2020-2021学年度第二学期期中教学质量调研高一数学模拟试题

2020-2021学年度高一年级第二学期期中调研模拟

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,设向量1=(0,2)，b=(2,2)，则°

A・同=|b|®,(a-b)//b^--/与b的夹角为.D.白一1a

3

2.非零向量士甘满足：旧_币=|升3.(g-b)=0-贝股一髀，夹角的大小为()

A-135°B-120°C60。D-45°

3.已知函数，、，则"s的值不可能是()

f(x)=sinx-sin(x+J)-^W

、、B.工C.0D.2

22

4.下列各式中，值为百的是()

A.B..

工+tam5

2sin2——2cos2-

1212i-tani51

C・sinl5sin75,D・cos15'-V3sinl5,

51在AABC中a,b,c分别是A,B,C的对边，八c、i右c=3且sinA+sinB=2、用sinAsinB，

cos(A+B)=--

2

则AABC的面积为0

A，3V5B，3^%D.2

S4

6.在斜SBC中,设角A，B,C的对边分别为a,b,c,己如asinA+bsinB-csinC=4bsinBcosC'

CD是角C的内角平分线，且CD=b-则cosC=（）

A.B.C,D.

1321

8436

7-已知直角△ABCzABC=90D,AB=121BC=8,D,E分别是AB,AC的中点，将&ADE沿

着直线DE翻折至APDE，形成四棱锥p_BCED）则在翻折过程中，①乙DPE=zBPC;②PE1BC;

③PDLEC；④平面PDEL平面PBC，不可能成立的结论是（）

A.①②③B.①②C③①D.①②④

8.在棱氐为I的正方体ABCD-A,B1clD,中，ACnBD=CTE是线段氏c（由端点）上的一动点

①0EJ.BDJ

②0E〃面AiQD；

③三棱锥A]_BDE的体积为定值;

④0E与A2cl所成的最大角为90。・

上述命题中正确的个数是。

A.1B.2C.3D.4

二'多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得。分.

9.已知函数,、，则的值可能是（）

f（x）=sinx-sin（x+=）-；W

A.B.C.0D.2

10.已知a,b,c分别为周ABC内角A，B，C的对边,COS?A-cos?B-cos2c=cosAcosB+cosC-cos2B)

且c=b，则下列结论中正确的是()

A.B.

C=-C=^

33

C.AABC面积的最大值为.D.△ABC面积的最大值为这

44

11.已知i为虚数单位，则下列选项中正确的是()

A,复数工=3+4i的模|z|=5

B.若复数z=3+4i，则乞(即复数z的共柜复数)在复平面内对应的点在第四象限

C.若复数(m?+3m—4)+(m?—2m—24)i是纯虚数，则m=1或m=—4

D.对任意的复数Z,都有z220

12.在四面体ABCD中，4ABC是边长为?的正二角形,=60。，一*面角D_AB-c的大小为60。

则下列说法正确的是()

A-AB1CD

B.四面体ABCD的体积V的最大值为广

退

2

C.棱CD的长的最小值为丫纣

D.四面体ABCD的外接球的表面积为

三n

9

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13.i为虚数单位，则复数的虚部为.

(7$2011

14.已知a，0s，且匕吨_0)=；则2时一

15.在“BC中，已知而=2而P为线段AD上的一点，且满足而二郎+m屈'若"BC的面积

为2、序/则|国的最小值为.

=—

16.

在正三棱柱ABC-A[B2cl中，已知AB=1D在棱BB^上，且BD=「则AD与平面所成

的角的正弦值为，平面ACD与ABC所成二面角的余弦值为.

(本小题第一空2分，第二空3分)

四'解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

已知向JH记=("geosX,-cosx)，n=(-2asinx,2acosx)'具中aHO,

⑴若芯，且|记++=|记—求1t的值；

-xe(-=,0)cos(x+》

(2)设函数f(x)=IS•3+3a+b当时，是否存在整数ab使得f(x)的值域为

[-VX2]?若存在，请求出a,b的值；若不存在，请说明理由•

18.(本小题满分12分)

如图，三棱锥p-ABC中，PA1平面ABC,PA=AC=2，BC=祗，々BAC=60"D是PA的

中点，E是CD的中点，点F在PB上，_一

PF=3FB

（1）证明：平面PAB_L平面PBC；

（2）证明：EF〃平面ABC；

（3）求二面角B-CD-A的正弦值.

19.（本小题满分12分）

在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求出满足条件的复数z,以及0.

cZtco复平面上表的点在直线x+y+2=0上③Z2+z7=-2.

①三＜0②12322

已知复数4=i+i，z?=a+2『（a酣），------＞若1】J求复数z,以及忆「

-=—F-

20.（本小题满分12分）

某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD,CE为路灯灯杆,

CD1AB'2,在E处安装路灯，且路灯的照明张角1t已知CD=4m,CE=2nr

Z.DCE=—zMEN=

（1）当M,D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；

（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值.

21.（本小题满分12分）

已知X。，是函数的两个相邻的零点.

+-f(x)=cos2(u)x--)—sin?3X(3>0)

6

求的值;

⑴嗡

（2）若对任意7n，都有f（x）_mw（F求实数m的取值范围.

xs[——»0]

若关于X的方程L在上有两个不同的解，求实数m的取值范围.

m⑼^f（x）-m=lxe[。印

22.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥p_ABCD中，PA,平面ABCD,在直角

梯形ABCD中，AD〃B（?々BAD=90°，BC=2AD，E

为线段BC的中点

（1）求证：平面PDE平面PAD；

（2）在线段PB上找一点F,使得EF〃平面PCD,则满足题意的F点是否存在？若存在，求出点

F的位置；若不存在，请说明理由.

（3）若Q是PC中点，AB=PDC=72,PA=2TBC=2EC=2,求三棱锥p-ABQ的体积•

2020-2021学年度高一年级第二学期期中调研模拟

数学学科试题•参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

题号12345678

答案DADBBADD

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.

题号9101112

答案ABCBCABBCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13—114._3n15-216'V6V21

44,7

(阅卷提醒：第16小题笫一空2分，第二空3分)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.।fn+n|=|m-n|.%(m+n)2=(m-即记,E=0'

vm=(V3cosx-cosx)，n=(-2asinx,2acosx)

/.-2aV5sinxcosx_2acos2x=O'艮［百sinxcosx+cos2x=0，

・•・COSX6(0,1)'

xe(-50)

V3sinx+cosx=0，即、叵

tanx=-----

3

cos(x+-)=-cosx——sinx(--)=

\，22222k2y4

(2)由题忌，f(x)=m-n+3a+b=-2>/3asinxcosx-2acos2x+3a+b

=—>/3asin2x—a(l+cos2x)4-3a+b=_2asin(2/+器)+2a+b,

'xe[53'2x+：e仔，争'sin(2x+》e[-L学’

①当a=0时，f(x)=b，值域不可能为[-VJ,2]，

②当a>0时，f(x)e[2a-VJa+b,4a+b「又f(x)的值域为[一、石，2r

2a-V3a+b=-V3,4a+b=2'解得a=Lb=-2，符合题意-

③当a<0时，f(x)e[4a+b,2a-V3a+b]，又f(x)的值域为[一、序，2]

二2a-VJa+b=2,4a+b=-y/3'解得a=-1,b=4—y/3'不合就思，

综上，存在整数a=i,b=_2使得f(x)的值域为[—75,2]•

18•解：⑴在AABC中’由余弦定理得BC2=AB2+AC2—2AB,ACCOSNBAG

即AB2-2AB+1=0，解得AB=1，二AB?+BC2=AC2，则zABC=90。’二BCJ.AB。

因为PA,平面ABC,BCu平面ABC，所以PA_LB（?

•­•PAnAB=BTPA、ABU平面「AB'...BC_L平面0AB.

...BCu平面PBC，...平面pBC_L平面PAB；

（2）证法一：过点F作FA〃/PA交AB于点M,取AC的中点N,连接MN、EN.

..点E为CD的中点，N为AC的中点，.•.EN〃.AO,

EN=jAD

又D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上，_一，且FA〃/PA,

PF=3FB

.—ADC'G〃EN且FM3

42

所以四边形MFEN为平行四边形，EF〃MN,

...EFc平面ABC,MNu凡上面ABC,EF；：3P面ABC；

法二：取AD中点G,连接GE、GF,

p

...G、E分别为AD、CD的中点，

...GE《平面ABC,ACu平面ABC,r.GE〃平面ABC.

“G为AD的中点，D为PA的中点，，则PG=3AG，

AAG=iAD=iPA-

24

...PF=3FV即PF=3FB，E/，♦SME

AGBF

•••GFC平面ABC,AB(Z平面ABC，；.GF〃平面ABC.

因为GEcGF=G，GE、GFU平面GEF,所以平面GEF〃平面ABC,

..EFu平面GEF,所以EF//平面ABC；

（3）过点B作BH,AC，垂足为H,在平面BCD内过点B作BO,DU垂足为°，

vPA，平面ABC,BHu平面ABC,...BH±pA.

•••BHJ.AC，PAnAC=A，PA、pcu平面PAC，...BHj_平面PAC,

•••CDu平面0AC,CD_LBH'

CD_LBO'BOnBH=B'B°、BHU平面B°H’.,CD产面BOH.

：OHu平面B°H,...OHj.CD，则NBOH为二面角B一CD-A的平面角，

由等面积法可得

BH=ABBC

AC2

・；BC_L平面「AB,BDU平面PAB，...BC_LBD，

在RtABCD中，BC=V3'BD=VAD2+AB2=jCD=VAD2+AC2=V5-

由等面积法得一,则

口八BCBDV30vl.

-—

BU=CrnD=二5s-inz.DBCOUH=—BH・工=4

BOvlQ4

因此，二面角B-CD-A的正弦值为；一.

19.解：方案一：选条件①,

因为ZLl+i，所以言4(1+i)(a+i)(i-1+(a+l)i

(a—i)(a+t)a24-1

由于，所以,1々0，解得2__1

手。（a

所以22=—1+291

z

从而

z=2i^=^±L=^±=l+i

Z^+Z22i—33

团=j针+*攀

方案二：选条件②,

因为4=l+i,z2=a+2i,(aeR),所以"z2=(1+i)(a+2i)=a-2+(a+29

在复平面上表示Z'Z?的点为(a—2,a+2),

依题意可知(a-2)+(a+2)+2=0，得a=-「

所以马=一1+2『1।1_z,+zj

Z-Z*z2-ztz2

从而，

7_ZQ_7+1_TT1_1•：

L————।1

ZJ+ZJ31-33

I^=M+12=V-

方案三：选条件③，

因为z2=a+2『所以％=a-

由Z2+石'=2a=-2，得a=-1

所以Z2=-l+2i,&!,Z1+Z/

—=--十---=--------

ZZ]Z?Z]Zj

从而，

z=^-=—==i=2i=i+i

团认丫+1?=季

20.解：(])当MD重合时,

由余弦定理知，ME=DE=VCD2+CE2-2CD-CE-cosz.DCE=

所以

CD2+DE2-CE2

coszCDE-2CDDE-

因为，所以方

△CDE+zEMN=\sinzEMN=cosrCDE=箸

因为cos4EMN>(F所以,-------------V5i;

cosz.EMN=V1—sin2z.EMN=—

14

因为，所以..

zMEN=李sinzENM=sin(乎-乙EMN)

=sinTcosrEMN-cos^sinzEMN=苦

二在AEMN中，由正弦定理可知，

MNEM

sinzMENsinz.ENM

解得l

MN=—

2

r“易知E到地面的距离,、

h=4+2sing-9=5m

由三角形面积公式可知，

S&EMN=1-MN5=iEMEN.sinf

所以

a=EM.EN

又由余弦定理可知，

MN2=EM2+EN2-2EM-EN-cos->EM-EN

3

当且仅当F加M一=F"N时，等号成立，所以MN2>^MN

V3

解得「

MN>—

3

答：（1）路灯在路面的照明宽度为、m

（八照明宽度MN的最小值为_

---m

3

21.解:l+C°S(23X-fi1-C0S23X

⑴f(x)=

111

=-[cos(2o)x--)+cos2u)x]

=38s2u)x+—sin2u)x)+cos2u)x]

1V33

=-(—sin2u)x+-COS2(DX)

V31V3

=—(-sin2u)x+—cos2u)x)

yf3n

=-2-sin(2u)x+-).

由题意可知，f（x）的最小正周期T=K

2n'乂丁3>O'・•・3=V

:，;~~;=T(

[23|

•••f(x)=/sin