2

即可得到C。长，最后由tan/ZMC=§,可解出x的值.即得到4C长.

3

(2)作小，出于点E,由sin/ABC=j,可求出力E长，再由勾股定理可求出BE,继

而得到AE长，即可求出cotZBAD.

【详解】

(1)设AC=3x,

Ar3即包=3

根据题意sinZABC=——=-,

AB5AB5

•\AB=5x.

♦：ZC=90°，

二BC=4AB2-AC2=J(5x)2-(3x)2=©,

C£>=BC-4=4x-4,

CD24x-4_2

tanADAC=—=一，即

AC33x3

解得x=2,

经检验产2,是该分式方程的解.

，AC=3x2=6.

(2)如图，作于点E,

DE3DE3

,/sinZABC=—=-,H即n---=—

BD545

T

<•,BE=《BD?-DE?由(1)知AB=5x=5x2=10.

答案第13页，总23页

AE=AB-BE=W——=—,

55

34

AEJ_1Z

/.cot/BAD=

~DE12-6

5

【点睛】

本题考查三角函数综合，勾股定理的知识.理解三角函数的定义和作出辅助线是解题关键.

22.(1)25米；(2)23米

【分析】

(1)斜坡DE的坡度i=l:2.4,推得EH：HD=1：2.4,在RtAEHD中，由勾股定理

EH2+(2.4EH)2=652,求出EH即可；

(2)过E作EF1AC于F,得四边形EFCH为矩形,利用矩形性质得CF=EH=25米,EF=HC=

120米，在RSEFA中，利用AF=EFxtanNAEF求得AF长，再根据AB=AF+FC-BC进行

计算即可.

【详解】

(1)•••斜坡DE的坡度i=1:2.4,

AEH：HD=1：2.4,

，HD=2.4HE,

在RtAEHD中，由勾股定理EH2+HD2=ED2即EH2+(2.4EH)2=652,

•••2.62EH2=652,

答案第14页，总23页

，EH=25米；

(2)过E作EF_LAC于F,

则四边形EFCH为矩形，

CF=EH=25米，DH=2.4EH=60米，

EF=HC=HD+DC=60+60=120米，

•••在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37。，

:.ZAEF=37°,

在RtAEFA中，

AF=EFxtanZAEF=120x0.75=90米，

AB=AF+FC-BC=90+25-92=23米.

【点睛】

本题考查解直角三角形问题，掌握坡比定义，仰角定义，锐角三角函数，矩形的性质，注意

坡比，仰角，锐角三角函数都在直角三角形中使用.

23.(1)见解析；(2)见解析

【分析】

(1)根据。£2=。足8。得空=些，再由/5。£=/。£：。，可以证明，8。七CED,

EDCE

即可得到结论；

(2)根据平行四边形的性质结合(1)的结论，证明=即可证明

[EBFABE，就能得到结论.

【详解】

解：(1)：。炉=。£8。，

答案第15页，总23页

.CEBC

•.=,

EDCE

•••四边形ABCD是平行四边形，

?.AD//BC,

，ZBCE=ZCED,

,fBCECED,

，NEBC=/DCE；

(2)；四边形ABCD是平行四边形，

，ADIIBC,

ZAEB=NEBC，

■:NEBC=NDCE,

：.?AEB?DCE,

ABI/CD,

NBFE=ZDCE,

:•ZBFE=ZAEB，

,//EBF=ZABE,

:.TEBFABE，

.EFBF

••=f

AEBE

BEEF^BFAE.

【点睛】

本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定.

21(4

24.(1)y=-x2--x-2；(2)-2,-②呜。),0件。)

【分析】

(1)把A、B两点的坐标代入解析式，解二元一次方程组即可；

PD2

(2)①根据——=一，求出P点纵坐标，代入解析式即可；

DC3

②延长CB交x轴于的E,连接EP,则E点坐标为(-2,0),PEJ_x轴，当Q点在点A右侧

时，ACEP丝Z\CAQ,AQ=PE,可求Q点坐标，当Q点在点A左侧时，过A作AMLx轴，

交AQ于点M,△CEP^ACAM,AM=PE,可求Q点坐标.

【详解】

答案第16页，总23页

解：（1）把A（2,0）、8（—1,—1）代入y=0^+0无一2得

4a+2。-2=0

a-b-2=-l

解得，

,2

Q=一

3

I3

二抛物线的解析式为y=gV-；%-2

(2)①过点P作PFJ_x轴，垂足为F,易知APEDs/xcOD,

PDPF_2

~DC~~0C~3

V0C=2,

4

二PF=-,

3

4?1

把,=一代入y=_/——x_2得，

3-33

42,1.

—=—x——x-2,

333

解得内=_2,々，

•.•点P在第二象限，

x=-2，

4

・・・P点坐标为P(—2,§),

②如图，当点Q在点A右侧，延长CB交x轴于的E,连接EP,

答案第17页，总23页

VC(0,-2),B(-1,-1)

...直线BC的解析式为y=-x-2,.空点坐标为(-2,0),

.♦.△ACE是等腰直角三角形，

AC=CE,ZCAE=ZCEA=45°,

4

...PELx轴，

.,.ZCEP=ZCAQ=I35°

又；NPCB=/ACQ

/.△CEP^CAQ

4

，AQ=PE=—

••.Q点坐标为

如图，当点Q在点A右侧，延长CB交x轴于的E,连接EP,过点A作AM垂直于x轴,

直线CQ于点M,同理可证，ACEP咨ZXCAM,

4

；.AM=PE=一,

3

4

VM(2,-),C(0,-2)

直线CM的解析式为y=|x-2,

；.Q点坐标为。2G，°)

10、

故Q点坐标为2三,0或。2

37

答案第18页，总23页

y

【点睛】

本题考查了用待定系数法求抛物线解析式和一次函数解析式、相似三角形的性质、全等三角

形的形的性质，注意图形与坐标之间的联系，巧妙的依据已知条件构建全等三角形是解题关

键

25.(1)10；(2)—y/5；(3)—>/5或—\[5.

2511

【分析】

(1)如图作交BC于点从设BH=x,根据正切可求出A4=2x,再根据勾股定理

解出x即可.

(2)作DE〃8C交4C于点E,利用三角形面积公式可求出8尸的长，再利用勾股定理可

求出CF,从而得到AE.再利用ADEABC和DEFGC尸结合边的等量关系得

到两个关于未知边的方程组，解出方程组即可.

(3)根据题意可证明NC=NDQE,所以分两种情况讨论①当DQ=DF时，如图，作

DPLBF交BF于点、P,BE=x,再反复利用正切函数结合勾股定理求出x的值，最后再

利用正切函数即可求出BD的长②当DF=QF时，如图，作F0，。。交。。于点。，同理

设=解出x的值，最后再利用正切函数即可求出BD的长.

【详解】

(1)如图作AH，8C交BC于点儿设BH=x,

AH

根据题意，tanZABC=——=2,

BH

'.AH=2x,

在RtA3”中，AB2AH2+BH2>

答案第19页，总23页

2

(575)=(2X)2+X2

解得x=5.

：.BH=5.

又丁ABC是等腰三角形，即”点为8C中点,

：.BC=2BH=\0.

(2)根据题意可知SABC=gxA"x3C=；xAC,EP10x10=BFx5y[5，

，BF=4x/5,

二CF=yjBC2-BF2=Jl()2-(4石y=?也,AF=AC-