上海市重点学校2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷含答案

上海重点学校高三开学考数学试卷一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知集合，则__________.2.抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为__________.3.复数满足（为虚数单位），则__________.4.若正数满足，则的最大值为__________.5.若圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为__________.6.已知，且，则__________.7.某学校拟开展研究性学习活动，现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导，若每个小组至少需要一名指导教师，且每位指导教师都恰好指导一个小组，则不同的指导方案数为__________.8.高三年级某8位同学的体重分别为（单位：），现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是__________.9.已知均为单位向量，且，则与的夹角为__________.10.已知曲线，点是曲线上任意两个不同点，若，则称两点心有灵犀，若始终心有灵犀，则的最小值的正切值__________.11.已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的两三项是，以此类推，则下列说法正确的是__________.①第10个1出现在第46项；②该数列的前55项的和是1012；③存在连续六项之和是3的倍数；④满足前项之和为2的整数幂，且的最小整数的值为44012.已知函数的最小值为0，则的值为__________.二､选择题（本大题共4题，满分20分）13.上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相同，取前10名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的（）A.平均数B.中位数C.众数D.方差14.将函数的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿轴向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（）A.B.C.D.15.如图，三棱柱满足棱长都相等，且平面是棱的中点，是棱上的动点，设，随着增大，平面与底面所成钝二面角的平面角是（）A.减小B.先减小再增大C.先增大再减小D.增大16.已知，函数在点处的切线均经过坐标原点，则（）A.B.C.D.三､解答题（本大题共有5题，满分76分）17.已知函数.（1）求函数的最小值和单调增区间；（2）设角为的三个内角，若，求.18.如图，在正三棱柱中，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.19.已知数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20.在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，设的面积为，内切圆半径为，当时，记顶点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）已知点在上，且直线与相交于点，记的斜率分别为.（i）设的中点为的中点为，证明：存在唯一常数，使得当时，；（ii）若，当最大时，求四边形的面积.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性：（2）设分别为的极大值点和极小值点，记，证明：直线与曲线交于另一点；（3）在（2）的条件下，判断是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.参考答案一､填空题1.2.3.4.25.6.27.368.9.10.211.①③④12.二､选择题13.B14.A15.C16.C三､解答题17.解（1），单调增区间（2），或，，且为锐角，，，.18.证：（1）连交于点为中点，且，为中点，且，且四边形是平行四边形，，又平面平面平面.（2）由（1）知为中点，所以，所以，又因为底面，而底面，所以，则由，得，而平面，且，所以面，又平面，所以平面平面.19.解：由①当时，，所以当时，②①②式相减得，即变形得又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，，则（2），可知数列是以为首项，为公差的等差数列，可知数列是以3为首项，-3为公比的等比数列，20.解：（1）由题意得，则，由椭圆定义可知，动点在以为焦点，且长轴长为4的椭圆上，又不能在直线上，的方程为：.（2）（i）（法一）设，易知直线的方程为，联立，得，，即，同理可得，，，欲使，则，即，存在唯一常数，使得当时，.（法二）设，易知的斜率不为零，否则与重合，欲使，则将在轴上，又为的中点，则轴，这与过矛盾，故，同理有，则，可得，易知，且，，即，同理可得，，欲使，则，存在唯一常数，使得当时，.（ii）由（i）易知，且，，即，同理可得，，，记，当且仅当，即时取等，由椭圆的对称性，不妨设此时，且直线和的夹角为，则，不难求得，此时，易知，且，四边形的面积为.21.（1）.令得或.当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减.（2）由（1）得.（i）直线的方程为，即.由得.设，则.令得.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.因为，所以有且仅有2个零点，其中.这表明方程的解集