微积分多元函数微分习题讲解

微积分多元函数微分习题讲解2024-01-25多元函数基本概念与性质多元函数微分法多元函数微分应用典型例题解析与技巧总结练习题与答案解析目录01多元函数基本概念与性质定义域多元函数的定义域是指使得函数有意义的自变量取值范围。对于二元函数$z=f(x,y)$，其定义域通常是$x$和$y$的取值范围构成的平面区域。值域多元函数的值域是指函数所有可能取到的函数值的集合。对于二元函数$z=f(x,y)$，其值域是$z$的取值范围。多元函数定义域与值域连续性的定义多元函数在某点连续，意味着当自变量的变化量趋于零时，函数值的变化量也趋于零。即$lim_{Deltaxto0,Deltayto0}[f(x+Deltax,y+Deltay)-f(x,y)]=0$。连续性的性质连续函数具有一些重要的性质，如局部有界性、局部保号性、四则运算性质等。多元函数连续性偏导数偏导数反映了多元函数在某一点沿某一坐标轴方向的变化率。例如，二元函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数记作$f_x(x_0,y_0)$，表示当$y$固定在$y_0$时，$z$随$x$的变化率。要点一要点二全微分全微分描述了多元函数在某一点附近的全局变化率。如果二元函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微，则存在唯一的线性函数$dz=ADeltax+BDeltay$，使得当$(Deltax,Deltay)to(0,0)$时，$Deltaz-dzto0$。其中$A=f_x(x_0,y_0)$，$B=f_y(x_0,y_0)$。偏导数与全微分概念高阶偏导数及混合偏导数高阶偏导数是指对多元函数的偏导数再次求偏导数。例如，二元函数$z=f(x,y)$的二阶偏导数有$f_{xx}(x,y)$、$f_{xy}(x,y)$、$f_{yx}(x,y)$和$f_{yy}(x,y)$。高阶偏导数混合偏导数是指对多元函数的两个或两个以上自变量交替求偏导数。例如，二元函数$z=f(x,y)$的混合偏导数有$f_{xy}(x,y)$和$f_{yx}(x,y)$。在一定条件下，混合偏导数是相等的，即$f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)$。混合偏导数02多元函数微分法高阶链式法则对于多次复合的函数，需要反复应用链式法则，直到求出最终导数。多元复合函数对于包含多个自变量的复合函数，需要分别对每个自变量求偏导数，再运用链式法则。链式法则对于复合函数，其导数可以通过链式法则进行计算，即先对内部函数求导，再与外部函数的导数相乘。复合函数微分法隐函数定义隐函数是指不能直接解出因变量的函数关系，需要通过方程来表示。隐函数的导数通过对方程两边同时求导，可以求出隐函数的导数或偏导数。多元隐函数对于包含多个自变量的隐函数，需要分别对每个自变量求偏导数，再联立求解。隐函数微分法参数方程定义参数方程是指通过引入一个或多个参数来表示因变量与自变量之间关系的方程。参数方程的导数通过对参数方程中的每个式子分别求导，可以求出参数方程的导数或偏导数。多元参数方程对于包含多个自变量的参数方程，需要分别对每个自变量求偏导数，再联立求解。参数方程表示函数微分法方向导数定义方向导数是指函数在某一点沿某一方向的变化率。方向导数的计算通过计算函数在该点的梯度向量与给定方向向量的点积，可以得到方向导数的值。梯度的计算梯度是一个向量，其每个分量是函数在该点对每个自变量的偏导数。通过求解偏导数并组合成向量形式，可以得到梯度向量。方向导数与梯度计算03多元函数微分应用通过参数方程或一般方程，利用导数求解切线斜率，进而得到切线方程。求解空间曲线在某点的切线方程根据切线斜率求得法线斜率，再利用点法式求得法平面方程。求解空间曲线在某点的法平面方程空间曲线切线与法平面方程求解求解空间曲面在某点的切平面方程通过曲面方程求偏导数得到切平面的法向量，再利用点法式求得切平面方程。求解空间曲面在某点的法线方程根据切平面的法向量，直接得到法线方程。空间曲面切平面与法线方程求解VS通过偏导数判断函数的单调性和极值存在的条件。多元函数极值的求解利用偏导数等于零求得驻点，再通过二阶偏导数判断驻点是否为极值点。多元函数极值存在的条件多元函数极值问题探讨条件极值及拉格朗日乘数法应用条件极值问题的提出在给定约束条件下，求目标函数的极值问题。拉格朗日乘数法的应用构造拉格朗日函数，将条件极值问题转化为无条件极值问题，再通过求解拉格朗日函数的驻点得到条件极值点。04典型例题解析与技巧总结求函数$z=x^2+y^2$在点$(1,1)$处的偏导数。根据偏导数的定义，有例1解析典型例题解析（一）典型例题解析（一）$frac{partialz}{partialx}Big|_{(1,1)}=2,quadfrac{partialz}{partialy}Big|_{(1,1)}=2$例2：求函数$u=xy+yz+zx$在点$(1,2,3)$处沿方向$vec{l}=(1,1,1)$的方向导数。解析：首先求$u$的梯度$frac{partialu}{partialvec{l}}=nablaucdotfrac{vec{l}}{|vec{l}|}=frac{1}{sqrt{3}}(y+z,x+z,y+x)cdot(1,1,1)$代入点$(1,2,3)$，得$frac{partialu}{partialvec{l}}Big|_{(1,2,3)}=frac{1}{sqrt{3}}(2+3+1+3+2+1)=frac{12}{sqrt{3}}$$nablau=(y+z,x+z,y+x)$然后计算方向导数典型例题解析（一）求函数$f(x,y)=x^2y+xy^2$的极值。例3首先求一阶偏导数解析典型例题解析（二）典型例题解析（二）例4求函数$z=xe^{-x^2-y^2}$的极值和最值。解析首先求一阶偏导数典型例题解析（二）例5：求曲线$x^2+y^2+z^2=a^2$与平面$x+y+z=0$的交线的方程。解析：联立两个方程消去$z$，得$x^2+y^2+(x+y)^2=a^2impliesx^2+xy+y^2=frac{a^2}{2}$此即为交线在$xy$平面上的投影方程。原方程可化为参数方程形式求解。例6：求曲面$z=x^2+y^2$与平面$x+y+z=1$的交线的方程。解析：联立两个方程消去$z$，得$x^2+y^2=1-x-yimpliesx^2+x+y^2+y=1$此即为交线在$xy$平面上的投影典型例题解析（三）05练习题与答案解析求函数$z=x^2+y^2$在点$(1,1)$处的偏导数。练习题1求函数$u=x^2y+y^2z+z^2x$在点$(1,2,3)$处的全微分。练习题2求函数$f(x,y)=sin(xy)$在点$(0,0)$处的可微性。练习题3求函数$z=xe^y+ycosx$在点$(0,0)$处的偏导数，并判断该函数在点$(0,0)$处是否可微。练习题4练习题选编答案及详细解析01练习题1解析021.首先求出函数$z=x^2+y^2$对$x$的偏导数$frac{partialz}{partialx}=2x$。2.然后求出函数$z=x^2+y^2$对$y$的偏导数$frac{partialz}{partialy}=2y$。03答案及详细解析将点$(1,1)$代入偏导数表达式，得到$\frac{\partialz}{\partialx}|{(1,1)}=2\times1=2$，$\frac{\partialz}{\partialy}|{(1,1)}=2\times1=2$。练习题2解析2.分别求出$frac{partialu}{partialx}=2xy+z^2$，$frac{partialu}{partialy}=x^2+2yz$，$frac{partialu}{partialz}=y^2+2xz$。1.求出函数$u=x^2y+y^2z+z^2x$的全微分表达式$du=frac{partialu}{partialx}dx+frac{partialu}{partialy}dy+frac{partialu}{partialz}dz$。答案及详细解析将点$(1,2,3)$代入全微分表达式，得到$du|_{(1,2,3)}=(2\times1\times2+3^2)dx+(1^2+2\times2\times3)dy+(2^2+2\times1\times3)dz=(13dx+13dy+10dz)$。答案及详细解析练习题3解析1.求出函数$f(x,y)=sin(xy)$在点$(0,0)$处的偏导数$frac{partialf}{partialx}|_{(0,0)}=ycos(xy)|_{(0,0)}=0$，$frac{partialf}{partialy}|_{(0,0)}=xcos(xy)|_{(0,0)}=0$。答案及详细解析由于偏导数存在且连续，根据可微的充分条件，函数在点$(0,0)$处可微。答案及详细解析答案及详细解析010203