浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题7.5 期末专项复习之因式分解十二大必考点（学生版）

专题7.5因式分解十二大必考点【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1因式分解的概念】 1【考点2因式分解（提公因式与公式法综合）】 2【考点3因式分解（十字相乘法）】 2【考点4因式分解（分组分解法）】 4【考点5利用整体思想分解因式】 4【考点6利用拆项法分解因式】 5【考点7利用添项法分解因式】 7【考点8利用因式分解进行有理数的简算】 9【考点9利用因式分解判定三角形的形状】 9【考点10利用因式分解求值】 10【考点11因式分解的探究题】 11【考点12因式分解的应用】 12【考点1因式分解的概念】【例1】（2022·江苏徐州·七年级期中）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（

）A．ab+ac+d=aa+b+d C．a+ba−b=a【变式1-1】（2022·山东·海川中学八年级期中）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．a2﹣a+12 D．a2+2ab﹣【变式1-2】（2022·云南省个旧市第二中学八年级期中）下列多项式中，不能进行因式分解的是（

）A．a3－3a2＋2a B．a2－2ab＋b2－1 C．－a2＋b2 D．－a2－b2【变式1-3】（2022·上海·七年级期中）下列各式中，正确分解因式的个数为（

）①x②x③−2④a⑤(m−n)(2x−5y−7z)+(m−n)(3y−10x+3z)=−(m−n)(8x+2y+4z)A．1 B．2 C．3 D．4【考点2因式分解（提公因式与公式法综合）】【例2】（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：(1)4a(2)a2【变式2-1】（2022·广东·佛山市顺德养正学校八年级期中）已知a+b=12,ab=−【变式2-2】（2022·甘肃·临泽县第三中学八年级期中）分解因式．(1)a(2)x【变式2-3】（2022·浙江·宁波大学青藤书院七年级期中）因式分解：(1)mx(2)2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．【考点3因式分解（十字相乘法）】【例3】（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期中）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．例如：将式子x2＋3x＋2因式分解．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．请仿照上面的方法，解答下列问题：(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______________(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；【变式3-1】（2022·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式x2+a+b(1)x2(2)x2(3)x2(4)2018x2【变式3-2】（2022·浙江杭州·七年级期中）分解因式：x+2x−3【变式3-3】（2022·贵州铜仁·七年级期中）(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+ca≠0分解因式呢？我们已经知道：a1x+c1a2x+c2=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x例如，将式子x2−x−6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项−6也分解为两个因数的积，即−6=2×−3；然后把1，1，2，−3按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×−3+1×2=−1，恰好等于一次项的系数−1请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：①

2x②

6x(3)【探究与拓展】对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，①

分解因式3x②

若关于x，y的二元二次式x2+7xy−18y【考点4因式分解（分组分解法）】【例4】（2022·上海市娄山中学九年级期中）分解因式：x2【变式4-1】（2022·上海·七年级期中）因式分解：9−4【变式4-2】（2022·湖南常德·七年级期中）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．【变式4-3】（2022·福建省福州延安中学八年级期中）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a−7b，求整式M的最小值．【考点5利用整体思想分解因式】【例5】（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：x+y2解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A再将“A”还原，得原式=x+y+12．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请利用上述方法将【变式5-1】（2022春·河南平顶山·八年级统考期末）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+3x﹣9）（x2+3x+1）+25进行因式分解的过程．解：设x2+3x＝y原式＝（y﹣9）（y+1）+25（第一步）＝y2﹣8y+16（第二步）＝（y﹣4）2（第三步）＝（x2+3x﹣4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（）；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；（3）请你用换元法对多项式（9x26x+3）（9x26x1）4进行因式分解．【变式5-2】（2022春·湖南永州·七年级统考期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3【变式5-3】（2022春·陕西榆林·八年级统考期末）先阅读材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，得到原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法将下面的式子因式分解：（1）（a+b）（a+b﹣2）+1；（2）（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4．【考点6利用拆项法分解因式】【例6】（2022秋·江西新余·八年级统考期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：例1．ax+by+bx+ay=例2．2xy+（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：例1．x请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：(1)分解因式：①x2−(2)分解因式：a2(3)若多项式ax2−9y2【变式6-1】（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）阅读材料：把代数式x2x===(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2(2)拓展：把代数式x2+4xy−5y2因式分解得______；当【变式6-2】（2022春·全国·七年级专题练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：x2②拆项法：例如：x2仿照以上方法分解因式：(1)4x(2)x2【变式6-3】（2022秋·陕西汉中·八年级统考期中）阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=x======像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用上述方法将下列各式进行因式分解．(1)x2(2)a4【考点7利用添项法分解因式】【例7】（2022年河北省邢台市九年级中考第三次模拟数学试题）嘉琪采用一种新的方法将x2x2=x2=x−22=x−2+1x−2−1=x−1x−3(1)③的变形依据是．(2)仿照嘉琪的做法，分解因式x2【变式7-1】（2022秋·上海·七年级校联考期末）阅读材料：在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为A2−B解：原式===即原式=请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．分解因式：(1)4x(2)x4【变式7-2】（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务．把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）．它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．把x4+4分解因式．该因式只有两项，而且属于平方和x22+x4任务：请你仿照上面的做法，将下列各式分解因式．(1)4m(2)x2【变式7-3】（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读材料，解答问题：我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实多项式的因式分解还有别的方法．下面再介绍一种方法：“添（拆）项分组分解法”．例题：x3+8=x3=x=x＝________（两组有公因式，再提公因式）(1)请将上面的例题补充完整；(2)仿照上述方法，因式分解：64x(3)若a，b，c是△ABC三边长，满足3a【考点8利用因式分解进行有理数的简算】【例8】（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）计算1−122A．512 B．12 C．712【变式8-1】（2022秋·四川巴中·八年级统考期末）用简便方法计算20082﹣4016×2007+20072的结果是_____．【变式8-2】（2022秋·广东惠州·九年级校考开学考试）利用因式分解简便运算：52.82【变式8-3】（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）利用因式分解计算：(1)8.67×15.3+15.3×1.33(2)10×91【考点9利用因式分解判定三角形的形状】【例9】（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）已知a、b、c是△ABC的三边，a2−2ab+b2=0且2A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【变式9-1】（2022春·陕西汉中·八年级统考期末）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣2ab+b2=ac﹣bc，试判断△ABC的形状，并说明理由．【变式9-2】（2022秋·福建漳州·八年级统考期末）【知识介绍】换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．均值换元法是换元法主要形式之一．【典例分析】已知实数x，y满足x+y＝4，试求代数式x2+y2的最小值．【分析】均值换元法：由x+y＝4，得x与y的均值为2，所以可以设x＝2+t，再代入代数式换元求解．【解法】∵x+y＝4，∴设x＝2+t，y＝2﹣t，∴x2+y2＝（2+t）2+（2﹣t）2＝2t2+8≥8，∴x2+y2的最小值是8．【理解应用】根据以上知识背景，回答下列问题：(1)若实数a，b满足a+b＝2，求代数式a2+b2+2的最小值；(2)已知△ABC的三边长a，b，c，满足b+c＝8，bc＝a2﹣8a+32，请判断△ABC的形状，并求△ABC的周长．(3)若实数a，b，c满足a+b+2c＝6，ab＝2c2﹣4c+10，求a，b，c的值．【变式9-3】（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期中）阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2−2xy+y1．知识运用：试用“分组分解法”分解因式：x22．解决问题：（1）已知a，b，c为△ABC的三边，且b2（2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且a2①当k=1时，求a+c的值②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可）【考点10利用因式分解求值】【例10】（2022·湖南永州·七年级期中）在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3+2x2−x−2因式分解的结果为x−1x+1x+2．当x=18(1)根据上述方法，当x=28，y=11时，对于多项式x3(2)将关于x的多项式(m−n)x3−m+12n【变式10-1】（2022·湖南·武冈市教育科学研究所七年级期中）已知mn=1，m−n=2，则A．−1 B．3 C．2 D．−2【变式10-2】（2022·浙江·七年级期中）已知a−b=3，b−c=−4，则代数式a2【变式10-3】（2022·河南周口·八年级期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．【考点11因式分解的探究题】【例11】（2022秋·辽宁大连·八年级校考期末）做一做计算：探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为(x+a)，宽为(x+b)．(1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为．尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解．(2)若x2−7x+m=(x−9)(x+2)，则m=(3)若x2+px−4可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，则整数p的值一定是(4)若x2−4x+q可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，则整数q的值一定是A．4

B．0

C．有限个

D．有无数个【变式11-1】（2022春·江苏苏州·七年级统考期末）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若m2−2mm+2n2−8n+16=0解：∵m2∴m2∴m−n2∴m−n2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知a2+4ab+5b2+6b+9=0(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2−4a+2b(3)若A=3a2+3a−4，B=2a2【变式11-2】（2022春·江苏南京·七年级校考期末）（1）问题探究：已知a、b是实数，求证：a2（2）结论应用：已知m、n是实数，且mn=2，求3m【变式11-3】（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）阅读材料：若m2−2mn+2n解：∵m2∴m2∴m−n2∴m−n2=0，n−42=0，∴根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知a2+2b(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2(3)已知a−b=8，ab+c2−16c+80=0【考点12因式分解的应用】【例12】（2022·湖南永州·七年级期中）在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3+2x2−x−2因式分解的结果为x−1x+1x+2．当x=18(1)根据上述方法，当x=28，y=11时，对于多项式x3(2)将关于x的多项式(m−n)x3−m+12n【变式12-1】（2