2022中考数学专题复习：猜想证明综合题

2022中考数学专题复习：猜想证明综合题

1.如图，在AABC和AADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°.

①当点D在AC上时，如图(1),线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论;

②将图(1)中的△ADE的位置改变一下，如图(2),使/BAD=/CAE,其他条件不变，则线段BD,

CE又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.

2.如图，在△ABC中，BOAC,点E在BC上，CE=CA,点D在AB上，连接DE,

ZACB+ZADE=180°,作CH_LAB,垂足为H.

(1)如图a,当/ACB=90。时，连接CD,过点C作CFJ_CD交BA的延长线于点F.

①求证：FA=DE；

②请猜想三条线段DE,AD,CH之间的数量关系，直接写出结论；

(2)如图b,当NACB=120。时，三条线段DE,AD,CH之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论.

3.如图1,RtAABC沿RtAEDF,ZACB=ZF=9O°,Z4=NE=3O。.AED尸绕着边A8的中点。旋转,

DE,。尸分别交线段AC于点M,K.

(1)观察：①如图2、图3,当NC£>F=O。或60。时，AM+CKMK(填“>”，“<”或"=")

②如图4,当NCZ)F=30。时，AM+CKMK(填或“＜”)

(2)猜想：如图1,当0。＜/8尸＜60。时，AM+CKMK,证明你所得到的结论.

(3)如果例犬+或2=AM?,请求出/CDF的度数和丝的值.

4.如图1.已知直线AB/EO.点、C为AB,皮＞内部的一个动点，连接C8,C£＞,作N/1BC的平分线交

直线EO于点E,作的平分线交直线84于点A,BE和D4交于点F.

(1)若/FDC+NA5C=180。，猜想AO和8C的位置关系，并证明；

(2)如图2,在(1)的基础上连接CF,则在点C的运动过程中，当满足CF〃■且NCF8=5NOCF

时，求的度数.

5.如图1,A4BC为等腰直角三角形，ZACB=90°,F是AC边上的一个动点(点F与A、C不重合),

以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形8所，连接8月、AD.

(1)①猜想图1中线段即、AO的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；

②将图1中的正方形8所，绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度“，得到如图2、图3的

情形.图2中B尸交4C于点”，交AO于点。，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明

你的判断.

(2)将原题中的等腰直角三角形A8C改为直角三角形ABC,ZACB=90°,正方形CQE尸改为矩形

3

CDEF,如图4,且AC=4,BC=3,CD=jCF=1,BF交AC于点、H,交AD于点0,连接5£)、

AF,求8£>2+A产的值.

6.如图1,在等腰三角形ABC中，乙4=120°,48=AC,点。、E分别在边A3、AC上，AO=AE,连接8E,

点M、N、P分别为£)E、BE、3c的中点.

图1中，线段MW、NP的数量关系是,ZMV尸的大小为；

(2)探究证明

把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MRBD、C£判断△MNP的形状，并说明理

由；

(3)拓展延伸

把AADE绕点A在平面内自由旋转，若A£>=1,AB=3,请求出△MNP面积的最大值.

7.已知等腰A43C中，AB=AC,点。在直线A8上,DEHBC,交直线AC于点E,且50=3C,

CH工AB,垂足为”.

(1)当点D在线段AB上时，如图1,求证BH+DE=DH；

(2)当点。在线段84的延长线上时，如图2；当点。在线段AB延长线时，如图3,线段84,DE,

£>，又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明.

8.在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)

(1)求证：ZBAD=ZEDC；

(2)如图2,点E关于直线BC的对称点为M,连接DM,AM.

小明通过观察，实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA=AM,小明把这个猜想与同学们进行交

流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：

想法1：要证明DA=AM,只需证△ADM是等边三角形；

想法2：连接CM,只需证明△ABD且4ACM即可.

请你参考上面的想法，帮助小明证明DA=AM(选一种方法即可)

9.(1)如图1,AABC和均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE,求证:

△ACDsABCE.

(2)如图2,以圆和均为等腰直角三角形，NACB=NDCE=90。，点A、D、E在同一直线上,

CM为A£)CE中DE边上的高，连接BE.

①求NAEB的度数

②猜想线段CM,AE,BE之间的数量关系，并说明理由.

10.如图1,已知AABC刍AEBD,ZACB=NEDB=90。，点D在A8上，连接以＞并延长交AE于点F,

(1)猜想：线段AF与族的数量关系为;

(2)探究：若将图1的绕点B顺时针方向旋转，当NCBE小于180。时，得到图2,连接8并延长

交AE于点E则(1)中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)拓展：图1中，过点E作EGJ_CB,垂足为点G.当448c的大小发生变化，其它条件不变时，若

ZEBG=ZBAE,BC=6,直接写出A8的长.

图1图2

11.如图，已知AB〃CD,直线E尸与AB、CO分别交于点E、F,点尸是射线EB上一点(与点E不重

合).FM、FN分别平分NPFE和NPFZ),FM、FN交直线AB于点、M、N,过点、N作NHLFM于点、H.

(1)若NBEF=64°,求/FNH的度数；

(2)猜想/BEF和NFN”之间有怎样的数量关系，并加以证明.

12.(1)问题发现：如图1,AACB和△DCE均为等边三角形，点A、D.E在同一直线上，连接8E.

①请直接写出ZAEB的度数为；

②试猜想线段A。与线段BE有怎样的数量关系，并证明；

(2)拓展探究：图2,△AC8和AOCE均为等腰三角形，/ACB=/£>CE=90。，点A、D、E在同一直线

上，CM为AOCE中。E边上的高，连接BE,请判断NAEB的度数线段CM、AE、8E之间的数量关系,

并说明理由.

13.如图，在R/AABC中，4AC=90。，A3=AC,点。是8c边上一动点，连接AD,把AO绕点A逆

时针旋转90。，得到AE,连接CE,点F是OE的中点，连接CF.

(1)求证：CF=—AD；

2

(2)如图2所示，在点。运动的过程中，当30=2a>时，分别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与

BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

(3)在点。运动的过程中，在线段AO上存在一点尸，使E4+P3+PC的值最小.当R4+P3+PC的值

取得最小值时，AP的长为机，请直接用含〃，的式子表示CE的长.

14.如图，ZBCD=90°,BC=DC,直线P。经过点D设/POC=a(45°<a<135°),BAJ_PQ于点A,

将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°,与直线PQ交于点E.

(1)判断：/ABC/PDC(填“>”或“="或“<”)；

(2)猜想△ACE的形状，并说明理由；

(3)若AABC的外心在其内部(不含边界)，直接写出a的取值范围.

备用图

15.如图①，四边形ABCO与四边形AEFG是共一个顶点的两个大小不同的正方形.

(1)操作发现，如图②，正方形AEFG绕顶点A逆时针旋转，使点E落在边4。上时，填空：

①线段BE与DG的数量关系是；

②/ABE与ZADG的关系是.

(2)猜想与证明：如图③正方形AEFG绕顶点A逆时针旋转某一角度a(0<a<90°)时，猜想(1)中

的结论是否成立？并证明你的结论；

(3)拓展应用：如图④，正方形AEFG绕点A逆时针旋转，使点F落在边AO上时，若AB=2&，AE

=1,则BE=.

16.在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且ADJ_MN于D,BE1.MN于E

(1)当MN绕点C旋转到图1的位置时，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系(直接写出结论，

不要求写出证明过程)；

(2)当MN绕点C旋转到图2的位置时，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想，并加

以证明；

(3)当MN绕点C旋转到图3的位置时，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请直接写出结论，不要

求写出证明过程

17.(1)如图1,AABC和JDCE都是等边三角形，且B,C,D三点在一条直线上，连接A£),8E相交

于点P,求证：BE=AD.

(2)如图2,在△BCD中，若N8C»<120。，分别以BC,和8。为边在△BCD外部作等边AABC,等

边△CDE,等边ABDF,连接A。、BE、CT恰交于点P.

①求证：AD=BE=CF；

②如图2,在(2)的条件下，试猜想P8,PC,尸。与BE存在怎样的数量关系，并说明理由.

图2备用图

18.在中，ZBC4=90。，ZA<ZABC,。是AC边上一点，且=。是AB的中点，CE

是△88的中线.

（1）如图。，连接0C,请写出NOCE和NOAC的数量关系并说明理由；

（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线0