第12章知识资料动力反应分析-叠加法

第十二章高等结构动力学动力反应分析—叠加法§12.1正规坐标§12.2非耦合的运动方程：无阻尼§12.3非耦合的运动方程：粘滞阻尼§12.4

用振型位移叠加法进行反应分析§12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立§12.6采用耦合运动方程的反应分析§12.7时域和频域传递函数之间的关系§12.8求解耦合运动方程的使用方法§12.9生成传递函数的插值方法第十二章动力反应分析——叠加法§12.1正规坐标如图所示悬臂柱,其挠度曲线用三个水平的平移坐标来确定.§12.1正规坐标

图12-1用振型分量的和表示挠度§12.1正规坐标结构任何一点的位移向量都可以用叠加三个振型相应的幅值求得.任何振型分量的位移表示为(12-1)然后用振型分量的和得到总位移(展开定理)或者用矩阵符号

(12-2)这些振型幅值的广义坐标Y叫做结构的正规坐标.

(12-3)§12.1正规坐标正规坐标求解由此

(12-5)

(12-4)

(12-6)

n=1，2，…，N

§12.1正规坐标如果向量是随时间变化的，那么也随时间变化，这种情况下，对式（12-6）取时间导数，可得

(12-7)

§12.2

非耦合的运动方程:无阻尼引入(12-3)和它对时间的二阶导数,导出无阻尼体系运动方程为:

(12-8)

(12-9)§12.2非耦合的运动方程:无阻尼§12.2

非耦合的运动方程:无阻尼

(12-10)

(12-11)定义新的符号如下(12-12a)(12-12b)

(12-12c)§12.2

非耦合的运动方程:无阻尼简化以后得积分以后得

(12-13)

(12-12d)§12.3

非耦合的运动方程:粘滞阻尼有阻尼体系运动方程为:

(12-14)引入(12-3)和它对时间的二阶导数§12.3非耦合的运动方程:粘滞阻尼§12.3

非耦合的运动方程:粘滞阻尼前面指出的正交条件使得在式(12-14)的质量和刚度除第n个振型项以外的其他为零.阻尼矩阵也能进行类似简化

(12-15)§12.3

非耦合的运动方程:粘滞阻尼式(12-14)可写为

(12-14a)(12-14b)

§12.3

非耦合的运动方程:粘滞阻尼其中

(12-15*)使Rayleigh指出如下形式的阻尼矩阵

(12-16*)§12.3

非耦合的运动方程:粘滞阻尼其中和是任意的比例,满足正交化条件,正交的阻尼矩阵一般具有如下的形式:式(12-15*)给出了第n振型的广义阻尼

(12-18*)(12-17*)若c由(12-17*)给出,由第b项对广义阻尼的贡献为§12.3

非耦合的运动方程:粘滞阻尼使由(11-39)得,

(12-19*)(12-20*)(12-21*)§12.3

非耦合的运动方程:粘滞阻尼与任一个振型n对应的广义阻尼为

(12-23*)由此得

(12-22*)§12.3

非耦合的运动方程:粘滞阻尼例如给出三个指定的阻尼比求系数值,由上式得用符号写出对应的关系式:

(12-25*)

(12-24*)(12-26*)§12.3

非耦合的运动方程:粘滞阻尼求阻尼矩阵的方法二：(12-27*)

(12-28*)§12.3

非耦合的运动方程:粘滞阻尼求阻尼矩阵的方法三：(12-29*)

(12-30*)(12-31*)(12-32*)§12.3

非耦合的运动方程:粘滞阻尼上式中的三个对角矩阵的乘积为对角矩阵，其元素为：则(12-32*)可写成

(12-34*)

(12-33*)§12.3

非耦合的运动方程:粘滞阻尼

(12-36*)列出每一个振型阻尼比在阻尼矩阵中具有的独立作用，即：

(12-35*)则按各振型作用的总和得到总阻尼矩阵§12.3

非耦合的运动方程:粘滞阻尼将(12-33*)代入可写成

(12-37*)§12.4

用振型位移叠加法进行反应分析振型叠加法的解题步骤：第一步：运动方程§12.4用振型位移叠加法进行反应分析§12.4

用振型位移叠加法进行反应分析由此确定振型矩阵和频率向量。第二步：振型频率分析对于无阻尼自由振动，方程归结为特征值问题§12.4

用振型位移叠加法进行反应分析

(12-38*)

第三步：广义质量和荷载依次取每一个，计算每一个广义质量和荷载。第四步：非耦合的运动方程§12.4

用振型位移叠加法进行反应分析

第五步：对荷载的振型反应对第四步的结果进行Duhamel积分。

(12-39*)

第六步：振型自由振动假如初速度和初始位移不为零，则需将每一个振型的自由振动反应加Duhamel积分中。则有

(12-40*)§12.4

用振型位移叠加法进行反应分析这里和分别是初始的振型位移和速度。它们由原始几何坐标表示的初位移和初速度求得。对每一个振型分量有

(12-41*)

(12-42*)§12.4

用振型位移叠加法进行反应分析第七步：在几何坐标中的位移反应通过正规坐标变换给出用几何坐标表示的位移也可以写成

第八步：弹性力反应抵抗结构变形的弹性力由式（10-6）直接给出。§12.4

用振型位移叠加法进行反应分析