北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题1.18 直角坐标系背景下的特殊平行四边形（基础篇）（专项练习）

专题1.18直角坐标系背景下的特殊平行四边形（基础篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】直角坐标系背景下的菱形1．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（-1，-1）（2，-1），则顶点D的坐标是（

）A．(-3，2) B．(3，-2) C．(3，2) D．(2，2)2．如图，菱形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（

）A． B． C． D．3．如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是，，对角线相交于点O，则点C的坐标为（

）A． B． C． D．4．如图，菱形的边长为2，，则点D的坐标为（

）A． B． C． D．【知识点二】直角坐标系背景下的矩形5．如图，矩形的顶点，，，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点的坐标为（

）A． B． C． D．6．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为（10，8），点D是OC上一点，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是（）A．（0，4）B．（0，5）C．（0，3） D．（0，2）【知识点三】直角坐标系背景下的正方形7．如图，在矩形COED中，点D的坐标是，则CE的长是（

）A．3 B． C． D．48．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，点C为线段的中点，则的长等于（

）A． B． C．5 D．109．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到正方形，如果点C的坐标为，那么点的坐标为（

）A． B． C． D．10．如图1，正方形ABCD中，动点P从点B出发，在正方形的边上沿B→C→D的方向匀速运动到点D停止，设点P的运动路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图像，根据图中的数据，（

）A． B．4 C． D．11．如图，，，以为边作正方形，则点的坐标为（

）A． B． C． D．12．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A．（﹣1，﹣） B．（，﹣1） C．（﹣1，） D．（﹣，1）二、填空题【知识点一】直角坐标系背景下的菱形13．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，)，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→⋅⋅⋅⋅⋅⋅的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2021s时，点P的坐标为______．14．如图，已知点的坐标是，，点的坐标是，，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标是______．15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，AO＝3，原点O是AD的中点，则点C的坐标是___．16．如图，在菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（-3，1），C（1，4），则点A的坐标为________．【知识点二】直角坐标系背景下的矩形17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，，将矩形绕点B顺时针旋转，点A，C，O的对应点分别为．当点落在x轴的正半轴上时，点的坐标为________．18．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点C在x轴正半轴上，以为边在x轴上方作矩形，若点B坐标为，平面内有一条直线恰好将矩形分成面积相等的两部分，则k的值为______．19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴上，AO＝4，CO＝2，直线y＝3x+1以每秒2个单位长度向下移动，经过___秒该直线可将矩形OABC的面积平分．20．如图，长方形ABCO的边AO，CO正好落在坐标轴上，且AB=4，OA=2，点D是线段OC上一点，点E为线段AB上一点，沿DE折叠，使点B与点O重合，点C落到C＇处，则此时点D的坐标为___．【知识点三】直角坐标系背景下的正方形21．如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，点D的坐标是（2，3），则点B的坐标是_________．22．如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA1B1C1；第2次将正方形OA1B1C1绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA2B2C2…按此规律，绕点O旋转得到正方形OA2020B2020C2020，则点B2021的坐标为______．23．如图，四边形AOBC是正方形，曲线CP1P2P3⋅⋅⋅叫做“正方形的渐开线”，其中弧CP1，弧P1P2，弧P2P3，弧P3P4的圆心依次按点A，O，B，C循环，点A的坐标为（2，0），按此规律进行下去，则点P2021的坐标为_____．24．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若、为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点、的“相关矩形”．图为点、的“相关矩形”的示意图．现在已知点的坐标为，若点在直线上，若点，的“相关矩形”为正方形，则直线的表达式为___________．三、解答题25．综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，点，且a，b满足：，点C与点B关于y轴对称，点P，点E分别是x轴，直线上的两个动点．(1)求点C的坐标；(2)连接．如图，当点P在线段（不包括B，O两个端点）上运动，若为以点E为直角的直角三角形，F为的中点，连接，试判断与的关系，并说明理由．26．如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度．(1)线段BC的长为_________；(2)请在所给的网格内画出以线段AB、BC为边的菱形ABCD．并写出点D的坐标_________．27．如图①所示，以正方形的点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中线段在y轴上，线段在x轴上，其中正方形的周长为16．(1)直接写出B、C两点坐标；(2)如图②，连接，若点P在y轴上，且，求P点坐标．(3)如图③，若OB//DE，点P从点O出发，沿x轴正方向运动，连接．则，，三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点O，D，C重合的情况）？并说明理由．参考答案1．C【分析】由B，C的坐标求解线段BC的长度，再利用平行四边形的性质可得答案．解：的顶点A，B，C的坐标分别是，，，，∵轴，，轴，，故C正确．故选：C．【点拨】本题主要考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质”是解本题的关键．2．D【分析】根据菱形的性质以及中点坐标公式即可求解．解：设D点的坐标为(a,b)，菱形的对角线的交点也是两条对角线的中点，∴AC的中点与BD的中点坐标相同，∴根据中点坐标公式有：，则a=2，b=3，即D点坐标为：(2,3)，故选：D．【点拨】本题考查了菱形的性质和中点坐标公式，掌握并运用中点坐标公式是解答本题的关键．3．B【分析】根据菱形的对称性和坐标的对称变换求值即可；解：∵菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，∴A、C两点关于原点中心对称；∴C点坐标为：（，-2），故选：B．【点拨】本题考查了菱形的性质；中心对称图形的特征；坐标的对称特征：关于原点对称时横坐标、纵坐标都互为相反数；掌握菱形的性质是解题关键．4．A【分析】根据坐标意义，点D坐标与垂线段有关，过点D向x轴垂线段DE，则OE、DE长即为点D坐标．解：过点D作DE⊥x轴，垂足为E．∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，∠ABC=45°，∴AB=BC=CD=2，∠ABC=∠DCE=45°，在Rt△CDE中，CD=2，∠DCE=45°，∵CE2+DE2=CD2，∴CE=DE=，∴OE=OC+CE=2+，∴点D坐标为（2+，）．故选：A．【点拨】本题主要考查菱形的性质、坐标意义及坐标与垂线段关系，关键是根据等腰直角三角形的性质解答．5．D【分析】过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H，根据矩形的性质得到点C的坐标，求出∠COE=45°，OC=4，过点C作CE⊥x轴于E，过点C1作C1F⊥x轴于F，由旋转得∠COC1=75°，求出∠C1OF=30°，利用勾股定理求出OF，即可得到答案．解：过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，ADBC，∠CDA=∠DAB=90°，∴∠HCD=∠ADO=∠BAG，∵∠CHD=∠BGA=90°，∴△CHD≌△AGB（AAS），∵，，，∴CH=AG=5-1=4，DH=BG=2，∴OH=2+2=4，∴C（4，4），∴OE=CE=4，∴∠COE=45°，OC=4，如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点C1作C1F⊥x轴于F，由旋转得∠COC1=75°，∴∠C1OF=30°，∴C1F=OC1=OC=2，∴OF=，∴点C1的坐标为，故选：D．【点拨】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．6．C【分析】由题意可得AO=BC=10，AB=OC=8，DE=CD，BE=BC=10，在中，由勾股定理可求得，OE=4，设OD=x，则DE=CD=8-x，然后在中，由勾股定理即可求得OD=3，继而求得点D的坐标.解：∵点B的坐标为（10，8），∴AO=BC=10，AB=OC=8，由折叠的性质，可得：DE=CD，BE=BC=10，在中，由勾股定理得：，∴OE=AO-AE=10-6=4，设OD=x，则DE=CD=8-x，在中，由勾股定理得：，即：，解得：，∴OD=3，∴点D的坐标是（0，3）.故选：C.【点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.7．C【分析】根据勾股定理求得，然后根据矩形的性质得出．解：∵四边形COED是矩形，∴CE=OD，∵点D的坐标是（1，3），∴，∴，故选C．【点拨】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．8．C【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长度，再由直角三角形斜边中线定理，即可得出答案．解：∵A，B两点的坐标分别是（8，0），（0，6），∴OA=8，OB=6，∴AB==10，∵点C为AB的中点，∴OC=AB=×10=5，故选：C．【点拨】本题主要考查坐标与图形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理，掌握直角三角形斜边中线定理是解题的关键．9．B【分析】由正方形的性质和旋转的性质探究规律，利用规律解决问题即可．解：如图∵四边形OA1BC1是正方形，，将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形，∵每次旋转45°360°÷45°=8，8次一循环∵2022÷8=252⋅⋅⋅6点的坐标与点B5重合即B2022与B1关于O对称故选B【点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法10．B【分析】根据函数图像得到PA=，根据正方形的性质求出AB=BC=2，由此得到a=4．解：由图像得，当点P运动到点C时，PA-PC=，即PA=，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，当点P运动到点D停止，此时a=4，故选：B．【点拨】此题考查了函数图像的判断，正方形的性质，正确理解函数图像与图形的关系是解题的关键．11．A【分析】过C作CF⊥x轴，垂足为点F，根据正方形的性质和全等三角形的判定可证明△DAO≌△CDF，可求得DF、CF、OF的长，可求得点C的坐标．解：如图，过C作CF⊥x轴，垂足为点F，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC=90°，AD=CD∴∠ADO+∠CDF=90°,∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠OAD=∠CDF∴△DAO≌△CDF（AAS）∴DF=AO，CF=OD，∵，，∴OA=2，OD=1,∴DF=AO=2，CF=OD=1∴OF=1+2=3，∴C点坐标为（3，1）．故选：A．【点拨】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，利用正方形的四边相等找到条件通过证明三角形全等求得DF、CF、OF的长是解题的关键．12．D【分析】首先作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，利用“一线三垂直”模型证明≅，即可求出点C的坐标．解：如图所示，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则∠OEC=∠ADO=90°，∴∠COE+∠ECO=90°，∵A的坐标为（1，），∴AD=，OD=1，∵四边形OABC为正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠AOD+∠COE=90°，∴∠AOD=∠OCE，在和中，∵∴≅（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∴C（-，1），故选：D．【点拨】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形的综合以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的性质，证出全等三角形是解题的关键．13．（-，-）【分析】先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点P的运动速度求出沿A→B→C→D→A所需的时间，进而可得出结论．解：∵A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），∴AO=1，OB=，∴AB==2，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD=BC=2，∴点P每运动8秒回到点A位置，∴2021÷8=252…5，∴点P移动到第2021秒时，落在CD的中点处，∵C（-1，0），D（0，-），∴此时点P（-，-），故答案为（-，-）．【点拨】本题考查的是菱形的性质，根据题意得出点P运动一周所需的时间是解答此题的关键．14．【分析】根据菱形具有的平行四边形基本性质，对角线互相平分，且交点为坐标原点，则，关于原点对称，因此在直角坐标系中两点的坐标关于原点对称，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数便可得.解：∵四边形是菱形，对角线相交于坐标原点∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，和；和均关于原点对称根据直角坐标系上一点关于原点对称的点为可得已知点的坐标是，则点的坐标是.故答案为：.【点拨】本题旨在考查菱形的基本性质及直角坐标系中关于原点对称点的坐标的知识点，熟练理解掌握该知识点为解题的关键.15．（-6，）【分析】根据菱形的性质得出BC=AB=AD=6，AD//BC，然后再根据勾股定理求出OB的长度，即可确定点C的坐标．解：∵O是AD的中点，OA=3，∴AD=6∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AD=AB=6，AD//BC∴BO3，∴点C坐标(-6，3)故答案为：(-6，3)．【点拨】本题主要考查菱形的性质及勾股定理，掌握菱形的性质及勾股定理是解题的关键．16．（-3，6）【分析】作于，由和的坐标得出，，，由勾股定理求出，由菱形的性质得出，即可得出点的坐标．解：作于，与轴交于点，如图所示，，，，，，，，四边形是菱形，，轴，点的坐标为；故答案为：．【点拨】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．17．【分析】连接，，证明，可得，即可求解．解：如图，连接，，由题意得OA=BC=2，OC=AB=4，由旋转可知，在和中，∴（HL），∴，∴坐标为（4,0），故答案为：（4,0）．【点拨】本题考查了矩形的性质、旋转的性质和三角形全等的判定和性质，解题的关是证明．18．【分析】设l分别交AB、OC于点E、F，根据矩形的性质和B点的坐标设E的坐标为(a,1)，F的坐标为(b,0)，利用直线l平分矩形的面积可证得AE=CF，OF=BE，继而得出a，b的关系式，再利用点E、F均在l上即可求出k．解：设l分别交AB、OC于点E、F，如图，∵在矩形OABC中，顶点B的坐标为(4,1)，∴OA=BC=1，AB=OC=4，∴可设E的坐标为(a,1)，F的坐标为(b,0)，又∵E、F在直线l上，∴，，∴，，∵直线l分将矩形OABC的面积平分，∴，∵OA=BC，∴，又∵AB=AE+BE=OC=OF+FC，∴AE=CF，OF=BE，AB=OC=4，∴4-a=b，∴，解得，经检验符合要求，故答案为：．【点拨】本题考查了矩形的性质，一次函数的性质以及解分式方程等知识，利用好直线l将矩形OABC的面积平分这一信息是解答本题的关键．19．3【分析】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝3x+1经过D点时，该直线可将矩形OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y＝3x+1的直线解析式，从而可得直线y＝3x+1要向下平移6个单位，进而可得答案．解：连接AC、BO，交于点D，当y＝3x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；∵AC，BO是▱OABC的对角线，∴OD＝BD，∵O（0，0），B（4，2），∴D（2，1），根据题意设平移后直线的解析式为y＝3x+b，∵D（2，1），∴1＝3×2+b，解得b＝﹣5，∴平移后的直线的解析式为y＝3x﹣5，∴直线y＝3x+1要向下平移6个单位，∴时间为3秒，故答案为：3．【点拨】此题主要考查了矩形的性质，以及一次函数，关键是正确掌握经过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积．20．（2.5，0）【分析】由折叠的性质可得BE=OE，∠BED=∠OED，然后可得OE=OD，设BE=OE=x，则AE=4-x，进而根据勾股定理可建立方程求解x，最后问题可求解．解：∵AB∥OC，∴∠BED=∠EDO，由折叠的性质可得BE=OE，∠BED=∠OED，∴∠EDO=∠OED，∴OE=OD，设BE=OE=x，则AE=4-x，∴在Rt△AEO中，由勾股定理得：，解得：，∴OE=OD=2.5，∴点D的坐标为（2.5，0）；故答案为（2.5，0）．【点拨】本题主要考查坐标与图形、矩形的性质、勾股定理及折叠的性质，熟练掌握坐标与图形、矩形的性质、勾股定理及折叠的性质是解题的关键．21．（-1，0）【分析】已知D点坐标，根据正方形性质可求出CD的长以及C点坐标，则CB=CD，结合C点坐标即可求出B点坐标．解：∵D的坐标是(2，3)，B、C在x轴上，∴DC=3，OC=2，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=3，∴OB=3-2=1，∵B在x轴的负半轴上，∴B(-1，0)．故答案为:(-1，0)．【点拨】本题考查正方形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形四条边都相等等相关性质．22．【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OABC，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B（1，1）；连接OB，由勾股定理得：OB=，由旋转得：OB=OB=OB=OB=…=；∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB=∠BOB=…=45°，∴B（0，），B（-1，1），B（-，0），B（-1，-1），B（0，-），B（1，-1），B（，0），B（1，1），…，发现是8次一循环，∵2021÷8=252…余5，∴点B的坐标与点B的坐标相同，∴点B的坐标为．故答案为：．【点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型，点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．23．（4044，0）【分析】由题意可知：正方形的边长为2，分别求得，可发现点的位置是四个一循环，每旋转一次半径增加2，找到规律，即求得点P2021在x轴正半轴，进而求得OP的长度，即可求得点的坐标．解：由题意可知：正方形的边长为2，∵A（2，0），B（0，2），C（2，2），P1（4，0），P2（0，﹣4），P3（﹣6，2），P4（2，10），P5（12，0），P6（0，﹣12）…可发现点的位置是四个一循环，每旋转一次半径增加2，2021÷4＝505…1，故点P2021在x轴正半轴，OP的长度为2021×2+2＝4044，即：P2021的坐标是（4044，0），故答案为：（4044，0）．【点拨】本题考查了平面直角坐标系点的坐标规律，正方形的性质，找到点的位置是四个一循环，每旋转一次半径增加2的规律是解题的关键．24．或【分析】由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以AC与x轴的夹角必为45°，设直线AC的解析式为；y=kx+b，解方程组即可得到结论；解：如图所示，若点在直线上，则、的“相关矩形”与轴平行的边长度为2，则或设直线AC的解析式为；y=kx+b把A，C坐标分别代入得，解得：∴直线AC的解析式为：或故答案为：或．【点拨】本题考查了一次函数解析式的确定以及正方形的性质,根据正方形的性质确定C点坐标是解题关键．25．(1)点C（4，0）(2)EF=OF，EF⊥OF【分析】（1）利用二次根式有意义条件列不等式组得出，，然后求出点B坐标，利用轴对称性质求即即可；（2）先证△AOB为等腰直角三角形，得出∠BAO=45°，然后利用直角三角形斜边中线性质，以及三角形外角性质求解即可．(1)解：∵a，b满足：，∴，解得，∴，∴，解得，∴点B（-4，0），∵点C与点B关于y轴对称，∴点C（4，0）；(2)解：结论：EF=