材料力学知识要点

第一章

绪论

一、基本概念：

强度：构件抵抗破环的能力

1.构件应满足的三个要求：刚度：构件抵抗变形的能力

稳定性：构件保持原有平衡的能力

连续性假设：固体物质不留空隙的空满固体所占的空间

2.变形固体的三个基本假设均匀性假设：固体内各处有相同的力学性能

各向同性假设：在任一方向，固体的力学性能都相同

注：各向同性材料：金属等各向异性材料：木材，胶合材料，复合材料

3,两个限制条件：线弹性：材料变形处于线弹性阶段。？

小变形：变形及变形引起的位移，都远小于物体的最小尺寸

4,原始尺寸原理：小变形条件下，常用变形前构件的尺寸代替变形后的构件尺寸来计算，

即不考虑变形带来的影响。（•处例外：压杆稳定）

5,圣维南原理：如用与外力系静力等效的合力来代替原力系，则除在原力系作用区域内有

明显，差别外，在离外力作用区域略远处，这种代替带来的误差很小，可以不计。

6,材力中的力：

表面力集中力分布载荷

作用方式：体积力

外力

按种类分

内力：在外力作用下，构件因反抗或阻止变形而产生于物体内部的相互作用力

按作用方式分静载荷

交变载荷

动载荷

冲击载荷

1,截（取）：用假象面把构件分成两部分

7,研究内力的基本方法--截面法2,代（替）：用内力代替截去的部分的作用

3,平（衡方程）：列静力平衡方程，求解未知内力

8,应力--内力的集度（任一应力应指明两个要素：哪一点，哪个方向上）

（1）平均应力

定义：单位面积上的内力

-F-

定义式：Pm="J（注意：Pm是一个矢量，有方向）

（2）应力

定义：平均应力的极限

一dF

定义式：Pm='©Af0）

单位：MPa,

矢量性：是矢量，有大小，方向。

正应力：

定义：应力方垂直于截面的分量（△尸垂直于截面的分量在截面上的应力）

定义式：（7=—（JA->0）

dA

切应力：

定义：应力》平行于截面的分量（,平行于截面的分量△尺在截面上的应力）

定义式：7=贮34-0）

dA

9,变形与应变

变形：在外力作用下，构件尺寸、形状发生变化的现象。

（在外力作用下，构件内部任意两点之间相对线位移或两正交线段的相对角位移）

应变：变形的量度，量纲为1。

尺寸变化：线应变一£（某一点沿某一方向的线度变化）

£=—（dx—>0）

dx

形状改变：切应变一/（原正交线段变形后的角度改变）

7=（：-/"加州）（加一。,瓦.0）（注意：结果为弧度制）

10,杆件变形:

（四种）基本变形：拉伸与压缩变形，剪切变形，扭转变形，弯曲变形。

组合变形：同时发生几种基本变形的变形

10,材料力学的特点,

任务：在满足强度，刚度，稳定性的前提下，为设计安全经济的构件提供理论基础与

计算方法；

基本手段：实验

理论分析

二、重要计算：

1,应力应变公式

第二章拉伸与压缩

一、基本概念

1,轴向拉伸（压缩）

构件：等截面直杆

轴向拉压外力：外力合力作用与杆件周线上

A1

变形：纵向应变一£=杆件沿轴线伸长或缩短。

横向变形一一£，=竺Ab：杆件截面的变大或缩小（b—边长半径等线度量）

b

平面假设：原来的横截面变形后，仍然为平面且仍然垂直于轴线，

2,轴力

定义：与杆件轴线重合的内力的合力

轴力FN正负规定：拉正压负（在计算结果中注明是拉里还是压力）（正应力规定亦然）

分布规律：等截面直杆上，正应力在整个截面上均匀分布

轴力图：反映各横截面处轴力沿杆件轴线方向变化规律

截面上的应力：

横截面：＜7=—

斜截面：（Ja-O-COS*-aCCmax=。=0

(J__b

2=—sin2a(7max=70=~,)

2452

（3）,图片：低碳钢拉伸压缩力学性质:

普通弹性材料（例如低碳钢）在拉伸实验中会经历4个阶段：弹性形变、屈服阶段、强化阶

段、局部屈服阶段。

弹性形变：即材料所受拉力在弹性极限之内，拉力与材料伸长成正比（胡克定律）。当外力

撤去之后，材料会恢复原来的长度。

屈服阶段：在外部拉力超过弹性极限之后，材料失去抵抗外力的能力而“屈服”，即在此情况

下外力无显著变化材料依然会伸长。当外力撤去后，材料无法回到原来的长度。

强化阶段:材料在内部晶体重新排列后重新获得抵抗拉伸的能力,但此时的形变为塑性形变,

外力撤去后无法回到原来的长度。

破坏阶段：材料在过度受力后开始在薄弱部位出现颈缩现象，抵抗拉伸能力急剧下降，直至

断裂。

钢材在常温或在结晶温度以下的加工，能显著提高强度和硬度，降低塑性和冲击韧性，

称为冷作硬化。（把钢材加热后控制在再结晶温度以上进行轧制加工的工艺称为热轧。

而在再结晶温度以下，包括常温下进行扎制加工的工艺称为冷轧。钢材热轧具有良好

的塑性，容易成型，成型后钢材没有内应力，便于下面工序加工。。钢材冷轧具有冷

加工硬化的特性。由于冷轧具有较好的机械性能，很多直接使用的钢材都使用冷轧钢材。）

低碳钢试件拉伸时的"Y曲线

低碳钢压缩:

认为低碳钢的抗拉性能与抗压性能是相同的。屈服阶段以后，试件会越压越扁，先是压成鼓

形，最后变成饼状，故得不到压缩时的抗压强度

铸铁拉伸

ll_1A_A

两个塑性指标伸长率：5=J—xioo%断面收缩率：<p=Hxio必

1A

塑性材料-：5>5%，如钢材、铜、铝等

脆性材料：8<5%,如铸铁、混凝土、石料等

弹性模量：E=-

E

（4）,几个相关概念：

5）.2：工程上规定，无明显屈服阶段的塑性材料，将产生0.2%塑性应变所对应的应力作

为屈服指标，称为名义屈服极限，记作a02。

卸载定律：当试样加载到屈服极限后逐渐卸除拉力，则在卸载过程中，应力和应变按直线规

律变化。

冷作硬化：加载到弹塑性变形？后卸载后，短期内再次加载时，材料出现的比例极限提高，

而塑性变形、伸长率减小的现象。

应力应变（9-左）图

（5）拉压超静定问题：未知数＞可用静力平衡方程数（无法用静力平衡方程求解的问题）

求解步骤：1,判断种类，未知数个数，平衡方程数目；

2,列出可用的静力平衡方程：

3.列出变形协调方程：（以切线代替弧线）

4.列出物理方程：胡可定律

装配应力/温度应力：超静定结构中，由于加工误差/温度变化引起的应力。

（6）,能量关系

定义:弹性固体在外力作用下因变形而储存的能量

应变能：

计算公式：

应变能密度:单位体积内的应变能.

能量方法：卡氏定理

（7）,应力集中：

定义:因构件外形突然发生变化而引起的局部应力急剧增大的现象

应力集中系数：变化规律:尺寸变化越急剧，越尖锐，开孔越小,应力集中就越严重.

不同材料对应力集中的反应：塑性材料:有屈服，使得各处应力在发生屈服后趋于一致

脆性材料:没有屈服，应力集中处应力一直最大，直至破环

二，重要计算

强度条件：

许用应力：塑性材料：同=上

n

脆性材料：旧=8

n

拉压胡克定律B=E£

FNI

△1=——

EA

（EA——杆件抗拉、压刚度条件：比例极限内）

第三章剪切挤压

一，基本概念：

1,剪切特点：受力特点：构件某一截面两侧，有等大，反向，且作用线相互平行的外力作用

变形特点：构件沿两平行力的剪切面发生相对转动

2,内力应力

剪力：剪切面上的内力，与剪切面平行.

（平均）切应力：T=—（认为切应力在剪切面上均匀分布）

A

切应力互等定律：在构件内部的单元体上，切应力成对出现，大小相等，

3,剪切胡克定律三个弹性常数之间的关系

剪切胡克定律：T=GyG--切变模量，切应力在剪切比例极限以内.

材料三个弹性常数之间的关系：G=—（三者不独立）

2（1+H）

4,剪切能量:

剪切应变能:

5,挤压

挤压:构件局部面积承受压力作用.

F

平均挤压应力：Obs=—（假设挤压应力在有效面积上均匀分布）

Abs

Abs平面接触：Ab，=S

柱面接触：Abs=O'h

纯剪切：

二，重要计算：

1,剪切强度条件：T=—<[T]

A

2,挤压强度条件：Qbs=—<[obs]

Abs

3,薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力：

Me

T=W5

其中：--圆管平均半径3--壁厚Me-—外力偶矩

第四章扭转

一，基本概念

I,扭转

构件特征：等截面直杆

受力特征：两个不同的截面上有一对等大，反向的扭矩

扭转平面假设：等直圆轴变形前为平面的横截面变形后仍然为平面，而且大小，形状

不变，半径仍为直线，相邻两横截面间距也不发生变化

变形特征：杆件各横截面发生绕杆轴的相对转动

2,扭矩扭矩图

扭矩定义：矢量方向沿轴线的内力偶矩

正负规定：外正内负

扭矩图：

3,切应力分布规律：

圆轴扭转切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，方向与该点的半径方向垂直

公式：Tp=—

Ip

4,圆轴扭转变形：

二，重要计算

1,圆轴最大切应力：

*=曳IP极惯性矩

Ip

T

T=——Wp截面抗扭系数

WP

2,扭转角

相距1的两截面间的相对扭转角：（p=—（计算结果为弧度制）

GIp

T1

单位长度扭转角：＜p'=————（单位：着）

GIp71/m

3,圆轴的截面图形的几何性质：

坨=孚・（1-£）a=l-内外半径比

32D

W等（7）

第五章弯曲内力

基本概念：

1.几种约束方式及其特点:

约束

轴力FN剪力Fs扭矩T弯矩M

方式

较支座M=O（钱

上无集中

力偶作

用）

固定较支M=0

座

可动较支

座

固定端

2,平面弯曲（对称弯曲？）

简支梁

构件：梁-一以弯曲为主要变形的杆件悬臂梁

外伸梁

受力特点：外力偶矩M,剪力FS的作用面与梁的形心主惯性平面重合

变形特征：弯曲后，杆件轴线变成在外力作用面内的光滑、平坦曲线

分类：纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩的总用（（JWO,t=o）

横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩，又有剪力（OHO，THO）

3,弯曲内力：表格形式

4,叠加原理：小变形时，FS（X）M（x）与外载荷成线性齐次关系，可以叠加。但强度计算

一般不叠加，因为他可能造成极值的湮没。一般叠加多用于刚度计算，图乘法中。

二，重要计算

1,q(x)、F(x)、M(x)、之间的关系

(1),微分关系：

(2),积分关系：

集中力作用处：

集中力偶作用处:

2,M(x),F(x)的计算：

(1),一般弯矩的计算：

I,M=['q(x)(b-x)dx

d2M(X)

II,q(x)积分两次，并结合边界条件:=q(x)

dx2

(2)分布载荷按三角形分布时力矩的计算:

M(x)=±gq(x>x1⑵x

X•-------X

3

其他计算技巧;

第六章弯曲应力

一，基本概念：

1.中性层，中性轴：

中性层：梁弯曲变形时，其内部存在的一长度不变的纤维层，称为中性层。(既不伸长，也

不缩短，故应力为零，是梁的拉压分界面)

中性轴：中性层与横截面的交线。

2,纯弯曲的变形假设：(1),平面假设：横截面积变形后仍为平面。

(2),纵向线段间没有正应力。

1_M

pElz

图：X,Y,Z的分布

3,纯弯曲

(1)几何关系：纵向线段的应变与其到中性层的距离成正比：

£=?y--该点到中性层的距离P--

P

(2)物理关系：任一纵向线段的正应力与其到中性层的距离成正比。

o=Es=E—

P

(3)静力关系：

FN=[crdA=0

JA

Mz=M=jyodA

(4)正应力的计算：

M-y

o=----

Iz

Iz…-惯性矩，y—该点到中性层的距离

条件：1,弯曲平面假设，

II,各层之间无挤压，

III,线弹性，

IV,拉压弹性模量一致；

V,纯弯曲，

VI,1>5,1一一梁的跨度。

h

4,(横力弯曲)弯曲切应力

假设：(1),切应力方向都平行于剪力Fs,(2.),t沿宽度方向均匀分部。

Fs-S；

计算公式：=T

Iz-b

5,等强度梁：

6,提高梁弯曲强度的措施：

(1),合理布置载荷，降低|M|max;

(2),优化截面形状，适当增大W。

二，重要计算:

1,弯曲正应力的强度条件：

|M|max

=

Gmax=-----w--------WOmax（E（Ec»拉压一致）

2,几种常见截面的最大切应力：

3Fs

（1）,矩形（高的中点处）：Tmax=—­—切应力沿着高度成抛物线变化。

，A

4

（2）,圆形（垂直于FS的直径上）：Tmax=-

A

（3）,工字梁：腹板几乎承担了全部的剪力，而腹板上的切应力近乎均匀分布,

Fs

Tmaxa——（翼缘上的切应力近似为0）

bh

3,常见几何图形的截面性质:

图形备注

IzlyWzIpWP

正方形

矩形

L=g

12

圆形（环）

相关的几个公式:

Ip=ly+L

第七章弯曲变形

•,基本概念：

1,

挠曲线：弯曲变形后梁的轴线，称为挠曲线。

挠度：梁的轴线上某点在弯曲平面上发生的线位移，即为w、y。

挠曲线方程：W=f（x）.

截面转角：弯曲后梁的横截面相对于原来位置转过的角度，记为。。

正负规定：

2,平面弯曲的变形：小变形情况下，梁的任意两截面绕各自的中性轴做相对转动，梁的轴

线变为平面曲线，变形程度一挠曲线的曲率来亮度。

纯弯曲时:_L_竺

pH

1_M（x）

横力弯曲时:

P（x）臼

3,挠曲线近似微分方程（欧拉-伯努利方程）

d2w_M（x）

（小变形条件下成立）

dx7-EI

4,叠加原理：

各载荷同时作用下任一截面的挠度和转角等于各个载荷单独作用时该截面的挠度、转角

的代数和。

条件:材料线弹性、小变形：

5,求解超静定梁--变形比较法：

（1）,选择静定基：建立相当系统；

（2）,变形比较法：列出变形协调方程；

（3）,综合物理方程、变形协调方程，联立求解。

二，重要计算:

1,积分法求梁的转角与挠度（最基本的方法）:

脓）=竽M口X+C

dxJEI

w（x）=j（j噜%x+C）+D

（1）,积分常数c、D由边界条件、连续性条件确定，用w（o）、e（o）,w（i）、e（i）比较方

便；

（2）,M（x）不是光滑连续函数时，应用上式分段积分，而且每多一段就多两个常数。

（3）,梁的两个刚度条件:

|0|max<[0]

|w|max<[w]

用变形比较法求解超静定问题:

第八章应力分析应变分析

一.基本概念：

1,一点的应力状态：

点：围绕研究位置处所取出的微小正六边体，即单元体。

一点的应力状态：

主应力：

主平面：

主单元体：

2,应力状态的分类：

简单应力状态单向应力状态：三个主应力中只有一个不为0。

复杂应力状态平面应力状态：三个主应力中有两个不为0。如薄壁容器器壁上的一点

空间应力状态：三个主应力都不为0。如两物体挤压时的接触点。

3,平面应力状态：

(1),平面应力状态受力图示：取应力为0的方向为Z轴，且使5、6在z、x方向。

正负规定：外法线与X轴的夹角--a:由X轴.外法线n的角度为正。

T--:使单元体发生顺时针转动的切应力为正。(将应力“看成”力)

6---:拉正压负。

图:

(2),解析法：原平面转过a后的应力状态:

Ox+byOx—Gy_._

Oa=-------------+----------------cos2a-T-sin2a

22

—QTy

Ta=------------sin2a4-T-cos2a

2

注：I,Ta=-Ta+90°

II,Oa、Oa+90°是转过a后的两个正应力。

（3）,求最大/小主应力面及其方位:

、2

Cx+by+Qx—Oy2

O+Txy

2

tan2a（）=--------

CTx-CTy

实际上还有一个0应力面，bmax、bmin可能比0大或者小，故此处的6nax、bmin不一定

是该点的最大/小正应力。

（4）,最大/小切应力及其方位：

=±U+森

V\/7

-o\—51

tan2al=----------=-----------

2・Txytan2ao

（5）,图解法（莫尔图--简单，直观）

图：

4,空间应力状态：

最大/小正应力：CTmax=O'1>Q2>Q3—C5"min

最大切应力（一点的最大切应力）：（tmax平行了6方向，与6、6作用面成45°角）

3—03

Tinax=T13=---（注意区分平面最大切应力和一点的最大切应力）

5,复杂应力状态下的应变能密度（应变比能）

三向应力状态下的体应变：（3+02+03）=9?

CTm=§(6+6+6)

体积改变比能:

畸变能密度:

二，重要计算:

1,平面应力计算（两种手段）:

2,广义胡克定律：

Qx—U-(Oy+6)]

-U-(oz+Cx)]Yyz=-

G

5-u-(ax+5)]

2(1+M)

（注：T不决定e,o■不决定y）

第九章强度理论

一，基本概念:

1,四种经典强度理论:

表格：

注：

(1)脆性材料，通常以断裂形式失效，宜用第-、二强度理论，统称为第一类强度

理论(脆性断裂破坏理论)；

(2)塑性材料，通常以屈服形式失效，宜用第三、四强度理论，统称为第一类强度

理论(屈服失效理论)；

(3)无论何种材料，在三向拉应力相近时，都以断裂形式失效，应用最大拉应力理论；

(4)无论何种材料•，在三向压应力相近时，都可以引起塑性变形，应用最大拉应力理论;

二，重要计算:

(1),Qr.3=Ver2+4T2<[a]

5.4=Vn2+3T2<[a]

222

(2)对于圆轴的弯扭组合：(此时有：M=Mx+My)

Gr,3=—A/M2+T2<[cr]

w

Or,3=—A/M2+0.75T2<[c>]

w

第十章组合变形

综合性，总结性强，

叠加法的关键：1,分解2,叠加

一，基本概念：

1,组合变形：构件在外力作用下，同时发生两种或两种以上的变形。

2,叠加原理：在线弹性，小变形条件下，组合变形构件的力学响应（内力、应力、变形）

可以分成各个载荷单独作用下相应力学响应的叠加，而且与各个载荷的加载秩序无关。

注：叠加方式是灵活的，可以各个力顺次叠加，也可以几个力系内部先叠加后在总体叠加。

线弹性的意义：内力，应力，变形等力学响应和外力成线性关系。

线弹性材料，载荷在弹性范围内满足胡可定律=力学响应同外力成线性关系。

小变形：（1）,保证能按初始形状或尺寸进行分解；

（2）,保证与加载秩序无关。

全部限制条件：服从胡可定律，小变形，细长杆，所求应力点远离外力作用点。

3,组合变形的强度计算：

（1）,将外力分解为若干个基本变形条件下的静力等效系：

（2）,计算各个基本变形条件下对应外力单独作用时的力学响应，画出内力图。

（3）,将各基本变形下的同类应力进行代数叠加，确定危险点的位置及应力状态。

（4）,由危险点的应力状态及材料力学性能，选择合适的强度理论进行计算。

二，重要计算：

1,斜弯曲：（两个相互垂直的平面上的平面弯曲的组合）

典型例子：

MvM?

应力计算：ax=--z±—-y

lyIz

re.fi,iMymax,Mzmax1

强度条件：bmax=——±-------------<O

WyW

特点：

（1）,构件轴线为一条空间曲线，不是外力作用面内的平面曲线

（2）,危险截面上My、Mz未必同时达到最大值；

（3）,危险点在距中性轴的最远处；

（4）,中性轴一般不垂直与外力作用线，或中性轴未必和弯矩矢量M重合;

2,轴向拉（压）弯曲组合:

FNMyMzFNMr-1

Cmax——-------1-----------1--------——--------1-------S(7

AWyWzAWLJ

特例……偏心拉压：

FN

将偏向载荷向截面形心等效，得轴力FN,My=F-ZF,MZ=F-YF,计算对应的=F

A

.画出各内力图进行代数叠加。

Wz

3,圆轴的弯扭组合（弯曲…扭转组合）

应力计算：=丁=JMJ+MJ

T

仃=一（对于圆轴，任一直径都是形心主惯性矩，故有：M2=My2+Mz2

Wp

22

强度校核：b,3='VM+T<[a]

w

ar,=±VM^0.75.r<[c]

4,圆轴的拉压弯扭组合（拉伸压缩与弯曲扭转的组合）:

强度校核：=张］

4

对圆轴：W=W=W=-Wn=—（1-a

z丫2P32'

5,一般条件下的第三、四强度理论：

第三强度理论：两个

第四强度理论：

第十一章压杆稳定

一，基本概念：

1,稳定：中心受压直杆处于直线平衡状态，受侧向干扰后变为弯曲平衡状态，干扰撤除后,

压杆能恢复直线平衡状态，称压杆的平衡是稳定的。

失稳（屈曲）：干扰撤除后，压杆不能回恢复直线平衡形式，而继续处于弯曲平衡状态。

简言之，经得起干扰的平衡状态称为稳定平衡状态，否则称为不稳定平衡，杆件可能会失稳。

2,临界载荷（临界压力）一Fer:使压杆失稳的最小载荷。

Fer

临界应力bcr=T：

A

3,柔度及压杆稳定的分类：

柔度（长细比）-一九：全面反应压杆长度1、约束方式R、截面性质i,对Fer的影响。

4,临界应力总图：将三种杆型的临界应力用一条曲线标示的bcr一九曲线。

图:

5,提高压杆稳承载能力的措施：

（1）,对中长杆，细长杆，尽量减小杆件柔度（相同情况下柔度的的杆件先失稳）:

减小1,

增加中间支座（约束），加强两端的约束，

合理设计截面形状，增大i。

（2）,对粗短杆，应选用屈服强度大的材料。

二，重要计算:

第十二章能量方法

一，基本概念：

1,（弹性）应变能：外力作用在弹性固体上，固体因变形而储存的能量。

2,功能原理：（弹性）固体在外力作用下发生弹性形变，引起力的作用点沿力的方向的位移。

外力在相应位移上所做的功等于固体储存的应变能。即有：

公式

（1）,忽略了其他形式的能量损耗，

（2）,基于能量守恒，与材料的特性无关，

（3）,未必是缓慢加载的；

（4）,当产生的塑性变形时，应变能只有一部分可以转化成功，在线弹性阶段则是全部

可逆的。

一个特例：当外力从0开始加载，而且始终在线弹性的范围内时:

5=W=%3

2

式中：

3,杆件基本变形时的应变能：

(1),轴向拉压时的应变能：

(2),扭转时的应变能：

(3)平面弯曲时的应变能：

4,卡氏定律：(清华版)

(1),卡氏第一定律：弹性体在外力Fi,...,Fn,...的作用下，相应点i有沿力作用方

向的独立位移且其应变能是n个独立位移的函数Vs=Vs(Ai,...A„...)测弹性体

应变能Vs对任一位移A的偏导数等于i点沿A方向的力Fi,即有：

「av

Fi=---s

5Ai

(2)弹性体在相互独立的外力Fi,...,R,…的作用下，相应点i有沿力作用方向的独

立位移…，弹性体的虚应变能V：可表示为n个独立外力的函数,即：

Vs*=Vs*(Fi,...Fi,...)

则虚应变能对任一外力Fi的偏导数等于该点沿Fi方向的位移Ai,即：

Aav*

Ai=----

SFi

注：卡氏第一、二定律可用于非线弹性材料；

此处应变能表示成独立位移的函数，虚应变能表示成独立外力的函数，即Fi,Fj(A,4)之

间不相互依赖；

对于线弹性体，卡式卡氏定律变为：

对于线弹性体，有丫=丫*,此时卡氏第二定律变为：

Ai=—(Ai为正，方向与F-一致)

SFi

另：线弹性构件的应变能对任一外力Fi的一次偏微商，等于Fi的作用点沿作用线方向

A的位移，

这就是最常用的卡氏定律的形式。

此时应变能可写成：Vs=Zn;1EA（克拉贝隆原理）

i=I2

注：（1）,条件：符合叠加原理的线弹性材料，小变形情况；

实际使用中，只需求出Fi的相关能量，不必求出无关的Fj的部分（偏导与其无关）;

所求位移处没有外力作用，可以施加一个和所求位移&同向的虚载荷Fo,求完偏导后再令

Fi为0即可得3i；

（2）,Vs与加载顺序无关，仅与载荷终值有关；

（3）,A为结构终值位移，变形不能叠加：

5,虚功原理：虚位移中，外力所做虚功等于内力在相应虚变形上的虚位移；

简言之，外力虚功等于杆件的虚应变能。

虚功原理与材料性能无关，可用与线弹性，非线弹性材料。

6,单位载荷法：（即莫尔积分，虚功原理的特例）

令单位载荷为虚载荷，他在给定载荷截面上产生的内力分别为品（x）,R（x）,M（x）,f（x）,

可得单位载荷法的基本方程：

12={M（x）d（0）+jT（x）d（（p）+^（x）d（Al）+庐（x）d仇）

此式基于虚功原理，不受材料性质约束。

特别的，当结构为线弹性时，欲求i点的位移矢量，可在i点加载一与A同向的单位载荷

F=l,则：

Ai=V「M（x）而⑻dx+V（T（X）.亍（XL**y卜FN（X）.取+ynFs（x£|（x）dx

单位载荷法求解步骤：

（1）,计算真实载荷作用下各构件的内力分量；

（2）,根据所求位移施加对应的单位载荷，并计算单位载荷作用下的个处内力分量；

（3）建立方程，对全结构积分，求和。

而（x）,亍（x）K（x）,&（X）为单位力引起的内力分量。与卡氏定律中的对应量一致：

向X）=3而（X）3

''雨'，SFi

7,图形互乘法：（莫尔积分的简化计算方法）

对等直杆，如果M(x),而(x)中有一个为线性，则莫尔积分可以简化为:

完整式：

「LWFNFNCLWT・TClWmyMyclWmzMZC

Ai=>-------+>------+〉------—+>---------

乙EA人dp人EI、△Elz

Wmz,Wmy,WT,WFN：响应内力分量的内力图面积

Mzc,Myc,Tc,FNc：内力图形心处对应的单位力产生的内力数值。(对于拐，要区分：)

(1),内力图尽量分解为若干简单载荷，以便确定面积，形心；

(2),条件：等直杆，可至少有一个为线性阶梯杆应分段求解；

(3),图剩是可逆的，即：这一方法有事可以简化计算；

(4),同类内力相剩，要注意区分各个方向的同类内力分量。

7,互等定律：

功的互等定律：第一组力在第二组里引起位移上做的功，等于第二组力在第一组力引起的位

移上做的功，即：

位移互等定律：在功的互等定律中，如果B=F2(两组力相等)，则有:

S12=521

条件：线弹性，小变形(形状任意)

F—广义力，3--广义位移；

位移互等定律中，只要求Fl,F2数值相等；

不要求其量纲相同，而&2,也只是要求数值相等。

二，重要计算:

1,杆件应变能的一般公式:

[iM

Vsx+1誓MS署"热X

*h2GIp

其中剪力应变能较小，常可以忽略不计。

2,线弹性体结构的卡氏定律：

3,线弹性结构的单位载荷法：

4,图剩法：完整形式：

5,几种图形的图乘：

图形

第十三章超静定系统的能量法

一，基本概念：

1,超静定结构，超静定系统：

定义：用静力平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构。

超外力超静定：超静定结构外部约束不能由静力平衡方程全部确定

静（结构存在多余的约束反力，但内部没有多余约束）

定分类：内力超静定：超静定结构内部约束对应的内力不能由静力平衡方程全部确定

系（结构约束反力个数不超过独立平衡方程数，但结构内部有多余约束）

统混合超静定：内外超静定系统兼而有之

超静定次数k：k=内约束个数+外约束个数-独立平衡方程

特点：1.刚度大，变形小

2.内力分配和构件刚度有关

3.温度变化，加工误差都会出现内力

2,几何不变结构（运动不变结构）：只有变形引起的位移，没有刚体位移的结构。

静定结构：全部约束反力与内力都可有静力平衡条件求得。

注：“多余约束”是指在静定结构基础上增加的约束，对于维持几何不变性是多余的，

但它可以提高结构刚度，或降低应力水平，不是真正意义上的多余。

3,常用超静定次数的确定：

内力超静定：平面结构：单个封闭框架是3次内力超静定

空间结构：单个封闭框架为6次超静定

外力超静定：确定全部约束个数，在将结构视为一个整体，确定系统的独立平衡方程个数,

超过3个约束反力的平面结构就是超静定结构。

几个特定结构：

（1）,桁（h6ng）架：直杆用较连接，载荷只作用于节点的杆系。（此时杆件只承受轴向拉压）

超静定次数：k=m—2n+3

m—桁架结构的杆件数

n---桁架节点数。

中间较：当中间较连接n个杆件时，系统增加n-1个M=0平衡方程。

（2）,刚架：由若干个杆件端点刚性连接在一起组成的框架，可承受结点力，也可承受

非结点力。

一个闭合刚架是3次超静定结构，用一截面切开一个切开，使其变为超静定结构，可出现内

力FN,M,FS。大型平面结构，每增加一个闭合框架，结构超静定次数就增加3次，平面受

力闭合圆环与之类似。

注:超静定次数由由结构，受力状况唯一确定（k=内约束个数+外约束个数-独立平衡方程），

至于用对称（反对称）降阶，甚至可以化为静定结构，则只是简化手段，与超静定次数无关。

4,静定基：解除超静定结构多余约束后得到的静定结构，（其选择有多样性，解题时应该选

取最简化的，但必须满足几何不变、静定两个条件）

相当系统：在对应静定基上加外载荷以及多余约束力的系统。

二，重要计算：

1,超静定系统的求解方法：

力法（柔度法）：以多余约束为基本未知量，将构件的变形，位移表示为未知力函数，由变

形协调方程作为补充方程求解未知约束力的方法。

位移法（刚度法）：以结点位移为基本未知量，。。。。。

力法解题步骤：

（1）.判断静定情况：1,是否是超静定，2外力、内力、混合超静定3,超静定次数

（2）,选择静定基，建立相当系统

（3）,求变形协调方程（简单系统用变形比较法，复杂系统用正则方程）

（4）,求解补充方程，得出全部未知力。

2,力法的正则方程：

1,对n次超静定系统：

8nXi+§12X2H--------1-SinXn=Ai

621X1+822X24-----F&aXn=A2

SnlXl+8112X2+…+SraiXn=An

Xi--第i处约束的约束力

5ij--柔度系数）（次=8，位移互等），由莫尔积分（曲杆）或图剩法确定（等直杆），

注意：1,条件：线弹性，小变形；

2,A未必为零。

3,外力超静定中对应与绝对（线，角位移），内力超静定中对应于相对移动，转动。

3,对称与反对称的利用（用于降阶）：

结构对称：平面结构的尺寸，形状，材料•，约束条件都对称于某一轴或某几轴。

对称情况对称量非对称量

结构对称所有物理量关对称面上

于对称轴对称所有非对

外力对称称物理量

为零。

。=0,R=：0

T=0,T=0

结构对称所有物理量关对称面上对称物

于对称轴反对理量为零。

外力反对称称

△y=O,0A/B=0

M=0,FN=0

c=0

对称的构造：平面对称结构承受不规则载荷，可以将其化为对称载荷与非对称载荷的叠加作

用。

第十四章动载荷

一，基本概念：

1,动载荷：随时间有明显变化的载荷（材料内部有不可忽略的加速度）

2,两类加速问题

加速问题：线加速：

角加速：

利用动静法（达朗贝尔方法）求解

3,冲击问题：受外力作用时间很短，加速变化剧烈。

基本依据--能量守恒：

T+V=VS（动能+势能=应变能）

实际的冲击过程中，材料力学性能发生了很大的变化，简化分析中做如下假设:

（1）,线弹性；

（2）,冲击物质量不计；

（3）,冲击物视为刚体：

（4）,热，声，振动等形式的能量不计；

4,动荷因数：

K_耳_5_&

01--------...

E5,

5,提高构件抗冲击能力的措施：

（1）,在不增加静应力5t的前提下，增加静位移AM（如增加缓冲物，降低弹性模量）

（2）,改变冲击构件尺寸以收到降低动应力（尽量使冲击构件接近等截面等）

（3）

二，重要计算

1,加速问题：

（1）,匀加速a提升构件：Kd=1+-

g

（2）,匀角加速度（飞轮制动）:

2

（3）,薄圆环匀角加速旋转：od=pv

2,冲击问题：

（1）,动荷因数法：条件：冲击前收冲击构件无应力、应变，未储存能量;

冲击前后受冲击系统没有发生结构上的变化；

冲击方式动荷因数计算公式备注

（W-冲击物重量）

冲击前瞬间

12T

动能为T