四川省彭山一中2020-2021学年高二上学期10月月考数学（理）试卷

彭山一中20202021学年高二上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形面，这个几何体不可能是()A．棱锥 B．圆锥 C．圆柱 D．正方体2下列说法正确的是()垂直于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条平面的两条直线平行 C．平行于同一个平面的两条直线平行 D．平行于同一个直线的两个平面平行3.已知过点的直线的斜率为,则()A.10 B.180 C. D.4.已知水平放置的按"斜二测画法"得到如图所示的直观图,其中,那么是一个()A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.钝角三角形5.如图甲，将一个正三棱柱ABC－DEF截去一个三棱锥A－BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是()6.在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()7.设是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题:①若,则为异面直线;②若,则;③若,则;④若,则.则上述命题中真命题的序号为()A.①② B.③④ C.②③ D.②④8.直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是()A．－1＜k＜eq\f(1,5)B．k＞eq\f(1,2)或k＜－1C．k＞eq\f(1,5)或k＜1 D．k＞1或k＜eq\f(1,2)9.在正三棱柱中,侧棱长为,底面三角形的边长为1,则与侧面所成角的大小为()A. B. C. D.10.已知为球的球面上的三个点，圆O1为的外接圆，若圆O1的面积为，，则球的表面积为()A. B. C. D.11.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（）A. B. C. D.12.如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．下列说法错误的是（）A.存在点，使得平面；B.对于任意的点，平面平面；C.存在点，使得平面；D.对于任意的点，四棱锥的体积均不变．二、填空题（每题5分，共20分）13.已知三点A（2，3）、B（1,2)、C（5，m)共线，则m=________.14已知直线l经过点A.且它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线l的斜截式方程为．15.如图所示，扇形的中心角为90°，弦AB将扇形分成两个部分,这两部分各以AO为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体体积和之比为__________.16.如图，矩形中，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，则在折起过程中，下列说法正确的是。①．始终有平面=2\*GB3②．存在某个位置，使得A1E平面A1DC=3\*GB3③．异面直线与所成角的大小与点A1的位置有关=4\*GB3④．点在某个球面上运动三、解答题.（共70分，写出必要的解题步骤和文字说明）(10分）如图，在中，点A（3，0），点C（1，3）．（1）求AB所在直线的方程；（2）过点C做CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．（12分）如图,已知圆锥的顶点为,底面圆心为,半轻为.（1）设圆锥的母线长为,求圆锥的体积;（2）设是底面半径,且,为线段的中点,求异面直线与所成角的余弦值。（12分）已知直线l过点(1,4)，且在x、y轴上的截距依次为a和b,若a与b互为相反数,求直线的l方程;若a>0,b>0,当a+b取得最小值时,求直线l的方程。20.（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))所在平面垂直，M是eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))上的点．AB=4，BC=3，∠MDC=30°。①证明：平面AMD⊥平面BMC；②求直线AM与面ABCD所成角的正切值。21.（12分）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2eq\r(17).点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积。（12分）如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝eq\f(π,3)，AB＝1，CD＝3，M为PC上一点，且MC＝2PM.(1)证明：BM∥平面PAD；(2)若AD＝2，PD＝3，求点D到平面PBC的距离。（3）在（2）的条件下，求二面角M—BD—C的正切值。彭山一中高2022届高二（上）10月月考数学（理科）参考答案一选择题题号123456789101112答案CBDACACBADBC填空题13.4 14. 15. 16.①④17.(1)y=3x9 (2)x+3y10=018.答案：（1）记圆锥底面半径为R,联结,则底面,为圆锥的高,记其长度为h,∴;根据题意,∴在中,;圆锥底面积故圆锥体积

（2）取中点N,并连接根据中位线定理,且(),故异面直线与所成角的大小,即为与所成角的大小又N为中点,故ON=1;而故在等腰中算得:、故在中故异面直线PM与OB所成角的余弦值为19.解：（1）若a=0,b=0，则可设，，此时，若，则可设，从而有，此时，综上，直线。，当且仅当，由20.①证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.②过点M作ME⊥CD,垂足为E，连接AE，则由平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD知ME⊥平面ABCD，从而直线AM与面ABCD所成角为。由题可知，CM=2，ME=。过点E作EF⊥AB于F点，则AE=在RT中，直线AM与面ABCD所成角的正切值为。21.解(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD.从而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4.从而KB＝eq\f(1,4)DB＝eq\f(1,2)OB，即K为OB的中点．再由PO∥GK，得GK＝eq\f(1,2)PO.即G是PB的中点，且GH＝eq\f(1,2)BC＝4.由已知可得OB＝4eq\r(2)，PO＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(68－32)＝6，所以GK＝3.故四边形GEFH的面积S＝eq\f(GH＋EF,2)·GK＝eq\f(4＋8,2)×3＝18.22.答案(1)证明：如上图，过点M作ME∥CD，交PD于点E，连接AE.因为AB∥CD，故AB∥EM.又因为MC＝2PM，CD＝3，且△PEM∽△PDC，故eq\f(EM,DC)＝eq\f(PM,PC)＝eq\f(1,3)，解得EM＝1.由已知AB＝1，得EM綊AB，故四边形ABME为平行四边形，因此BM∥AE，又AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD，所以BM∥平面PAD.(2)连接BD，由已知AD＝2，AB＝1，∠BAD＝eq\f(π,3)，可得DB2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠BAD＝3，即DB＝eq\r(3).因为DB2＋AB2＝AD2，故△ABD为直角三角形，且∠ABD＝eq\f(π,2).因为AB∥CD，故∠BDC＝∠ABD＝eq\f(π,2).因为DC＝3，故BC＝eq\r(DC2＋DB2)＝2eq\r(3).由PD⊥底面ABCD，得PD⊥DB，PD⊥DC，故PB＝eq\r(PD2＋DB2)＝2eq\r(3)，PC＝eq\r(PD2＋DC2)＝3eq\r(2)，则BC＝PB，故△PBC为等腰三角形，其面积为S△PBC＝eq\f(1,2)·PC·eq\r(BC2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PC))2)＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×eq\r(12－\f(9,2))＝eq\f(3\r(15),2).设点D到平面PBC的距离为h，则三V三棱锥D－PBC＝eq\f(1,3)·S△PBC·h＝eq\f(\r(15),2)h.而直角三角形BDC的面积为S△BDC＝eq\f(1,2)·DC·DB＝eq\f(1,2)×3×eq\r(3)＝eq\f(3\r