分式及应用的核心知识点精讲-备战2024年中考数学一轮复习考点（全国通用）

专题06分式及应用的核心学问点精讲2.娴熟把握分式的基本性质，会进行分代数恒等变形力量.3.能解决一些与分式有关的实际问题，具有肯定的分析问题、解决问题的力量和应用意识.【题型1:分式方程及其解法】【典例1】(2023·凉山州)解方程：即时检测1.(2023·山西)解方程：2.(2023·陕西)解方程：3.(2022·眉山)解方程：4.(2022·西宁)解方程：典例引领【题型2:分式方程的应用】【典例2】(2023·通辽)某搬运公司方案购买A,B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相(1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨?(2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司方案选购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请挂念公司求出最省钱的选购方案.1.(2023·长春)随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展.敦煌争辩院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”,受到宽敞敦煌文化爱好者的好评.某工厂方案制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原方案的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原方案平均每天制作多少个摆件?2.(2023·宁夏)“人间烟火味，最抚凡人心”,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.(1)求两种型号玩具的单价各是多少元?甲：解得x=5,经检验x=5是原方程的解.乙：解得x=65,经检验x=65是原方程的解.则甲所列方程中的x表示,乙所列方程中的x表示(2)该经营者预备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多3.(2023·黑龙江)2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉放射中心放射升空.某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相(2)已知毕业班的同学一共有300人，学校方案用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有(2)中的全部购买方案所需资金恰好相同，试求m值.4.(2023·泸州)端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际，某商场猜测A粽子能够畅销.依据猜测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.依据以上信息，解答下列问题：(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元?(2)假如该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并依据节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大?最大利润是多少?典例引领【题型3:与分式方程的解有关的问题】【典例3】(2023·黑龙江)已知关于x的分式方-的解是非负数.则m的取值范围是()A.m≤2B.m≥2C.m≤2且m≠-2D.m<2且m≠-21.(2023·齐齐哈尔)假如关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是()A.m<-1B.m>-1且m≠02.(2023·淄博)已知x=1是方程.解，那么实数m的值为()A.-2B.23.(2023·巴中)关于x的分式方程有增根，则m=_.基础过关1.(2023秋·乐亭县期中)解方秸去分母，两边同乘(x-1)后的式子为()A.1-2=-3xBC.1-2(1-x)=-3xD.1-2(x-1)=3x2.(2023秋·株洲期中)分式方程的解是()A.x=-9B.x=-6C.x=5D.x3.(2022秋·朔城区期末)若关于x的分式方程无解，则n=()4.(2023秋·冷水滩区校级期中)2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八班级部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，其次次平均每秒撤离的人数比第一次的多15,结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为5.(2022秋·天河区校级期末)已知关于x的方程有增根，则a的值为()6.(2024·辽宁模拟)解分式方时，将方程两边都乘同一个整式.得到一个一元一次方程，这个整式是()A.xB.x-1C.x(7.(2022秋·五常市期末)若关于x的方程无解，则m的值为8.(2023秋·新田县期中)甲，乙，丙三管齐开，12分钟可以注满全池，乙，丙，丁三管齐开，15分钟可9.(2023秋·岱岳区期中)解方程：10.(2023秋·平南县期中)今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉利物，很快售完，第二次购进时，每个吉利物的进价提高了20%,同样用3000元购进的数量比第一次少了10个.(1)求第一次购进的每个吉利物的进价为多少元?(2)若两次购进的吉利物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉利物的总利润为多少元?11.(2023秋·南县期中)《非机动车管理方法》规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴平安头盔.某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发觉供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，其次批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元.第一批头盔进货单价多少元?12.(2023秋·兴宾区期中)某公司接到制作15000件冰墩墩的订单，为了尽快完成任务，该公司实际每天制作冰墩墩的件数是原方案每天制作件数的1.5倍，结果提前10天完成任务.(1)求原方案每天制作多少件冰墩墩?(2)该公司原方案每天支付给工人的总工资是1000元，实际每天支付给工人的总工资比原方案增长了20%,完成任务后，该公司实际支付的工资与原方案相比多还是少?多或者少的具体数额是多少?能力提升1.(2023秋·大渡口区校级期中)若关于x的方程.有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的全部整数a的和为2.(2023秋·祁阳县期中)a为何值时，关于x的方程.无解?3.(2023·新化县模拟)某工厂对零件进行检测，引进了检测机器.已知一台检测机的工作效率相当于一名检测员的20倍.若用这台检测机检测900个零件要比15名检测员检测这些零件少3小时.(1)求一台零件检测机每小时检测零件多少个?(2)现有一项零件检测任务，要求不超过7小时检测完成3450个零件.该厂调配了2台检测机和30名检测员，工作3小时后又调配了一些检测机进行支援，则该厂至少再调配几台检测机才能完成任务?4.(2022秋·代县期末)为缓解忻州至太原段的交通压力，促进两市经济进展.山西省委打算修建“太忻大道”,现“太忻大道”正在建设中.甲、乙两个工程队方案参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程.(1)若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程?(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?5.(2023·兴庆区校级模拟)宁夏中宁县素有“枸杞之乡”的美誉，某商场从中宁县枸杞批发市场购进甲、乙两种不同价位的枸杞，甲种枸杞共用了2000元，乙种枸杞共用了2400元.已知乙种枸杞每千克进价比甲种枸杞每千克进价多8元，且购进的甲、乙两种枸杞的数量相同.(1)求甲、乙两种枸杞每千克的进价.(2)该商场将购进的甲、乙两种枸杞进行销售，甲种枸杞的销售单价为60元，乙种枸杞的销售单价为88元.销售过程中发觉甲种枸杞销量不好，商场打算：甲种枸杞销售肯定数量后按原销售单价的七折销售；乙种枸杞销售单价不变，要使两种枸杞全部售完共获利不少于2460元，问甲种枸杞按原销售单价至6.(2022·南岗区校级一模)某中学为了创建书香校内，去年购买了一批图书.其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等.(1)求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元?(2)若今年文学书的单价比去年提高了25%,故事书的单价与去年相同，这所中学今年方案再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本7.(2022春·大观区校级期末)已知，关于x的分式方(2)当a=1时，求b为何值时分式方君(3)若a=3b,且a、b为正整数，当分式方的解为整数时，求b的值.8.(2022春·宁波期末)我们把形如8.(2022春·宁波期末)我们把形如为“十字分式方程”.例如例如再如),∴n=-2,x=-4.应用上面的结论解答下列问题：(1)若为十字分式方程，则x=,x2=(2)若十字分式方程(3)若关于x的十字分式方稻的两个解分别为x₁,xz(k>0,xi>x₂),的值.真题感知1.(2023·海南)分式方程的解是()A.x=6B.x=-6C.x=52.(2023·大连)解方去分母，两边同乘(x-1)后的式子为()A.1+3=3x(1-x)B.1+3(x-1C.x-1+3=-3x3.(2023·淄博)为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态爱护和高质量进展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个班级同学到黄河岸边开展植树造林活动.已知初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，两个班级平均每小时共植树350棵.求初一班级平均每小时植树多少棵?设初一班级平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是()5.(2023·日照)若关于x且m≠06.(2023·重庆)若关于x的方程 的解为正数，则m的方程B的不等式的不等式的取值范围是()的解为正数，则全部满足条件的整数a的值之和为_.7.(2023·广西)解分式方程：8.(2023·连云港)解方9.(2022·河南)近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准(2022年版),将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来.某中学为了让同学体验农耕劳动，开拓了一处耕种园，需要选购一批菜苗开展种植活动.据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆.(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格.(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元.学校打算在菜苗基地购买A,B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对A,B两种菜苗均供应九折优待.求本次购买最少花费多少钱.专题06分式及应用的核心学问点精讲1.了解分式、分式方程的概念，进一步进展符号感.2.娴熟把握分式的基本性质，会进行分代数恒等变形力量.3.能解决一些与分式有关的实际问题，具有肯定的分析问题、解决问题的力量和应用意识.考点梳理典例引领【题型1:分式方程及其解法】【典例1】(2023·凉山州)解方程：将x=-1代入，使分母为0,1.(2023·山西)解方程：.【解答】解：由题意得最简公分母为2(x-1),2+2x-2=3.检验：),且原方程左边=右边.∴原方程的解为2.(2023·陕西)解方程：移项，合并同类项得：-15x=25,3.(2022·眉山)解方程：【答案】x=4.方程两边同乘(x-1)(2x+1)得：解这个整式方程得：∴x=4是原方程的解.4.(2022·西宁)解方程：【答案】x=7.【解答】解：方程两边同乘以x(x+1)(x-1)4(x-1)-3(x+1)=0.去括号得：移项，合并同类项得：x=7.∴x=7是原方程的根.【题型2:分式方程的应用】【典例2】(2023·通辽)某搬运公司方案购买A,B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相(1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨?(2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司方案选购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请挂念公司求出最省钱的选购方案.【答案】(1)每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；(2)购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元.【解答】解：(1)设每台A型机器每天搬运货物x吨，则每台B型机器每天搬运货物(x+10)吨，答：每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；(2)设购买A型机器m台，购买总金额为w万元，w=1.5m+2(30-m)=-0.5m∴购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元.1.(2023·长春)随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展.敦煌争辩院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”,受到宽敞敦煌文化爱好者的好评.某工厂方案制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原方案的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原方案平均【答案】200个摆件.解得x=200,答：原方案平均每天制作200个摆件.2.(2023·宁夏)“人间烟火味，最抚凡人心”,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.(1)求两种型号玩具的单价各是多少元?甲：解得x=5,经检验x=5是原方程的解.乙：解得x=65,经检验x=65是原方则甲所列方程中的x表示_,乙所列方程中的(2)该经营者预备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多(2)116个.【解答】解：(1)依据所列方程即可知，甲所列方程中的x表示B型玩具的单价；乙所列方程中的x表(2)设可购进A型玩具a个，则B型玩具(200-a)个，∴整数a最大值是116,答：最多可购进A型玩具116个3.(2023·黑龙江)2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉放射中心放射升空.某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元?(2)已知毕业班的同学一共有300人，学校方案用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有(2)中的全部购买方案所需资金恰好相同，试求m值.【答案】(1)A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；(2)共有6种购买方案；(3)m=5.【解答】解：(1)设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件(x+10)元，答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；(2)设购买y件A款文化衫，则购买(300-y)件B款文化衫，∴y可以为275,276,277,278,279,280,∴共有6种购买方案；(3)设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w=50×0.7y+(40-m)(300-y)=(m-5)y+300∵(2)中的全部购买方案所需资金恰好相同，答：m的值为5.4.(2023·泸州)端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际，某商场猜测A粽子能够畅销.依据猜测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.依据以上信息，解答下列问题：(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元?(2)假如该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并依据节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大?最大利润是多少?【答案】(1)10元；(2)该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元.【解答】解：(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，解得x=10或x=-12(舍去),答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；(2)设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，依据题意，得12m+10(400-m)≤4600,解得m≤300,w=(20-12)m+(16-10)(400-m)=2m+2当m=300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400=3000(元),答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元.典例引领【题型3:与分式方程的解有关的问题】【典例3】(2023·黑龙江)已知关于x的分式方程-的解是非负数.则m的取值范围是()A.m≤2B.m≥2C.m≤2且m≠-2D.m<2且m≠-2【答案】C【解答】解：分式方程去分母得：m+x-2=-x,1.(2023·齐齐哈尔)假如关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是()C.m>-1【答案】D【解答】解：将分式方程两边同乘(x+1),去分母可得：2x-m=x+1,移项，合并同类项得：x=m+1,∵原分式方程的解是负数，2.(2023·淄博)已知x=1是方A.-2B.【答案】B【解答】解：将x=1代入方程，得：3.(2023·巴中)关于x的分式方程有增根，则m=-1.【答案】见试题解答内容【解答】解：方程两边同乘(x-2)得：x+m-1=3(x-2),后的式子为()【答案】B去分母，两边同乘去分母，两边同乘(x-1)后的式子为：1-2(x-1)=-3x,2.(2023秋·株洲期中)分式方程-的解是()A.x=-9B.x=-6C.x=5【答案】A【解答】解；原方程去分母得：7(x+3)=2(2x-3),去括号得：7x+21=4x-6,移项，合并同类项得：3x=-27,系数化为1得：x=-9,3.(2022秋·朔城区期末)若关于x的分式方程无解，则n=()A.-1B.0【答案】A去分母，得x+x+2=n-1,合并同类项、系数化为1,得由题意可知，分式方程的增根为x=-2,即有解得n=-1.4.(2023秋·冷水滩区校级期中)2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八班级部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，其次次平均每秒撤离的人数比第一次的多15,结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为【答案】A【解答】解：由题意得：5.(2022秋·天河区校级期末)已知关于x的方程有增根，则a的值为()A.4B.5C.6【答案】D【解答】解：∵方程有增根，把x=5代入整式方程解得a=-5,6.(2024·辽宁模拟)解分式方时，将方程两边都乘同一个整式.得到一个一元一次方程，这个A.x【答案】D7.(2022秋·五常市期末)若关于x的方程无解，则m的值为.【答案】0或4.此时m=0,故答案为：0或4.8.(2023秋·新田县期中)甲，乙，丙三管齐开，12分钟可以注满全池，乙，丙，丁三管齐开，15分钟可注满全池.甲，丁两管齐开，20分钟注满全池，假如是四管齐开，需要_分钟可以注满全池.【答案】10.则四管齐开，需要10分钟可以注满全池.故答案为：10.9.(2023秋·岱岳区期中)解方程：【答案】(1)x=2;(2)无解.【解答】解：(1)去分母得：2x+1=5x-5,(2)去分母得：16+x²-4=x²+4x+4,经检验x=2是增根，分式方程无解.10.(2023秋·平南县期中)今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉利物，很快售完，第二次购进时，每个吉利物的进价提高了20%,同样用3000元购进的数量比第一次少了10个.(1)求第一次购进的每个吉利物的进价为多少元?(2)若两次购进的吉利物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉利物的总利润为多少元?【答案】(1)50元；(2)1700元.【解答】解：(1)设第一次每个的进价为x元，则其次次进价为(1+20%)x,答：第一次购进的每个吉利物的进价为50元；答：该商店两次购进吉利物的总利润为1700元.11.(2023秋·南县期中)《非机动车管理方法》规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴平安头盔.某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发觉供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，其次批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元.第一批头盔进货单价多少元?【解答】解：设第一批头盔进货单价为x元，则其次批头盔进货单价为(x+10)元，答：第一批头盔进货单价为80元.12.(2023秋·兴宾区期中)某公司接到制作15000件冰墩墩的订单，为了尽快完成任务，该公司实际每天制作冰墩墩的件数是原方案每天制作件数的1.5倍，结果提前10天完成任务.(1)求原方案每天制作多少件冰墩墩?(2)该公司原方案每天支付给工人的总工资是1000元，实际每天支付给工人的总工资比原方案增长了20%,完成任务后，该公司实际支付的工资与原方案相比多还是少?多或者少的具体数额是多少?【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)设原方案每天制作x件冰墩墩，则实际每天制作1.5x件冰墩墩，依据题意得：经检验，x=500是所列方程的解，且符合题意.答：原方案每天制作500件冰墩墩；(2)完成任务后，该公司原方案支付的工资总额为∵24000<30000,30000-24000=6000(元),∴公司实际支付的工资比原方案少了，少了6000元.答：该公司实际比原方案少支付工资6000元.能力提升1.(2023秋·大渡口区校级期中)若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的全部整数a的和为-4【答案】-4.的解为【解答】解：方程-的解为,依据题意，很解得a<1,a为奇数且a≠-5.∵不等式且只有3个整数解，∴符合条件的全部整数a的和为-42.(2023秋·祁阳县期中)a为何值时，关于x的方程-无解?【解答】解：由原方程得：2(x+2)+ax=3(x-2),当x=2时，2(a-1)=-10,即a=-4;即当a=1,-4或6时原方程无解.(2)去分母得：3x+3-2x+2=1,经检验x=-4是分式方程的解.3.(2023·新化县模拟)某工厂对零件进行检测，引进了检测机器.已知一台检测机的工作效率相当于一名检测员的20倍.若用这台检测机检测900个零件要比15名检测员检测这些零件少3小时.(1)求一台零件检测机每小时检测零件多少个?(2)现有一项零件检测任务，要求不超过7小时检测完成3450个零件.该厂调配了2台检测机和30名检测员，工作3小时后又调配了一些检测机进行支援，则该厂至少再调配几台检测机才能完成任务?【解答】解：(1)设一名检测员每小时检测零件x个，由题意得：(2)设该厂再调配a台检测机才能完成任务，由题意得：(2×100+30×5)×7+100a∴a的最小值为3,答：该厂至少再调配3台检测机才能完成任务.4.(2022秋·代县期末)为缓解忻州至太原段的交通压力，促进两市经济进展.山西省委打算修建“太忻大道”,现“太忻大道”正在建设中.甲、乙两个工程队方案参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程.(1)若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程?(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?【答案】(1)乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程；(2)乙队至少施工18天才能完成该项工程.【解答】解：(1)设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，∵甲队单独施工30天完成该项工程的∴甲队单独施工90天完成该项工程，答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程；(2)设乙队参与施工y天才能完成该项工程，依据题意可得：答：乙队至少施工18天才能完成该项工程.5.(2023·兴庆区校级模拟)宁夏中宁县素有“枸杞之乡”的美誉，某商场从中宁县枸杞批发市场购进甲、乙两种不同价位的枸杞，甲种枸杞共用了2000元，乙种枸杞共用了2400元.已知乙种枸杞每千克进价比甲种枸杞每千克进价多8元，且购进的甲、乙两种枸杞的数量相同.(1)求甲、乙两种枸杞每千克的进价.(2)该商场将购进的甲、乙两种枸杞进行销售，甲种枸杞的销售单价为60元，乙种枸杞的销售单价为88元.销售过程中发觉甲种枸杞销量不好，商场打算：甲种枸杞销售肯定数量后按原销售单价的七折销售；乙种枸杞销售单价不变，要使两种枸杞全部售完共获利不少于2460元，问甲种枸杞按原销售单价至【答案】(1)甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；(2)20件.【解答】解：(1)设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为(x+8)元.答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；(2)甲乙两种商品的销售量为(60-40)a+(60×0.7-40)(50-a)+(88-4答：甲种商品按原销售单价至少销售20件.6.(2022·南岗区校级一模)某中学为了创建书香校内，去年购买了一批图书.其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等.(1)求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元?(2)若今年文学书的单价比去年提高了25%,故事书的单价与去年相同，这所中学今年方案再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本【解答】解：(1)设去年文学书单价为x元，则故事书单价为(x+4)元，依据题意得：答：去年文学书单价为8元，则故事书单价为12元.(2)设这所学校今年购买y本文学书，依据题意得.∴y最小值是140:答：这所中学今年至少要购买140本文学书.7.(2022春·大观区校级期末)已知，关于x的分式方(2)当a=1时，求b为何值时分式方;(2)或b=5:(3)b可取3、29、55、185这四个数.;【解答】解：(1)把a=2,b=1代入分式方程：中，得方程两边同时乘以(2x+3)(x-5),2(x-5)-(1-x)(2x+3)=(2x+3)答：分式方程的解是所以原分式方程的解是得得方程两边同时乘以(2x+3)(x-5),(x-5)-(b-x)(2x+3)=(2x-5+2x²+3x-2bx-3b=2x²-7①当11-2b=0时，即方程无解；②当11-2b≠0时，时，分式方程无解，即b不存在；x=5时，分式方程无解，即,b=5综上所述，无解.方程两边同时乘以(2x+3)(x-5),3b(x-5)+(x-b)(2x+3)=(2整理得：(10+b)x=18b-15,∴10+b必为195的因数，10+b≥11,∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195,但1、3、5小于11,不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数.对应地，方程的解x为3、5、13、15、17,由于x=5为分式方程的增根，故应舍去.对应地，b只可以取3、29、55、185,所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数.8.(2022春·宁波期末)我们把形如(a.b为“十字分式方程”.例如再如应用上面的结论解答下列问题：(2)若十字分式方程(3)若关于x的十字分式方程.的两个解分别为x₁,xz(k>0,xi>x2),求的值.【答案】(1)-2:-3(2)由已知得mn=-5,m+n=-2,(3)原方程变为直颗感知1.(2023·海南)分式方程的解是()A.x=6B.x=-6【答案】A【解答】解：去分母，得1=x-5,移项，