2021-2022学年青岛九年级上册数学《第1章 图形的相似》单元测试卷【含答案】

2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第1章图形的相似》

单元测试卷

一.选择题

1.下列图形一定是相似图形的是（）

A.任意两个菱形B.任意两个正三角形

C.两个等腰三角形D.两个矩形

2.下列两个图形一定相似的是（）

A.两个菱形B.两个矩形

C.两个正方形D.两个等腰梯形

3.如图，在矩形A8CQ中，点E、尸分别在边A。、QC上，/XABE^/XDEF,AB=6,AE

D.715

4.如图：点£＞在△ABC的边A8上，连接CZ）,下列条件:

①②/AOC=NACB；®AC2=AD'AB-,@AB-CD=AC'BC.

D.4个

5.在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6CH变成了20小则缩印出的

三角形的面积是原图中三角形面积的（）

D.1

12

6.一个多边形的边长分别为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边为24,则

这个多边形的最短边长为（）

A.6B.8C.12D.10

7.能判定△ABC和△△'B'C相似的条件是（)

A.AB__AC

A，B，:A，C

AB_£

B.AC=AyCz•且/A=NC'

AB_BC

c.A，B，:A'C'•且

AB__AC

D.•且/B=NB'

A，B，:A，C，

8.如图，平行于BC的直线。E把△ABC分成面积相等的两部分，则口的值为（）

AB

9.如图，在△ABC中，D,E分别是边A2,AC上的点，DE//BC,AD：DB=2：1,下列

结论中错误的是（）

而二

D.AD-AB=AE-AC

BDCE

10.如图，菱形A8C£>s菱形AEEG,菱形的顶点G在菱形45。。的8C边上运动,

GF与A3相交于点"，ZE=60°,若CG=3,A〃=7,则菱形A3CO的边长为（）

BD

G

A.8B.9C.873D.W3

填空题

11.有一张矩形风景画，长为90c〃z,宽为60。"，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩

形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，旦面积比原风景画的面积大44%.若

装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为左、右边衬的宽都为儿孙那么油=.

12.四边形A8C。和四边形ABC。,是相似图形，点A、B、C、£＞分别与A、B'、C、。对

应，已知BC=3,CD=2.4,B'C=2,那么C'。'的长是.

13.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别

是3和4及x,那么x的值是.

14.如果两个相似多边形面积的比为4：9,那么这两个相似多边形周长的比是.

15.如图，直角三角形纸片ABC,4c边长为lOcvn,现从下往上依次裁剪宽为4c%的矩形

纸条，若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长度是cm.

16.如图，已知矩形ABCO中，AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠，使B

点落在上的F点.若四边形EFDC与矩形A8CD相似,则AD=.

------V------iD

EL

17.如图，AB1BD,CD1BD,AB=6,CD=4,8D=14.点P在BO上移动，当以P,C,

D为顶点的三角形与AABP相似时，则PB的长为.

18.如图，等腰AABC中，AB=AC=5,BC=8,点F是边BC上不与点8,C重合的一个

动点，直线OE垂直平分8兄垂足为O.当△4CF是直角三角形时，BO的长

为.

19.如图，在平行四边形A8CZ）中，AB=3,AD=4y/2>AF交8c于E,交0c的延长线

于尸，且CF=1,则CE的长为.

20.如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸

四边形的相似对角线，在凸四边形48CC中，AB=AC=J§,AD=CD=^,点E、点f

分别是边A。，边BC上的中点.如果AC是凸四边形ABC。的相似对角线，那么所的

长等于.

三.解答题

21.如图，已知△ABOs/viCE,ZABC=50°,ZBAC=60°,求/AEZ）的度数.

22.小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B,此时E4=21米,

CE=2.5米.已知眼睛距离地面的高度DC=1.6米，请计算出教学楼的高度.（根据光

的反射定律，反射角等于入射角）

23.以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、8、C、。均在格点上.

(1)在图①中，PC：PB=.

(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.

①如图②，在43上找一点P,使AP=3.

②如图③，在BQ上找一点P,使

图①图②图③

24.根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相

似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比.

(1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直

接在横线上填写“真”或“假”).

①四条边成比例的两个凸四边形相似；(命题)

②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(命题)

③两个大小不同的正方形相似.(命题)

(2)如图，在四边形A8CZ)和四边形ABiGOi中，ZABC^ZAiBiC\,NBCD=N

ABBCCD

B1GD1，T~p~=T7r~='r~n~-求证：四边形ABC。与四边形AiB|C0i相似.

AjD।D।।v।U।

25.如图1,将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与44纸较长的边重合，如图2,将1张

A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸.

(1)A4纸较长边与较短边的比为；

(2)A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由.

26.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,。为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点,

且满足

(1)说明：△A。8s/XEAC；

(2)若NB4C=40°,求ND4E的度数.

27.如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、8c的中点，F是BC延长线上一点，/F=N

B.

(1)若A8=10,求F£>的长；

(2)若AC=BC,求证：ACDESADFE.

B

答案与试题解析

选择题

1.解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不

符合题意；

8、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题

意；

C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；

。、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意.

故选：B.

2.解：A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合

题意：

8、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；

C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；

。、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义,

故不符合题意；

故选：C.

3.解：V/\ABE^ADEF,

.ABAE

••~~~~二一1,

DEDF

；A8=6,AE=9,DE=2,

.69

••,

2DF

解得：DF=3,

:四边形ABC。是矩形，

AZD=90°,

22=

•••EF=VDE+DFV13-

故选：C.

4.解：①NA=N4,ZACD=ZB,

②；NA=NA,ZADC=ZACB,

：./XACD^^ABC,

③：AC2=AZ>A8,

•.•AC—AB,

ADAC

•?NA=NA,

/.△ACD^AABC,

④条件不符合，不能判定△ACOS2XABC,

故选：C,

5.解：’・•三角形的一条边由原图中的6cm变成了20小

・・・原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1,

・・・原三角形与缩印出的三角形是面积比为9：1,

缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的2,

9

故选：C.

6.解：设这个多边形的最短边长为x,

;两个多边形相似，

.24_x

••~~，

62

解得，x=8,

故选：B.

7.解：能判定AABC和△4'B'C相似的条件是£，且ZB=/4；

ADAv

理由是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

故选：C.

8.解：'：DE//BC,

：./\ADE^/\ABC,

：DE把aABC分成面积相等的两部分，

・•S/DE=S四边形O3CE，

.SAADE1

,△ABC2

.AD=£企

“ABV万2'

故选：c.

9.解:"JDE//BC,ADtDB=2：1,

/./\ADE^/\ABC,

.DE=AD=2_AD=AE

"BC-AB-T而一而，

.SAADE_,2.2-4

••----------(—),

^AABC39

・・・A、B、C正确，

故选：D.

10.解：连接AC

・・,菱形ABCOs菱形AERG,

AZB=ZE=ZAGF=60°,AB=BC,

.'△ABC是等边三角形，^AB=BC=AC=a,则3"=〃-7,BG=a-3,

：.ZACB=60°,

,?ZAGB=ZAGH+ZBGH=ZACG+ZCAG,

VZAGH=ZACG=6Q°,

：.ZBGH=ZCAGf

•；NB=NACG,

:•丛BGHs丛CAG,

.BG_BH

**AC-CG，

・a-3a-7

・・・〃2-10a+9=0,

・・.〃=9或1(舍弃)，

：.AB=9f

故选：B.

二.填空题

11.解：根据题意得

60+2b_60

90+2a-90

解得2a—3b,

,：(60+26)(90+2。)=60X90X(1+44%),

整理得30a+45b+ab-594=0,

OQO

把a^—b代入得3Q'—b+45b+—b'b-594=0,

222

整理得序+606-396=0,解得仇=6,历=-66(舍去)，

.•.Q=±X6=9,

2

.,.46=9X6=54(cm1).

故答案为54c/n2.

a

bb

a

12.解：•・,四边形ABCOs四边形A8cO',

：.CD：CD'=BC：B'C,

VBC=3,CD=2.4,B'C1=2,

：.CDr=1.6,

故1.6.

13.解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，

・・,当6和8为直角边时，根据勾股定理可知斜边为10,

解得犬=5;

34x

当6是直角边，而8是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为2板.

=T*解得

3x4

；.x=5或币,

故5或J7

14.解：：两个相似多边形面积的比为4：9,

•••两个相似多边形周长的比等于2：3,

这两个相似多边形周长的比是2：3.

故2：3.

15.解：在图中标上字母，如图所示.

根据矩形的性质，可知：DE//BC,

：./\ADE^/\ACB,

.BC_AC

•♦应一而‘

ABAD1AD

整理得，AL^-AD-1=0,

±

AD=-^；

2_

由题意得，

2

17.解：设。P=x,则8尸=8£>-x=14-x,

•.•AB_L8£>于8,CDLBD于D,

；.NB=ND=90°,

...当胆典时，△ABPS^CQP,即2J4-x

CDDP4x

解得x=孕，

5

BP=14--=8.4；

5

当组里•时，XABPsXPDC,即2]4-x；

DPDCx4

整理得x2-14x+24—0,

解得xi=2,X2=12,

BP=14-2=12,BP=14-12=2,

.•.当8尸为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以尸、B、A为顶点的三角

形相似.

故8.4或2或12.

18.解：（1）当乙4人7=90°时，AF1.BC,

'：AB=AC,

：.BF=—BC：.BF=4

2

YOE垂直平分8F,

：BC=8

：.BD=­BF^2.

"：AB=AC

；.BM=CM

在RtZ\AA/C与RtZXF4c中，ZAMC=ZFAC=90°,NC=NC,

△AMCs"4C,

•AC=MC

,EFC-AC

MC

：AC=5,MC=—BC=4

2

：.FC=—

4

9R7

：.BF=BC-FC=8--=—

44

17

：.BD=—BF=—

28

故2或卷.

19.解：,・,四边形ABC。为平行四边形，

：.AB=CD=3fBC//AD,

•：E为BCk一点、,

：.CE//AD9/FEC=NFAD,/FCE=/D,

.-.△FCE^AFDA,

・CE_CF_CF

**AD-DF-CF-<D，

又・・・CO=3,CF=1,AO=4«,

:.CE=M，

故

20.解：如图所示：

•・・4B=AC,AD=CD,AABC^ADAC,

・,・婚=8。乂。，

・・・AC=«,AD=-|,

：.CB=29

♦：AABC^ADAC,

・・・ZACB=ZCAD,

J.CB//AD,

*：AB=AC9F为BC中点、,

：.AFLCB,BF=CF=1,

：.ZAFC=90°,

•:CB//ADf

：.ZFAE=ZAFC=90o,

・・・AC=«,

：・AF=版,

o

VAD=4,E为AD中点,

21.解：VZABC=50°,ZBAC=60°,

・・・NACB=1800-NABC-NB4c=70°,

*.•XNBDsXNCE,

ARAn

ZBAD=ZCAE,

ACAE

ARAC

ZBAD+ZDAC=ZCAE+ZDAC

ADAE9

：.ZBAC=ZDAE,

:.△BACSXDAE,

：./AED=/ACB,

，NAED=70°.

22.解：根据题意得NAE8=NCE£>,

VRtAAEB^RtACED,

.AB_AEHnAB_21

••-，K|J，

CDCE1.62.5

解得：AB=13.44.

答：教学楼的高度为13.44〃?.

23.解：(1)图1中，

•：AB//CD,

.PC=CD=1

故答案为1：3.

②如图3所示，作点A的对称点A',

连接4'C,交8。于点P,

点P即为所要找的点，

■:AB//CD,

：.XAPBsXCPD.

24.(1)解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等;

②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例；

③两个大小不同的正方形相似，是真命题；

故假，假，真；

(2)证明：如图，连接B。，BXD\.

-BCCD

'：ZBCD=ZB\C\D\,且~^7=C]DJ

：.ZCDB=ZC\D\B\,ZCiB]£)i=ZCBD,

..AB_BC_CD

•A/]-BRi飞业J

BD_AB

,•B7D7-M7,

"/N4BC=/4B£,

・•・△A8D〜△ABO，

ZA=ZAZADB=Z

I'A1D1B1,

•.•品=鬲二法磊'ZADC=ZA1D1C1^=^'>/ABC=/A闰C”

NBCD=NBCDI，

：.四边形ABCD与四边形A\B\C\D\相似.