高考数学人教B版一轮复习训练9-4直线与圆圆与圆的位置关系

核心考点·精准研析考点一直线与圆的位置关系

1.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是 ()A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定2.若直线x+my=2+m与圆x2+y22x2y+1=0相交,则实数m的取值范围为()A.(∞,+∞) B.(∞,0)C.(0,+∞) D.(∞,0)∪(0,+∞)3.圆x2+y22x+4y=0与直线2txy22t=0(t∈R)的位置关系为 导学号()A.相离 B.相切C.相交 D.以上都有可能4.圆(x3)2+(y3)2=9上到直线3x+4y11=0的距离等于1的点的个数为 导学号()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】1.选B.因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,而圆心O到直线ax+by=1的距离d=QUOTE=QUOTE<1,故直线与圆O相交.2.选D.圆的标准方程为(x1)2+(y1)2=1,圆心C(1,1),半径r=1.因为直线与圆相交,所以d=QUOTE<r=1.解得m>0或m<0.3.选C.直线2txy22t=0恒过点(1,2),因为12+(2)22×1+4×(2)=5<0,所以点(1,2)在圆x2+y22x+4y=0内,直线2txy22t=0与圆x2+y22x+4y=0相交.4.选C.如图所示,因为圆心到直线的距离为QUOTE=2,又因为圆的半径为3,所以直线与圆相交,故圆上到直线的距离为1的点有3个.判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法:利用d与r的关系.(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.【秒杀绝招】第3题中,直线2txy22t=0恒过点(1,2),且该点在圆内,所以直线与圆相交.考点二圆与圆的位置关系

【典例】1.(2020·郑州模拟)已知圆C1:(x+2a)2+y2=4和圆C2:x2+(yb)2=1只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则QUOTE+QUOTE的最小值为 ()A.2 B.4 C.8 D.92.已知圆C:(x3)2+(y4)2=1与圆M关于x轴对称,Q为圆M上的动点,当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的横坐标为 ()A.2QUOTE B.2±QUOTE C.3QUOTE D.3±QUOTE3.已知☉O:x2+y2=5与☉O1:(xa)2+y2=r2(a>0)相交于A、B两点,若两圆在A点处的切线互相垂直,且|AB|=4,则☉O1的方程为 导学号()A.(x4)2+y2=20 B.(x4)2+y2=50C.(x5)2+y2=20 D.(x5)2+y2=50【解题导思】序号联想解题1由两圆只有一条公切线联想到两圆相内切2由两圆关于x轴对称联想到圆心关于x轴对称3由两圆相交于A、B,且|AB|=4联想到相交弦的直线方程【解析】1.选D.由题意可知,圆C1的圆心为(2a,0),半径为2,圆C2的圆心为(0,b),半径为1,因为两圆只有一条公切线,所以两圆内切,所以QUOTE=21,即4a2+b2=1.所以QUOTE+QUOTE=QUOTE·(4a2+b2)=5+QUOTE+QUOTE≥5+2QUOTE=9,当且仅当QUOTE=QUOTE,且4a2+b2=1,即a2=QUOTE,b2=QUOTE时等号成立,所以QUOTE+QUOTE的最小值为9.2.选C.圆M的方程为:(x3)2+(y+4)2=1,过M(3,4)且与直线y=x+2垂直的直线方程为y=x1,代入(x3)2+(y+4)2=1,得x=3±QUOTE,故当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的横坐标为x=3QUOTE.3.选C.依题意,得O(0,0),R=QUOTE,O1(a,0),半径为r,两圆在A点处的切线互相垂直,则由切线的性质定理知:两切线必过两圆的圆心,如图,|OC|=QUOTE=1,OA⊥O1A,OO1⊥AB,所以由直角三角形射影定理得:|OA|2=|OC|×|OO1|,即5=1×|OO1|,所以|OO1|=5,r=|AO1|=QUOTE=2QUOTE,由QUOTE=5,得a=5,所以,圆O1的方程为:(x5)2+y2=20.1.判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.3.两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距d,半弦长QUOTE,半径r所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解.4.两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.已知两圆C1:x2+y22x6y1=0和C2:x2+y210x12y+45=0.(1)求证:圆C1和圆C2相交.(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.【解析】(1)圆C1的圆心为C1(1,3),半径r1=QUOTE,圆C2的圆心为C2(5,6),半径r2=4,两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=QUOTE+4,|r1r2|=4QUOTE,所以|r1r2|<d<r1+r2,所以圆C1和C2相交.(2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减,得4x+3y23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y23=0.圆心C2(5,6)到直线4x+3y23=0的距离为QUOTE=3,故公共弦长为2QUOTE=2QUOTE.考点三直线与圆的综合问题

命题精解读考什么:(1)直线与圆的位置关系;(2)直线与圆相切、相交问题;(3)圆的性质.怎么考:以选择题和填空题为主,主要考查求切线方程、弦长问题.学霸好方法1.圆的切线方程常用结论(1)判断:圆心到直线的距离等于圆的半径;(2)切线:已知圆的圆心C,半径为R.过点P作圆C的切线.①条数:若点P在圆内,则无切线;若点P在圆上,则有且只有一条切线;若点P在圆外,则有两条切线;②长度:切线长等于QUOTE.2.直线与圆的位置关系的常用结论(1)当直线与圆相交时,由弦心距(圆心到直线的距离),弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形.(2)弦长公式|AB|=QUOTE|xAxB|=QUOTE.圆的切线问题【典例】1.已知圆的方程为x2+y2=1,则在y轴上截距为QUOTE的切线方程为()A.y=x+QUOTE B.y=x+QUOTEC.y=x+QUOTE或y=x+QUOTE D.x=1或y=x+QUOTE2.(2020·惠州模拟)过点A(3,4)作圆C:(x2)2+(y3)2=2的切线l,则切线l的方程为________________.

导学号【解析】1.选C.在y轴上截距为QUOTE且斜率不存在的直线显然不是切线,故设切线方程为y=kx+QUOTE,则QUOTE=1,所以k=±1,故所求切线方程为y=x+QUOTE或y=x+QUOTE.2.设切线l的方程为y=kx+b,点A(3,4)在切线l上,故4=3k+b.圆C:(x2)2+(y3)2=2的圆心(2,3)到切线l的距离d=QUOTE=QUOTE,可得QUOTE=QUOTE,解得k=1,故b=7,切线l的方程为x+y7=0.答案:x+y7=0求圆的切线方程时,应注意什么问题?提示:应注意切线斜率不存在的情况.圆的弦长问题【典例】1.设圆x2+y22x2y2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2QUOTE,则直线l的方程为 导学号()A.3x+4y12=0或4x3y+9=0B.3x+4y12=0或x=0C.4x3y+9=0或x=0D.3x4y+12=0或4x+3y+9=02.直线x+QUOTEy2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长为________.

【解析】1.选B.当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为x=0时,弦长为2QUOTE,符合题意;当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+3,由弦长为2QUOTE,半径为2可知,圆心到该直线的距离为1,从而有QUOTE=1,解得k=QUOTE,综上,直线l的方程为x=0或3x+4y12=0.2.因为圆x2+y2=4的圆心为点(0,0),半径r=2,所以圆心到直线x+QUOTEy2=0的距离d=QUOTE=1,所以弦长|AB|=2QUOTE=2QUOTE.答案:2QUOTE圆心到弦的距离如何求?提示:如图所示,设直线l被圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:|AB|=2QUOTE.与弦长有关的范围问题【典例】1.若直线y=x+m与曲线y=QUOTE有且只有一个公共点,则实数m的取值范围为 ()A.(1,1]∪{QUOTE} B.{QUOTE,QUOTE}C.[1,1)∪{QUOTE} D.(1,QUOTE]【解析】选C.y=QUOTE表示半圆,如图所示:因为直线y=x+m与曲线y=QUOTE有且只有一个公共点,①d=QUOTE=1,解得m=QUOTE,m=QUOTE(舍去)②代入(1,0)可得0=1+m,m=1,代入(1,0)可得0=1+m,m=1,结合图象,综上可得1≤m<1或m=QUOTE.2.已知点P是直线x+y+2=0上的动点,过P引圆x2+y2=1的切线,则切线长的最小值为________. 导学号

【解析】圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,要使切线长最小,则只需要点P到圆心的距离最小.此时最小值为圆心到直线的距离d=QUOTE=QUOTE,此时切线长的最小值为QUOTE=1.答案:1解决与弦长有关的参数范围问题,用什么方法最直观?提示:数形结合的方法.1.已知直线3x+4y=b与圆x2+y22x2y+1=0相切,则实数b=________.

【解析】圆的标准方程即:(x1)2+(y1)2=1,由题意可得圆心(1,1)到直线3x+4yb=0的距离为1,即QUOTE=1,解得:b=2或b=12.答案:2或122.直线xy1=0与圆x2+y2=5交于A,B两点,则|AB|=________.

【解析】根据题意,圆x2+y2=5的圆心为(0,0),半径为r=QUOTE,则圆心到直线xy1=0的距离为d=QUOTE=QUOTE,则|AB|=2QUOTE=3QUOTE.答案:3QUOTE1.过点(0,1)的直线l被圆(x1)2+y2=4所截得的弦长最短时,直线l的斜率为 ()A.1 B.1 C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.点(0,1)在圆(x1)2+y2=4内,要使得过点(0,1)的直线l被圆(x1)2+y2=4所截得的弦长最短,则该弦