江苏省泰州市兴化市2022-2023学年九年级下册第四次月考数学试卷【解析版】

江苏省泰州市兴化市2022-2023学年九年级下册第四次月考数学试卷一、填空题（本大题共5小题，共25.0分）1．如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO=5，BO=2，∠AOD=120°，则阴影部分面积为．【答案】7π2．在一个不透明的袋子中有5个除颜色外完全相同的小球，其中绿球2个，红球3个，摸出一个球不放回，混合均匀后再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是.【答案】33．我国古代数学名著《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱.问梨果各几何？”意思是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个，问梨果各买了多少个？如果设梨买x个，果买y个，那么可列方程组为．【答案】x+y=10004．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD、四边形EFGD和四边形EAIH都是正方形.如果图中△EMH与△DMI的面积比为169，那么tan∠GDC的值为【答案】45．由直线y=kx+2k−1和直线y=(k+1)x+2k+1(k是正整数)与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是【答案】7二、解答题（本大题共7小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）6．墨迹覆盖了等式“⋅x2−3xx2−6x+9【答案】解：设这个被墨迹覆盖的代数式为A，由题意得：A=(===5∴这个被墨迹覆盖的代数式为5x．7．用代数推理的方法证明下列两个结论：（1）设abcd是一个四位数，若a+b+c+d可以被3整除，则这个数可以被3整除．（2）已知函数y=x2.求证：当x>0时，y【答案】（1）证明：abcd=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)，若a+b+c+d可以被3整除，显然这个数可以被3整除．（2）解：设y1y1当x1>x∴y∴y∴当x>0时，y随x的增大而增大．8．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长C数值和面积S数值相等，则称这个点为“等值点”.例如：点A(3，6)，因为C=(3+6)×2=18，S=3×6=18，所以（1）若点E为双曲线y=4x(x>0)上任意一点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2（2）在第一象限内，若一次函数y=−x+b的图象上有两个“等值点”，求b的取值范围．【答案】（1）证明：设E(m，4m)，m>0，向右平移2个单位得(m+2，则C=(m+2+4m+2)×2=2m+所以点F为“等值点”．（2）解：由题意知，b>0，设A(a，−a+b)是则C=2×(a−a+b)=2b，S=a(−a+b)，所以2b=a(−a+b)，即关于a的方程a2∴Δ=b∵b>0，∴b>8，所以b的取值范围是b>8．9．如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM=30°，折射角∠DBN=22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角∠ACM'=60°，折射角∠ECN'=40.5°.DE//BC，MN、M'N'为法线.入射光线AB、AC和折射光线BD（1）求BC的长；(结果保留根号)（2）如果DE=8.72米，求水池的深.(参考数据：2取1.41，3取1.73，sin22°取0.37，cos22°取0.93，tan22°取0.4【答案】（1）解：作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，则AF//∴∠ABM=∠BAF，∠ACM'∵∠ABM=30°，∠ACM'∴∠BAF=30°，∠CAF=60°，∵AF=6米，∴BF=AF⋅tan30°=6×33=23(米)∴BC=CF−BF=63−23即BC的长为43（2）解：设水池的深为x米，则BN=CN'由题意可知：∠DBN=22°，∠ECN'∴DN=BN⋅tan22°≈0.4x(米)，N∵DN+DE=BC+N'∴0.解得x≈4，即水池的深约为4米．10．如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，EG切⊙O于点E，交射线CB的延长线于点G.点A在直线CE上，∠ABG=2∠ACG（1）用尺规作出点A(要求：不写作法，保留作图痕迹)（2）连接AB，直线AB与GE相交于点F，GF=42，GB=6①求⊙O的半径；②连接CF，CF平分∠ACG吗？为什么？【答案】（1）解：如图，以B为圆心BC为半径作弧，交直线CE于点A，点A即为所求，（2）解：如图，连接OE，∵EG是⊙O的切线，∴OE⊥GE，∵AB=BC，∴∠ABG=2∠ACG，∵OE=OC，∴∠EOG=2∠ECO，∴OE//∴BF⊥FG，在Rt△GFB中，GF=42，GB=6∴FB=2，∴△△GFB∽△GEO，∴FB：OE=GB：GO，设半径为r，则2：r=6：(6+r)，解得r=3；②CF不平分∠ACG，理由如下：连接CF，BE，OE，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，∵GF=42，GB=6，OE=3，FB=2∴AB=BC=6，∴AF=AB−FB=4，∵OE//∴△GFB∽△GEO，∴EF：GF=OB：BG=3：6，∴EF=在Rt△EFB中，BE=23在Rt△EBC中，EC=26∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE=46设F到AC距离为a，到GC的距离为b，∴S△AFC：S△BFC=1∴a若CF平分∠ACG，则a=b，∴CF不平分∠ACG．11．如图1，抛物线y=ax2+bx−3(a>0)交x轴于点A，B(点A在点B左侧)，交y（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，直线AD交BC于点P，连接AC，BD，若△ACP和△BDP的面积分别为S1和S2，当S1（3）如图2，直线BD交抛物线的对称轴于点N，过点B作AD的平行线交抛物线的对称轴于点M，当点D运动时，线段MN的长度是否会改变？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．【答案】（1）解：由二次函数y=ax令x=0，则y=−3，∴C(0，又∵OB=OC=3OA，∴A(−1，0)，y=a(x+1)(x−3)=a(即−3a=−3，解得：a=1∴y=x（2）解：由题意得：S1∵S∴当S△ABD达到最大值时，S即点D为抛物线的顶点(1，−4)时，又∵A(−1，设直线AD的表达式为：y=k(x+1)，将点D的坐标代入上式并解得：k=−2，∴直线AD的表达式为：y=−2x−2；（3）解：不变，理由：∵A(−1，0)，B(3，设lAD：y=kx+k，lBM：y=kx−3k，lBD则M(1，−2k)，将直线AD，BD与抛物线y=x2−2x−3又∵x∴x同理xD即k+3=m−1，∴k−m=−4，则MN=y12．如图1，在正方形ABCD中，P是边BC上的动点，E在△ABP的外接圆上，且位于正方形ABCD的内部，EA=EP，连结AE，EP．（1）求证：△PAE是等腰直角三角形；（2）如图2，连结DE，过点E作EF⊥BC于点F，请探究线段DE与PF的数量关系，并说明理由；（3）当点P是BC的中点时，DE=4．①求BC的长；②若点Q是△ABP外接圆上的动点，且位于正方形ABCD的外部，连结AQ.当∠PAQ与△ADE的一个内角相等时，求所有满足条件的AQ【答案】（1）证明：如图1，∵点E在△ABP的外接圆上，∴∠AEP+∠A=180°，∴∠AEP=90°，∴∠EAP+∠EPA=90°．∵EA∴∠EAP=∠EPA=45°，∴△PAE是等腰直角三角形；（2）解：解：结论：DE=2理由：如图2，延长FE交AD于点H，∵EF⊥BC，BC//∴EH⊥AD，即∠AHE=∠EFP=90°，∴∠EAH+∠AEH=90°，∵∠AEP=90°，∴∠PEF+∠AEH=90°，∴∠EAH=∠PEF，又∵△PAE是等腰直角三角形，∴EA=EP，∴△EAH≌△PEF(AAS)，∴AH=EF，EH=PF，∵AD=DC=HF，∴AH+HD=EF+HE，∴HD=HE=PF，∴DE=2（3）解：解：①由(2)知DE=2∵DE=4，∴PF=22∵P是BC的中点，∴BC=2PC=82②∵tan∠EAD=1∴∠EAD