江西省抚州市2022-2023学年八年级下学期3月质量检测数学试卷(含解析)

抚州一中2022-2023学年度八年级下学期第一次质量检测数学试卷一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.下列式子①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B解析：解：题目中是一元一次不等式的有：；，共两个，故选：B．2.如果a＞b，那么下列各式一定正确的是()A.a2＞b2 B.＜ C.－2a＜－2b D.a－1＜b－1【答案】C解析：试题解析：A、两边相乘的数不同，错误；B、不等式两边都除以2，不等号的方向不变，错误；C、不等式两边都乘-2，不等号的方向改变，正确；D、不等式两边都减1，不等号的方向不变，错误；故选C．3.如果关于x的不等式的解集是，那么a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D解析：解：∵关于x的不等式的解集是，∴，∴．故选：D．4.等腰三角形的周长为8，若其中一条边长为2，那么它的底边长为（）A.3 B.2 C.4 D.4或3【答案】B解析：解：当2为等腰三角形的底边长时，腰长为：，则等腰三角形的三边长分别为：2、3、3，且，则能构成三角形；当2为等腰三角形的腰长时，底边为：，则等腰三角形的三边长分别为：2、2、4，且，则不能构成三角形；综上所述，底边长为2，故选：B．5.如图，在中，，，的面积是，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C解析：解：连接，，∵是等腰三角形，点是边的中点，∴，∴，解得，∵是线段的垂直平分线，∴点关于直线的对称点为点，∴，∵，∴的长为的最小值，∴的周长最短．故选：．6.如图，在中，，，平分交于E，于D．下列结论：①；②点E在线段的垂互平分线上；③；④．其中正确的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D解析：解：∵，，∴，，∵平分，∴，∴，∴，∴，故①正确；∵，∴点E在线段的垂直平分线上，故②正确；∵，，∴，∵，∴，∴，故③正确；∵，，∴，∵，，∴，∴，故④正确；综上，正确的个数为4个，故D正确．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.如图所示的不等式的解集是________．【答案】x≤2解析：解：由图得，x≤2.故答案为x≤2.8.不等式的正整数解的个数有____________个．【答案】6解析：解：，去括号，得：4x−4＜3x＋3，移项，得：4x−3x＜4＋3，合并同类项，得：x＜7，则正整数解是：1，2，3，4，5，6共6个．故答案为6．9.商家花费元购进某种水果千克，在运输和销售过程中有的水果受损耗．为了避免亏本，售价至少定为______元千克．【答案】解析：解：设商家把售价应该定为元千克，根据题意得：，解得，故为避免亏本，售价至少定为元千克．故答案为：10.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E，若，，的周长为，则的长为______．【答案】6解析：解：∵是的垂直平分线，∴，∵的周长为，∴，∴，∴，故答案为：6．11.如图，，平分，交于点D，，垂足为C．若，则的长为______．【答案】4解析：解：过点E作于点F，∵平分，，，，∴，∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，，∴，故答案为：4．12.已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则________．【答案】100°，70°，40°或者10°解析：第一种情况：BD=CD时，如图，∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，（1）当DA=DC时，∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，∴∠A=∠ACD=70°；（2）当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°，∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；（3）当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°；第二种情况：BC=CD时，如图，∵∠B=20°，BC=CD，∴∠B=∠BDC=20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；第三种情况：BC=BD时，如图，∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=∠BDC=80°，∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，故答案为：70°，100°，40°，10°．三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分）13.解下列不等式（1）（2）【答案】（1）（2）（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1步骤进行求解即可．解析：1.解：，移项，得：，系数化为1，得：；解析：2.解：，去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：．14如图，已知，，与相交于点，求证：．【答案】证明见解析详解】∵，∴（AAS），∴，∴．15.如图，在四边形中，∥,=2,为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹)（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；（2）在图2中，若BA=BD,画出△ABD的AD边上的高.【答案】(1)作图见解析；（2）作图见解析.解析：（1）如图AF是△ABD的BD边上的中线；（2）如图AH是△ABD的AD边上的高.16.已知不等式是关于x的一元一次不等式，则m的值为多少？并解这个一元一次不等式．【答案】，解析：解：∵不等式是关于x的一元一次不等式，∴，解得：，∴原不等式为，解得：．综上：，．17.已知关于的方程，（1）若该方程的解满足，求的取值范围；（2）若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值．【答案】（1）（2）解析：1.解：，解得：，∵该方程的解满足，∴，解得：；解析：2.解：去括号得：，移项合并同类项得：，解得：．∵该方程的解是不等式的最小整数解，∴，∴，解得：．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，．（1）填空：______．（2）若，则x的取值范围为______；（3）计算．【答案】（1）（2）（3）解析：1.解：∵，∴，故答案为：；解析：2.解：根据题意可得：∵，∴，解得：，故答案为：解析：3.解：∵，∴，∴．19.在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．（1）求证：；（2）若，求度数．【答案】（1）见解析（2）1.解析：证明：，，在和中，，；2.解析：解：中，，，，，，由（1）知，，．20.如图，在中，，F是中点，，D是中点，于点E．（1）求的长；（2）求出的长．【答案】（1）6（2）1.解析：解：∵，F是中点，∴，∵，根据勾股定理可得：；2.解析：连接，∵，F是中点，∴，∴，∵D是中点，∴，∵，∴，解得：．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.某商场上在销售A、B两种型号玩具，已知购买1个A型玩具和2个B型玩具共需180元；购买2个A型玩具和1个B型玩具共需240元．（1）求一个A型玩具和一个B型玩具的价格各是多少元？（2）小明同学准备购买这两种型号的玩具共12个送给幼儿园，且购买金额不能超过600元，请你帮小明设计购买方案？（3）在（2）的前提下，若要求A、B两种型号玩具都要购买，且费用最少，请你选择一种最佳的设计方案，并通过计算说明．【答案】（1）一个A型玩具的价格是元，一个B型玩具的价格是元（2）方案1：购买A型玩具个，B型玩具12个；方案2：购买A型玩具个，B型玩具11个；方案3：购买A型玩具个，B型玩具10个（3）方案2，购买A型玩具个，B型玩具个1.解析：解：设一个A型玩具价格为x元，一个B型玩具的价格为y元，则根据题意，得，解得，即一个A型玩具的价格是元，一个B型玩具的价格是元；2.解析：解：设购买A型玩具个，B型玩具个，则根据题意，得，解得，为非负整数，或或，购买方案有三种，分别是：方案1：购买A型玩具个，B型玩具12个，方案2：购买A型玩具个，B型玩具11个，方案3：购买A型玩具个，B型玩具10个；3.解析：解：应选择方案2，购买A型玩具个，B型玩具个．理由如下：方案2需费用为：（元），方案3需费用为：（元），，方案2购买A型玩具个，B型玩具个费用最少．22.如图，OF是的平分线，点A在射线上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．（1）如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．（2）如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．【答案】（1），理由见解析（2）存在，理由见解析1.解析：解：理由如下：连接BQ∵BC垂直平分OQ∴∴∵OF平分∴∴∵∴∴；2.解析：存在，理由：如图，连接，∵垂直平分，∴，在和中，∴（）∴，∵平分，，∴，∴，∴，在△AOB和△PQB中，∴（），∴．六、解答题（本大题共1小题，共12分）23.数学课上，李老师出示了如下的题目．在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图．试确定线段与的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论．当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：____（填“”，“”或“”）．（2）特例启发，解答题目．解：题目中，与的大小关系是：________（填“”，“”或“”）．理由如下：如图，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题．在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为，，求的长（请你直接写出结果）．【答案】（1）（2），过程见解析（3）的长为或1.解析：解：∵是等边三角形，点是的中点，∴，，∵，∴，∵，∴，∴；故答案为：2.解析：解：与的大小关系是：，理由如下：如图，过点作，交于点，∵是等边三角形，又∵，∴，，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，即．∵，∴．∵，，∴．在和中，，∴，∴，∴；故答案为：3.解析：解：①如图，