新教材数学人教A版学案5-5-2简单的三角恒等变换

5．5.2简单的三角恒等变换【素养目标】1．能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理)2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题．(数学运算)3．进一步掌握两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，半角公式，并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题．(逻辑推理、数学运算)【学法解读】在本节学习中学生应先复习二倍角公式，利用二倍角公式推导半角公式，并掌握半角适用条件．培养学生数学中的逻辑推理．必备知识·探新知基础知识知识点半角公式coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))(Ceq\s\do7(\f(α,2)))，sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))(Seq\s\do7(\f(α,2)))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))(Teq\s\do7(\f(α,2)))．思考：(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的？如何推导的？(2)半角公式中的正负号能否去掉？该如何选择？(3)半角公式对α∈R都成立吗？提示：(1)二倍角的余弦公式．推导如下：在二倍角公式cos2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以eq\f(α,2)代替α，即得：cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)＝2cos2eq\f(α,2)－1.所以sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2)，cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)，tan2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,1＋cosα).开方可得半角公式．(2)不能．①若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；②若给出α的具体范围(即某一区间)时，则先求eq\f(α,2)所在范围，然后根据eq\f(α,2)所在范围选用符号．(3)公式Ceq\s\do7(\f(α,2))，Seq\s\do7(\f(α,2))对α∈R都成立，但公式Teq\s\do7(\f(α,2))要求α≠(2k＋1)π(k∈Z)．基础自测1．下列说法中正确的个数是(＋＋＋＋A－－－－)①sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)).②cos20°＝±eq\r(\f(1＋cos40°,2)).③taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1－cosα)＝eq\f(1＋cosα,sinα).④sin4α＋eq\r(3)cos4α＝2sin(4α＋eq\f(π,3))．A．1 B．2C．3 D．4[解析]①②③错误，④正确，故选A.2．已知180°<α<360°，由coseq\f(α,2)的值等于(＋＋＋＋C－－－－)A．－eq\r(\f(1－cosα,2)) B．eq\r(\f(1－cosα,2))C．－eq\r(\f(1＋cosα,2)) D．eq\r(\f(1＋cosα,2))3．已知cosα＝eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，则sineq\f(α,2)等于(＋＋＋＋B－－－－)A．－eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(10),10)C．eq\f(3,10)eq\r(3) D．－eq\f(3,5)[解析]∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，∴sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2))＝eq\f(\r(10),10).4．sinx－cosx等于(＋＋＋＋C－－－－)A．sin2x B．eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))C．eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))) D．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))[解析]原式＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinx－\f(\r(2),2)cosx))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))).关键能力·攻重难题型探究题型一应用半角公式求值例1已知sinθ＝eq\f(4,5)，且eq\f(5π,2)<θ<3π，求sineq\f(θ,2)，coseq\f(θ,2)，taneq\f(θ,2).[分析]已知条件中的角θ与所求角中的eq\f(θ,2)成二倍关系，从而选择半角公式求值．[解析]∵sinθ＝eq\f(4,5)，eq\f(5π,2)<θ<3π，∴cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\f(3,5).∵eq\f(5π,4)<eq\f(θ,2)<eq\f(3π,2)，∴sineq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1－cosθ,2))＝－eq\f(2\r(5),5)，coseq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1＋cosθ,2))＝－eq\f(\r(5),5)，taneq\f(θ,2)＝eq\f(sin\f(θ,2),cos\f(θ,2))＝2.[归纳提升]已知θ的某个三角函数值，求eq\f(θ,2)的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可．【对点练习】❶设π<θ<2π，coseq\f(θ,2)＝－eq\f(3,5)，求：(1)sinθ的值；(2)cosθ的值；(3)sin2eq\f(θ,4)的值．[解析](1)∵π<θ<2π，∴eq\f(π,2)<eq\f(θ,2)<π，又coseq\f(θ,2)＝－eq\f(3,5)，∴sineq\f(θ,2)＝eq\r(1－cos2\f(θ,2))＝eq\r(1－－\f(3,5)2)＝eq\f(4,5)，∴sinθ＝2sineq\f(θ,2)coseq\f(θ,2)＝2×(－eq\f(3,5))×eq\f(4,5)＝－eq\f(24,25).(2)cosθ＝2cos2eq\f(θ,2)－1＝2×(－eq\f(3,5))2－1＝－eq\f(7,25).(3)sin2eq\f(θ,4)＝eq\f(1－cos\f(θ,2),2)＝eq\f(1－－\f(3,5),2)＝eq\f(4,5).题型二三角恒等式的化简与证明例2化简：eq\f(1－sinα－cosαsin\f(α,2)＋cos\f(α,2),\r(2－2cosα))(－π<α<0)．[证明]原式＝eq\f(2sin2\f(α,2)－2sin\f(α,2)cos\f(α,2)sin\f(α,2)＋cos\f(α,2),\r(2×2sin2\f(α,2)))＝eq\f(2sin\f(α,2)sin\f(α,2)－cos\f(α,2)sin\f(α,2)＋cos\f(α,2),2|sin\f(α,2)|)＝eq\f(sin\f(α,2)sin2\f(α,2)－cos2\f(α,2),|sin\f(α,2)|)＝eq\f(－sin\f(α,2)cosα,|sin\f(α,2)|).因为－π<α<0，所以－eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<0，所以sineq\f(α,2)<0，所以原式＝eq\f(－sin\f(α,2)cosα,－sin\f(α,2))＝cosα.[归纳提升]化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．【对点练习】❷求证：eq\f(cos2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq\f(1,4)sin2α.[证明]证法一左边＝eq\f(cos2α,\f(cos\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos2α,\f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cos\f(α,2)))＝eq\f(cos2αsin\f(α,2)cos\f(α,2),cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝eq\f(cos2αsin\f(α,2)cos\f(α,2),cosα)＝sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)cosα＝eq\f(1,2)sinαcosα＝eq\f(1,4)sin2α＝右边．∴原式成立．证法二左边＝eq\f(cos2α,\f(1＋cosα,sinα)－\f(1－cosα,sinα))＝eq\f(cos2αsinα,2cosα)＝eq\f(1,2)sinαcosα＝eq\f(1,4)sin2α＝右边．∴原式成立．证法三：左边＝eq\f(cos2αtan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq\f(1,2)cos2α·eq\f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq\f(1,2)cos2α·tanα＝eq\f(1,2)cosαsinα＝eq\f(1,4)sin2α＝右边．∴原式成立．题型三利用辅助角公式研究函数性质例3已知函数f(x)＝eq\r(3)sin(2x－eq\f(π,6))＋2sin2(x－eq\f(π,12))(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．[解析](1)∵f(x)＝eq\r(3)sin(2x－eq\f(π,6))＋2sin2(x－eq\f(π,12))＝eq\r(3)sin[2(x－eq\f(π,12))]＋1－cos[2(x－eq\f(π,12))]＝2{eq\f(\r(3),2)sin[2(x－eq\f(π,12))]－eq\f(1,2)cos[2(x－eq\f(π,12))]}＋1＝2sin[2(x－eq\f(π,12))－eq\f(π,6)]＋1＝2sin(2x－eq\f(π,3))＋1，∴f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)当f(x)取得最大值时，sin(2x－eq\f(π,3))＝1，有2x－eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即x＝kπ＋eq\f(5π,12)(k∈Z)，∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z}．[归纳提升](1)公式形式：公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ))将形如asinα＋bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．【对点练习】❸(1)eq\r(2)coseq\f(π,12)＋eq\r(6)sineq\f(π,12)的值是(＋＋＋＋B－－－－)A．eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．eq\f(\r(2),2)(2)y＝cosx＋cos(x＋eq\f(π,3))的最大值是！！！eq\r(3)###.[解析](1)原式＝2eq\r(2)(eq\f(1,2)coseq\f(π,12)＋eq\f(\r(3),2)sineq\f(π,12))＝2eq\r(2)sin(eq\f(π,12)＋eq\f(π,6))＝2eq\r(2)sineq\f(π,4)＝2，故选B.(2)y＝cosx＋cosx·eq\f(1,2)－sinx·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)cosx－eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)(eq\f(\r(3),2)cosx－eq\f(1,2)sinx)＝－eq\r(3)(eq\f(1,2)sinx－eq\f(\r(3),2)cosx)＝－eq\r(3)sin(x－eq\f(π,3))，当x＝2kπ－eq\f(π,6)时，(k∈Z)，ymax＝eq\r(3).误区警示忽略对角的终边所在象限的讨论例4已知sinα＝eq\f(3,5)，求sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)与taneq\f(α,2)的值．[错解]∵sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝±eq\f(4,5).(1)当cosα＝eq\f(4,5)时，sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))＝±eq\f(\r(10),10)，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))＝±eq\f(3\r(10),10)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝±eq\f(1,3).(2)当cosα＝－eq\f(4,5)时，sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))＝±eq\f(3\r(10),10)，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))＝±eq\f(\r(10),10)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝±3.[错因分析]由sinα＝eq\f(3,5)>0，知角α是第一或第二象限角，从而eq\f(α,2)必为第一或第三象限角，所以taneq\f(α,2)的值必然为正．上述解法中忽视了sinα>0，从而eq\f(α,2)为第一或第三象限角这一隐含条件，导致解中的taneq\f(α,2)有正负两个值．另外，错解中还有一点不妥，就是解法过于笼统与简单，没有细分sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)与taneq\f(α,2)的值的对应情况，依上述解法，sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)与taneq\f(α,2)的值对应着2×2×2＋2×2×2＝16(组)情况，但实际情况却只有4组(见下面正确解法)，这就造成了解的结果混乱，不能体现三个数值的对应情况．[正解]由sinα＝eq\f(3,5)>0，知角α是第一或第二象限角．(1)当α是第一象限角时，cosα＝eq\f(4,5)，且eq\f(α,2)为第一或第三象限角，于是①当eq\f(α,2)为第一象限角时，sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2))＝eq\f(\r(10),10)，coseq\f(α,2)＝eq\r(\f(1＋cosα,2))＝eq\f(3\r(10),10)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(1,3)；②当eq\f(α,2)为第三象限角时，sineq\f(α,2)＝－eq\f(\r(10),10)，coseq\f(α,2)＝－eq\f(3\r(10),10)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(1,3).(2)当α是第二象限角时，cosα＝－eq\f(4,5)，且eq\f(α,2)为第一或第三象限角，于是①当eq\f(α,2)为第一象限角时，sineq\f(α,2)＝eq\f(3\r(10),10)，coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(10),10)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝3；②当eq\f(α,2)为第三象限时，sineq\f(α,2)＝－eq\f(3\r(10),10)，coseq\f(α,2)＝－eq\f(\r(10),10)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝3.[方法点拨](1)应用公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))以及taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))时，一定要注意根号前的符号是由eq\f(α,2)的终边所在的象限来确定这一原则，充分挖掘题设中的隐含条件，利用隐含条件，判断解的符号，缩小解的范围，减少解答中的失误．另外，在解答过程中也要充分注意解题格式的规范性，规范表述，不要给出模糊不清的过程与结果．(2)注意等号两边表达式的定义域是否一致．学科素养三角恒等变换的综合应用三角恒等变换就是熟练运用所学公式将三角函数式进行化简，在综合讨论三角函数性质时，通常先要将三角函数式化简成某一个角的三角函数式，再去研究其图象与性质是考试的重点．例5已知f(x)＝(1＋eq\f(1,tanx))sin2x－2sin(x＋eq\f(π,4))·sin(x－eq\f(π,4))．(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈[eq\f(π,12)，eq\f(π,2)]，求f(x)的取值范围．[分析](1)将函数f(x)转化为只含有sin2x与cos2x的式子，由tanα＝2，求出sin2α与cos2α的值，代入f(x)求f(α)．(2)将f(x)化为Asin(ωx＋φ)＋B的形式，利用正弦函数的图象与性质求解．[解析](1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sin(x＋eq\f(π,4))·cos(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＋sin(2x＋eq\f(π,2))＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(sin2x－cos2x)＋cos2x＝eq\f(1,2)(sin2x＋cos2x)＋eq\f(1,2).由tanα＝2，得sin2α＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝eq\f(4,5).cos2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq\f(3,5).所以，f(α)＝eq\f(1,2)(sin2α＋cos2α)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,5).(2)由(1)得f(x)＝eq\f(1,2)(sin2x＋cos2x)＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sin(2x＋eq\f(π,4))＋eq\f(1,2).由x∈[eq\f(π,12)，eq\f(π,2)]，得eq\f(5π,12)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4).所以－eq\f(\r(2),2)≤sin(2x＋eq\f(π,4))≤1,0≤f(x)≤eq\f(\r(2)＋1,2).所以f(x)的取值范围是[0，eq\f(\r(2)＋1,2)]．[归纳提升]利用三角恒等变换的解题技巧(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α化为正切tanα，为第(1)问铺平道路(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．课堂检测·固双基1．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角，则eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝(＋＋＋＋A－－－－)A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．2 D．－2[解析]∵α是第三象限角，cosα＝－eq\f(4,5)，∴sinα＝－eq\f(3,5).∴eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝eq\f(1＋\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)),1－\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)－sin\f(α,2))＝eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)－sin\f(α,2))·eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)＋sin\f(α,2))＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝eq\f(1－\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq\f(1,2).故选A.2．若θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，且sin2θ＝eq\f(3\r(7),8)，则sinθ＝(＋＋＋＋D－－－－)A．eq\f(3,5) B．eq\f(4,5)C．eq\f(\r(7),4)