2021年中考数学考点一遍过(上海专版) 第8章 圆一圆和扇形圆的基本性质（教师版含解析）

备战2021年中考数学考点一遍过（上海专用）

第八章圆⑴圆和扇形，圆的基本性质

1圆和扇形

知识梳理

1.用字母C表不圆的周长，d表示直径长，厂表示半径长，那么。=加/=21厂.

2.圆上任意两点之间的部分叫做弧.

3.设圆的半径长为「，〃。圆心角所对的弧长是/,那么/=’-万r.

18（）

4.设圆的半径长为r,面积为S,那么S=〃/.

5.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.

6.设组成扇形的半径长为r,圆心角度数为八°,弧长是/,那么无形=-^+=g/r.

例题精讲

【例1】在半径为5的圆中，30。的圆心角所对弧的弧长为（结果保留；r）.

【参考答案】—.

6

【例2】如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点8、C恰好落在扇形的的EF上时，BC

的长度等于（结果保留n）.

【参考答案】

3

【例3】如图，半径为1且相外切的两个等圆都内切于半径为3的圆，那么图中阴

影部分的周长为.

【参考答案】-n.

3

2圆的基本性质

知识梳理

一、圆的确定：

（一）相关定义：

1.圆是平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形.

这个定点是圆心.

联结圆心和圆上任意一点的线段是圆的半径.

这个定长是圆的半径长.

2.在圆所在的平面上，以圆周为分界线，含圆心的部分叫做圆的内部（简称圆内）；

不含圆心的部分叫做圆的外部（简称圆外）.

【总结】圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，其对称中心为圆心，对称轴为过圆心的

直线.

（二）点与圆的位置关系：

1.一般来说，对于给定的一个圆，平面上的点与这个圆的位置关系有三种：点在圆内、点

在圆上、点在圆外.

2.设一个圆的半径长为R,点尸到圆心的距离为“，则

点尸在圆外od>R；

点P在圆上od=A；

点尸在圆内od〈R.

（三）圆的确定：

1.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.

2.三角形的三个顶点确定一个圆.

经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的

外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.

3.如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边

形叫做这个圆的内接多边形.

二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：

（一）相关定义：

I.圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧.

2.联结圆上任意两点的线段叫做弦.

过圆心的弦就是直径.

3.以圆心为顶点的角叫做圆心角.

4.圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

5.大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.

6.圆心到弦的距离叫做弦心距.

（二）相关定理：

I.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心

距相等.

2.推论：在同圆或等圆中，如果两个同心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距

得到的四组量中有一组量相等，那么它们所应的其余三组量也分别相等.

三、垂径定理：

1.垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条

弦所对的弧.

2.垂径定理推论1：如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，

并且平分

这条弦所对的弧.

3.垂径定理推论2：如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦.

4.垂径定理推论3：如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这

条弦所对的

弧.

5.垂径定理推论4：如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且

垂直于这条

弦.

6.垂径定理推论5：如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过

圆心，并且

平分这条弦.

例题精讲

【题型一•圆的确定】

【例1】下列说法中，结论错误的是（）

A.直径相等的两个圆是等圆；

B.长度相等的两条弧是等弧；

C.圆中最长的弦是直径；

D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧.

【参考答案】B.

【例2】已知两个同心圆的圆心为。，半径分别是2和3,且2<8<3,那么点尸在

)

A.小圆内；B.大圆内；C.小圆外大圆内；D.大圆外.

【参考答案】C.

【例3】在心△ABC中，NC=90°,AC=3,BC=4,CP、CM分别是AB上的

高和中线，如果圆A是以点A为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（）

A.点P、M均在圆A内；B.点、P、M均在圆A外；

C.点P在圆A内，点”在圆A外；。.点尸在圆A外，点M在圆A内.

【参考答案】C.

【例4】如图，以。为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点A,再以A为圆心，

AO长为半径画弧，两弧交于点8,画射线08,则esNAOB的值等于.

【参考答案】

2

【例5】如图，弧所所在的。。的半径长为5,正三角形的顶点A、B分别在半径OE、

OF±,点C在弧EF上，ZEOF=60°.如果尸，那么这个正三角形的边长

为.

【参考答案】酒.

【题型二•圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系】

【例1】在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（）

A.这两条弦所对的弦心距相等；B.这两条弦所对的圆心角相等；

C.这两条弦所对的弧相等；D.这两条弦都被垂直于弦的半径平分.

【参考答案】D.

【例2】如图，若N1=N2,那么AB与5c相等（填“一定”、"一定不”、"不一定”）.

【参考答案】一定.

【例3】已知。。的直径是4,。。上两点3、C分。。所得劣弧与优弧之比为1：

3.则弦3c的长为.

【参考答案】2近.

【例4】如图，已知AB是OO的弦，半径0C、与他分别交于点E、F,S.AE=BF.

求证：AC^BD.

【参考答案】

证明：取回中点G,联结OG并延长与。。交于

是圆心，且G是弦相的中点，AH=BH,OH1.AB.

：AG=BG且AE=3/，/.EG=GF.'：OH±EF,OH平分EF,

：.OE=OF.，OG平分NEOF.AZCOH=ZDOH.

又：OG过圆心，/.CHHD.：.AH-CH^BH-HD.即AC=8£).

【题型三•垂径定理】

【例1】如图，。。的半径为5,弦A8=8,于点C,则OC的长等于

【参考答案】3.

【例2】如图，矩形ABCD与圆心在他上的圆0交于点G、B、F、E,G8=10,

EF=8,那么AO=.

【参考答案】3.

【例3】一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水

深度为米.

【参考答案】0.8或0.2.

【例4】如图，已知是0。的弦，点C在线段A3上，OC=AC=4,CB=8.求00的

半径.

【参考答案】

解：联结。4,过点。作00,43,垂足为点£>.VAC=4,8=8,

/.AB=\2.,/ODVAB,A£>=DB=6,

CD=2.

在放△COO中，NC£）O=90°,OC=4,CD=2,：.OD=2^.

在町△ADO中，ZADO=90°,OD=2g,AD=6,OA=4

，。0的半径是46.

【题型四•圆的基本性质综合运用】

【例1】在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意

一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”.由此说明：

A.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；

B.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；

C.圆的直径互相平分；

D.垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧.

【参考答案】B.

【例2】下列命题中，假命题是（）

A.如果一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，那么这个点在圆外；

B.如果一个圆的圆心到一条直线的距离小于它的半径，那么这条直线与这个圆有两个

交点；

C.边数相同的正多边形都是相似图形;

D.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.

【参考答案】D.

【例3】己知。。的半径是5。〃.弦43=8。〃.

(1)求圆心。到43的距离；

(2)弦AB两端在圆上滑动，且保持AB=8cvn,"的中点在运动过程中构成什么图形，请说

明理由.

【参考答案】

解：(1)联结08,过点0作O£>_LAB于点。。则。。长即圆心。到弦他的距离.

在00中，ODLAB,二£)是弦他的中点.

在心△0753中，NOOB=90°,OB=5cm,DB^-AB^4cm,

2

，OD=y]OB2-DB2=后“=3cm.二圆心。到弦AB的距离为3aw.

(2)由(1)知：。是弦43的中点，

中点。在运动过程中始终保持OD=4cm,

据圆的定义，在A3运动过程中，点。轨迹是以。为圆心，半径长为4cm的圆.

【例4】如图是地下排水管的截面图(圆形)，小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形弧上取

了A,B两点,并连接他，在劣弧钻上取中点C,连接CB.经测量3c=3米，

4

ZABC=36.87.根据这些数据，请你计算出地下排水管的直径（精确到0.1米）.（参考数据:

s山36.87°〜0.60,€-0536.87°*0.80,s〃36.87°~0.75）

【参考答案】

解：设圆心为。，连接80、CO交于D.

•点C是弧A8的中点，CO是半径.

AAD=BD,COLAB.

在RSBZX7中，NBDC=90°,ZABC=36.87°,BC=*米,

4

53BD=3CcosZABC=9*0.8=1米.

・•・CD=BC,sinZABC=一义0.6=一米.

444

设圆的半径为X米，则OO=（x-q］米.

在RSBDO中，ZBDO=90°,OD=IBD=1米,O3=x米,

：.x2=(x--]+12.解得X=至，则2x="a2.1米.

I4j2412

答：地下排水管的直径约为2.1米.

真题训练

I.（2011•上海中考真题）矩形ABC。中，AB=8,8。=3不，点2在边43上，且BP=3A尸，如

果圆尸是以点P为圆心，PO为半径的圆，那么下列判断正确的是（）.

A.点3、C均在圆尸外;B.点3在圆尸外、点C在圆P内;

C.点B在圆P内、点C在圆P外；D.点8、C均在圆尸内.

【答案】C

【详解】：AB=8,点P在边AB上,且BP=3AP,・BAP=2,

根据勾股定理得出，I=PD=J(36)2+22=7,

PC=VPB2+BC2=府+(3后=府+(3后=9,

VPB=6<r,PC=9>r,.•.点B在圆P内、点C在圆P外，故选C.

【点睛】点与圆的位置关系的判定，难度系数中等，此题应根据点与圆心之间的距离和圆的

半径的大小关系作出判断

2.(2015•上海中考真题汝U图，已知在。。中，A3是弦，半径。C_LAB,垂足为点。，要

使四边形Q4CB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是().

A.AD=BDB.OD=CD

C.ZCAD=ZCBDD.ZOCA=ZOCB.

【答案】B

试题分析：根据垂径定理，可知AD=DB,若再加上8=CD,则四边形Q4CB满足对角

线互相平分，可判定为平行四边形；再结合已知条件则满足对角线互相垂直的

平行四边形是菱形，故选项B符合题意.

考点：1.垂径定理；2.菱形的判定.

3.(2013•上海中考真题)在。O中，已知半径长为3,弦AB长为4,那么圆心O到AB的距离为

B

【答案】石

试题分析：因为圆心。到AB的距离即圆心O到AB弦心距的长，根据垂径定理，半径、弦心距

和弦的一半组成一直角二角形，根据勾股定理是，得圆心。到AB的距离=序为=石.

4.（2020•上海中考真题）如图，“如中，A8=AC,。。是“牝的外接圆，80的延长交边AC

于点。.

（1）求证：/BAC=2NAB£＞；

（2）当△BCD是等腰三角形时，求NBCO的大小;

（3）当AO=2,CZ）=3时，求边8c的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）/BC。的值为67.5。或72。；（3）*.

2

【分析】（1）连接OA.利用垂径定理以及等腰二角形的性质解决问题即可.

（2）分三种情形：①若BD=CB,则/C=/BDC=NABD+/BAC=3/ABD.②若CD=CB,则

ZCBD=ZCDB=3ZABD.③若DB=DC,则D与A重合，这种情形不存在.分别利用二角形

内角和定理构建方程求解即可.

AFAH9AOAF3

（3）如图3中，作AE〃BC交BD的延长线于E.则把上=*,进而得到2上=9=巳,

BCDC3OHBH4

设OB=OA=4a,OH=3a,tUifeiBH2=AB2-AH2=OB2-OH2,构建方程求出a即可解决问题.

【详解】解：（1）连接04如下图1所示:

图1

'：AB=AC,，4B=AC，-'-OAA.BC,：.ZBAO=ZCAO.

•：OA=OB,：.ZABD=ZBAO,：.ZBAC=2ZABD.

(2)如图2中，延长AO交BC于H.

①若BACB,则NC=/BOC=/4孙•/B4C=3/A8D'.'AB=AC,

：.ZABC=ZC,：.ZDBC=2ZABD.

VZDBC+ZC+Zfi£>C=180°,/.8ZABD=180°,/C=3/48O=67.5°.

②若CACB,贝I」NCSA/C£>8=3乙480,/.ZC=4Z>4BD.

ZDBC+ZC+ZCDB=180°,1GNABD=180°,ZBCD=4ZABD=12°.

③若。3=OC,则。与A重合，这种情形不存在.综上所述：/C的值为67.5。或72。.

(3)如图3中，过4点作AE〃8c交瓦)的延长线于E.

HC

图3

AEAD2.AOAE_4

则且BC=2BH,

BCDC

设O8=OA=4m0H=3a,则在町△A8”和/?也08〃中，-A^OB2-OH2,

.,.25-49/=16/-9〃，：.a2^—,::.BC=2BH=8^.故答案为：.

56422

【点睛】本题属于圆的综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角

形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决

问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

模拟题专练

一、单选题

1.(2019.上海长宁区.中考模拟)在直角坐标平面内，点。是坐标原点，点A的坐标是(3,2),

点B的坐标是(3,-4).如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一

点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取()

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】先根据两点间的距离公式分别计算出。4、08的长，再由点A、8中有一点在圆。内,

另一点在圆O外求出r的范围，进而求解即可.

【详解】•••点A的坐标是(3,2),点B的坐标是(3,-4),

•••以点O为圆心，/•为半径的圆O与直线48相交，且点A、8中有一点在圆。内，另一点在圆。

外,

，r=4符合要求・故选8.

【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为厂，点到圆心的距离

为d,则有：当4>耐，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当时，点在圆内.也考查了坐

标与图形性质.

2.(2020・上海九年级专题练习)若。A的半径为5,圆心A的坐标是(1,2),点P的坐标是(5,2),

那么点P的位置为()

A.在。A内B.在。A上C.在。A外D.不能确定

【答案】A

【分析】先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与

圆的关系的判定方法进行判断.

【详解】：圆心A的坐标是(1,2),点P的坐标是(5,2),

AAP=^(5-l)2+(2-2)2=4<5,.•.点P在(DA内，故选A.

【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的距离

为d,则有.：当d>i•时，点在圆外；当d=i'时，点在圆上，当d<r时，点在圆内.也考查了坐

标与图形性质.

3.(2018•上海普陀区・中考模拟)已知。O的半径为5,弦AB=6,P是AB上任意一点，点C是劣弧

AB的中点，若APOC为直角三角形，则PB的长度()

A.1B.5C.1或5D.2或4

【答案】C

【分析】由点C是劣弧AB的中点，得到OC垂直平分AB,求得DA=DB=3,根据勾股定理得

到OD==1,若APOC为直角三角形，只能是/OPC=90。，则根据相似三角形的性质得到PD=2,

于是得到结论.

【详解】•••点C是劣弧AB的中点，，OC垂直平分AB,；.DA=DB=3,AOD=752-32=4-

PDCD

若APOC为直角三角形，只能是/OPC=90。，则△PODsaCPD,—=—,

ODPD

，PD2=4X1=4,

.•.PD=2,.•.PB=3-2=I,根据对称性得，当P在OC的左侧时，PB=3+2=5,；.PB的长度为1

或5.

故选C.

【点睛】

考查「圆周角，弧，弦的关系，勾股定理，垂径定理，正确左侧图形是解题的关键.

4.(2018•上海徐汇区・中考模拟)下列说法中，正确的个数共有()

(1)一个三角形只有一个外接圆；

(2)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；

(3)在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；

⑷三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等：

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据外接圆的性质，圆的对称性，二角形的内心以及圆周角定理即可解出.

【详解】(1)一个三角形只有一个外接圆，正确；

(2)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；

(3)在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；

(4)三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，错误；故选：C.

【点睛】此题考查了外接圆的性质，三角形的内心及轴对称和中心对称的概念，要求学生对

这些概念熟练掌握.

5.（2018♦上海黄浦区♦中考模拟）下列命题中，假命题是（）

A.如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；

B.如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；

C.如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦;

D.如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧.

【答案】C

【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案.

【详解】A.如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于

这条弦，正确，是真命题；

B.如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，

正确，是真命题；

C.如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定

垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直.错误，是假命

题；

D.如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是

真命题.故选C.

【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列,

①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的

劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个.

6.（2018•上海普陀区•九年级一模）如图，己知AB和CD是。O的两条等弦.OMLAB,ONLCD,

垂足分别为点M、N,BA,OC的延长线交于点P,联结。P.下列四个说法中：

①NB=&＞；®OM=ON；③PA=PC；④NBPO=NDPO,正确的个数是（）

B

3/

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】如图连接OB、OD；

VAB=CD,AAB=CD>故①正确：OM_LAB,ON±CD,；.AM=MB,CN=ND,

BM=DN,

VOB=OD,ARtAOMB^RtAOND,.,.OM=ON,故②正确,

VOP=OP,ARtAOPM^RtAOPN,，PM=PN,ZOPB=ZOPD,故④正确,

VAM=CN,，PA=PC,故③正确,

故选D.

二、填空题

7.（2021.上海崇明区.九年级一模）如图，在直角坐标系中，以点尸为圆心的弧与x轴交于A、

B两点，已知点户的坐标为点A的坐标为（一1,0）,那么点B的坐标为.

【答案】(3,0)

【分析】连接P4、PB,作PF上AB于点F,再根据圆的垂径定理即可得出答案.

【详解】如图，连接力、P8,作小_L45于点F,根据题意可知。尸=1,再由垂径定理可知,

AF=BF=AO+OF=2,所以OB=OF+8尸=1+2=3,即8点坐标为(3,0).

故答案为:(3,0).

【点睛】本题考查垂径定理.作出PR_LAB,再结合垂径定理”垂直于弦的直径平分弦且平

分这条弦所时的两条弧”是解答本题的关键.

8.(2019•上海市嘉定区丰庄中学九年级二模)已知。。的半径为6,4为线段OP的中点，当OP

的长度为10时，点4与。O的位置关系为.

【答案】点A在圆内.

【分析】知道OP的长，由点A是OP的中点，可得到OA的长与半径的关系，即可判断点A与

圆的位置关系.

【详解】解：：OP=10,A是线段OP的中点，.,.0A=5,小于圆的半径6,

.•.点A在圆内.故答案为：点A在圆内.

【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知判断点与圆的位置关系的方法是解题关键.

9.（2019•上海市嘉定区唐行九年制学校九年级二模）在Rt^ACB中，NC=90。，4c=3,BC=

373.以点A为圆心作圆A，要使8、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的

半径长r的取值范围是.

【答案】3<r<6

【分析】熟记“设点到圆心的距离为d,则当d=r时，点在圆上;当d>r时，点在圆外；当dV

r时，点在圆内”即可求解，

【详解】解：•.•RSACB中,ZC=90°,AC=3,BC=36,.\AB=6,

如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r>3,点B在圆A外，则r<6,

因而圆A半径r的取值范围为3Vr<6.故答案为3<r<6；

【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.设点到圆心的距离为d,则当d=r时，点

在圆上；当d>i•时，点在圆外；当d<r时，点在圆内.

10.（2019.上海青浦区.九年级二模）如图，在。。中，04、OB为半径，连接A8,已知A8=6,

ZAOB=\20°,那么圆心。到A8的距离为

【答案】瓜

【分析】过。作0CL43交A8于C点，由垂径定理可知，0C垂直平分AB,再解直角三角形即

可求解.

【详解】过。作OC_LAB交A8于C点，如右图所示:

由垂径定理可知，OC垂直平分A8,则AC=，A8=3,

2

0C

"：OA=OB,ZAOB=\20°,：.ZOAB=30°,.•.tan/OA8=tan30°=——，

AC

.•.OC=AC・tan3()o=3XY1=JL即圆心。到4?的距离为&；故答案为6.

3

【点睛】本题利用垂径定理构造出直角三角形，再根据特殊角的正切函数求解.

11.(2019・上海闵行区•中考模拟)如图，已知在。O中，半径OC垂直于弦AB,垂足为点

D.如果CD=4,AB=16,那么OC=.

【答案】10

【分析】根据垂径定理求出AD的长，设半径OC=OA=i■，则OD=r4,再根据勾股定理列出关

于r的方程，解出即可得出OC的长.

【详解】设半径OC=OA=i■，则OD=OC-CD=r-4,•.•半径OC垂直于弦AB,垂足为点D,AB=16

.\AD=|AB=8,在放△AQD中。在+4D2=OA唧(r4)2+82=f2

解得：厂10,故答案为：10.

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.

12.(2019.上海虹口区.中考模拟)已知两圆外切，圆心距为7,其中一个圆的半径为3,那么另

一个圆的半径长为一.

【答案】4.

【分析】根据题意，两圆外切，故圆心距为两圆半径和，已知一个圆半径为3,可求得另一

圆的半径.

【详解】•.•两圆外切，圆心距为7,若其中一个圆的半径为3

,另一个圆的半径=7-3=4.故答案为：4.

【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，本题的解题关键是掌握当两圆外切时圆心距为两圆

半径之和，两圆内切时，圆心距为大圆半径-小圆半径.

13.（2019・上海嘉定区・中考模拟）在咫zkACK中，NC=90°,AC=3,8c=3百，以点

A为圆心作圆A，要使8、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径

长r的取值范围是

【答案】3<r<6

【分析】熟记“设点到圆心的距离为d,则”id=i•时，点在圆上；当d>i•时，点在圆外：当d<r

时，点在圆内''即可求解，

【详解】•.•RtAACB中,ZC=90°,AC=3,BC=36,；.AB=6,

如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，贝ijr>3,点B在圆A外，贝肝<6,

因而圆A半径r的取值范围为3<r<6.故答案为3Vr<6；

【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.设点到圆心的距离为d,则当d=r时，点在

圆上；当d>i•时，点在圆外；当d<r时，点在圆内.

14.（2019•上海嘉定区•九年级一模）如图，在圆。中，AB是弦，点C是劣弧43的中点，连接OC,

AB平分OC,连接。A、OB,那么NAO8=度.

【答案】120

【分析】连接AC.证明是等边三角形即可解决问题.

【详解】解：连接AC.

o

B

：.OC±AB,ZAOC^ZBOC,平分。C,.二AB是线段。。的垂直平分线，

：.AO=AC,\"OA=OC,：.OA=OC=AC,：.ZAOC=60°,NAOB=120°.

故答案为120.

【点睛】本题考查垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定和性质等知识,

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

15.(2018•上海普陀区•中考模拟)若。。所在平面内一点P到。O的最大距离为6,最小距离为2,

则。O的半径为.

【答案】2或4

【分析】点P可能在圆内.也可能在圆外，因而分两种情况进行讨论.

【详解】解：当这点在圆外时，则这个圆的半径是(6-2)+2=2；

当点在圆内时，则这个圆的半径是(6+2)+2=4.故答案为2或4.

【点睛】此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是注意此题应分为两种情况来解决.

16.(2018•上海普陀区•九年级一模)已知RSABC中，ZC=90°,AC=3,BC=出,CD±AB,垂

足为点D,以点D为圆心作0D,使得点A在0D外，且点B在0D内.设OD的半径为r,那么r的

取值范围是.

79

【答案】:YXY1.

【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结

论.

【详解】解：•.•RSABC中，ZACB=90,AC=3,BC=@,AAB=^32+(V?)2=4.

3月9

VCD1AB,/.CD=^--.VAD«BD=CD2,设AD=x,BD=4-x.解得x=-,

44

...点A在圆外，点B在圆内，r的范围是，7<x<9=，故答案为79

4444

【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的工种位置关系是解答此题的关键.

17.(2020•上海浦东新区•九年级三模)如图，AABC中，ZA=70°,截AABC的三条边所截得

弦长相等，则NBOC=_.

【答案】125°

【分析】先利用O截AABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是AABC的内心，从而，Z

1=Z2,Z3=Z4,进一步求出/BOC的度数.

【详解】

「△ABC中NA=70。，0截AABC的三条边所得的弦长相等，

；.()到三角形三条边的距离相等，即。是AABC的内心，

11

Z1=Z2,Z3=Z4,Z1+Z3=-(1800-ZA)=-(180o-70o)=55°；

22

ZBOC=180°-(Zl+Z3)=l80°-55°=125°.故答案为125°.

【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握圆

的相关知识与应用.

18.(2018•上海静安区•九年级二模)如图，已知。。中，直径AB平分弦CD,且交CD于点E,如

果OE=BE,那么弦CD所对的圆心角是度.

【答案】120.

【解析】连接OC,•.•直径AB平分弦CO,.♦.AB_LCD,'：OE=BE,：.OE=-OB=-OC,

22

在RtAOCE中，OE==OC,.*.cosZCOE=—=-,/OEB=60°,

2OC2

...弦C£）所对的圆心角是6（Tx2=120。.故答案为120.

19.（2018•上海浦东新区・中考模拟）已知一个弓形所在圆的直径10厘米，弓形的高为2厘米，那

么这个弓形的弦长为_____厘米.

【答案】8

分析：连接弓形所在圆的圆心及弓形弦的一端，过圆心作弓形弦的垂线，在构建的直角三角

形中，可根据圆的半径和弓形的高求出弓形弦的弦心距，进而可根据勾股定理求出弓形的弦

长.

详解：如图，弓形AB的高CD=2厘米，连接OA,

RSOAD中，OA=5cm,OD=OC-CD=3cm,根据勾股定理，得AD=4cm,故AB=2AD=8cm.

即这个弓形的弦长是8厘米.故答案为&

点睛：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形

是解答此题的关键.

20.（2018•上海嘉定区•中考模拟）已知弓形的高是1厘米，弓形的半径长是13厘米，那么弓形的

弦长是厘米.

【答案】10

试题解析：如图，

过圆心O作ODJ_AB,交弧于C.则CD=1,连接OA.

在直角AAOD中，OA=13,OD=13-CD=12,则AD=不二而^=尼二IF=5,

.\AB=2AD=10.故答案是：10.

三、解答题

21.（2021.上海崇明区.九年级一模）如图，已知。。的半径为逝，在。。中，。4、06都

是圆的半径，且。4_L03.点C在钱段AB的延长钱上，且0C=45.

（1）求线段BC的长；

（2）求ZBOC的正弦值.

【答案】（1）8C=逝一1；（2）依子.

【分析】（1）过点。作交ABF点。，先利用勾股定理求解AB=2=OC,从而可

得OD=BD=1,再利用勾股定理求解C。，从而可得答案；

（2）过点3作BE_LOC交0C丁点E，由NC=30o,5C=b-l，求解BE的长，再利用

BE

sinZBOC=—，从而可得答案.

OB

【详解】解：（1）过点。作OD_LAB交AB于点。，

,：OA=OB,ZAOB=900,Q4=O3=&，OC=AB.

,•AB=OC—JOA?+OB?=y/4=2，…OD—BD=1»

在RtAODC中，sinZ.DOC=..=—/.NC=30°,/•CD=邪>,***BC=V3—1.

(2)过点5作BE上OC交OC于点E,

•/ZC=30°,BC=^-1,=

22

BE

：.sin4BOC=——

OB

V3-1

,2

-^/F

■\/3—1_V6—>/2

-2V2-4-

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，垂径定理，含30。的直角三角形的性质，锐

角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键.

22.（2021・上海闵行区•九年级一模）如图，。。是AABC的外接圆，AB长为4,AB=AC,

连接CO并延长，交边AB于点D,交AB于点E,且E为弧AB的中点，求:

(1)边BC的长；.

(2)。。的半径.

【答案】(1)4；(2)生叵.

3

【分析】(1)根据垂径定理证明点C在AB垂直平分线匕即可解题；

(2)连结BO,先证明AABC是等边三角形，再结合已知可证2050=30°，继而根据余弦的

定义解题.

【详解】证明：(1)：E为中点，OE为半径，，OE垂直平分AB

:.C在AB垂直平分线上，CB=CA=AB=4

(2)连结BO,•.•C8=C4=A3，.•.△A5c是等边三角形，NA3C=60

•.,CO_LAB,又•.•Q8=OC，NO8C=NOCB=30°

AZDBO=3(f，又•.•8D,A8=2,.”=3。=一^=拽.

2cos303

【点睛】本题考查垂径定理、等边三角形的判定与性质、余弦等知识，是重要考点，难度较

易，掌握相关知识是解题关键.

23.(2019•上海市南塘中学中考模拟)如图，在RrAACS中，44a3=90,以点A为圆

心，AC长为半径的圆交于点O,84的延长线交。A于点E，连接CE,C£>,F是。

A上一点，点尸与点C位于8E两侧，且NE4B=NABC,连接5口.

(1)求证：NBCD=NBEC；

(2)若8C=2,BD=1,求CE的长及sinNA8/的值.

【分析】(1)利用等角的余角相等即可得出结论；

(2)先判断出ABDCsMCE得出比例式求出BE=4，DE=3,利用勾股定理求出8,CE,

再判断出AAFA/sMAC,可求出FM；进而判断出四边形RVC4是矩形，求出FN,NC,

即可求出8N,再用勾股定理求出即可得出结论.

【详解】解：(D：NAC8=9(T，AZBCD+ZACD=90a，

,/DE是。A的直径，/.ZDCE=90，；•ZBEC+ZCDE=90,

VAD=AC,：.ZCDE=ZACD,:.NBCD=NBEC：

(2)VZBCD^ZBEC,/EBC=ZEBC,：.^BDC^BCE,

CDBDBC

•*-==,BC-2，BD=1,BE=4，EC-2CD•DE-BE—BD-3，

CEBCBE

在Rt^DCE中，DE1=CD1+CE2=9，

CD=,CE=—.过点尸作fMLAB于M，

55

FMAF

VZFAB^ZABC.ZFMA=ZACB=90<：.M.FM^BAC,：.——=——，

ACAB

359

,:DE=3,：.AD=AF=AC=-,AB=-,：.FM=—,

221()

过点、F作EN上BC千N,:.NFNC=90：AFAB=AABC<：.FMIBC,

NE4C=NAC8=90,，•••四边形RVC4是矩形，

331

FN=AC=-,NC=AF=-,：.BN=-,

222

在RfAFBN中,BF=—,在RfAFBM中,sin/ABF=也=为叵.

BF50

BNC

故答案为：（1）证明见解析；（2）CE=W5,sinNA8F=%叵.

550

【点睛】本题主要考查圆的有关性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定

理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键.

24.（2019.上海黄浦区•中考模拟）如图，已知。。是AABC的外接圆，圆心。在AABC的外

部，AB=AC=4,BC=4®求。。的半径.

【答案】4

【分析】已知AABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，作于点”，则直线

A”为5c的中垂线，直线AH过。点，在RSOBH中，用半径表示出OH的长，即可用勾股

定理求得半径的长.

【详解】

作AH，5c于点“，则直线A”为BC的中垂线，直线AH过。点，

OH=OA—AH=r—2'BH=2+,OH2+BH2=OB2.

即（r-2y+（26）=r2,r=4

【点睛】考查垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.

25.（2020・上海九年级专题练习）如图，已知Rt/kABC,ZBAC=90°,BC=5,AC=2小,以

A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D

（1）求8。的长；

（2）连接AO,求/D4C的正弦值.

3

【答案】（1）8D=2；（2）sinZDAC=-.

【分析】（1）如图连接A。，作于”.利用面积法求出AH,再利用勾股定理求出84即

可解决问题；

（2）作。W,AC于M.利用面积法求出3M即可解决问题.

【详解】（1）如图连接4。，作于H.

VRlAABC,ZBAC=90°,BC=5,AC=2^,：.AB^^BC2-AC2=75.

•.•|-AB-AC=1，BC・AH,：.AH=«乂；6=2,：.BH=yjAB1-AH2=>.

•：AB^AD,AHLBD,:.BH=HD=1,：.BD^2.

(2)作。MJ_AC于M.

SAAC8=SAAB/，+SAAC。,—x-^5x2-^5——x2x24—x2>/5xDM,；.DM=3''^,sin/

2225

3A/5

DAC_DM_亍_3.

【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，垂径定理等知识，解题的关键是学会利用面

积法解决问题，属于中考常考题型.

26.(2020.上海九年级专题练习)已知：如图，AO是。。的半径，AC为。。的弦，点尸为AC

的中点，。暇AC于点E,AC=8,EF=2.

(1)求4。的长；

(2)过点(7作8_14。，交AO延长线于点。，求sin/AC。的值.

C

4

【答案】（1）5;（2）y

【分析】（1）由垂径定理得出AE=4,设圆的半径为r,知0E=0F-EF=r-2,根据OA2=AE2+OE2

求解可得；

（2）由NOAE=NCAD,NAEO=NADC=90。知/AOE=/ACD,从而根据$in/ACD=sinN

AOE=C与可得答案.

A0

【详解】（1）：0是圆心，且点F为AC的中点，，OF_LAC,•••AC=8,；.AE=4,

设圆的半径为r,即OA=OF=r,则OE=OF-EF=r-2,由OA2=AE2+OE2得r2=4?+（r-2）2,

解得：r=5,即A0=5；

（2）如图：

：/OAE=/CAD,/AEO=/ADC=90。，/.ZAOE=ZACD,

AE4

贝！|sin/ACD=sinNAOE==—.

AO5

【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理、垂径定理及其推论和勾

股定理等知识点.

27.（2019・上海长宁区・中考模拟）如图，AB是圆O的一条弦，点O在线段AC上，AC=AB,

3

OC=3,sinA=-.求:⑴圆O的半径长；（2）BC的长.

c

o

B

【答案】（1）5（2）当叵

5

【分析】（1）过点O作OHJ_AB,垂足为点H,设OH=3k,AO=5k,则AH=,蔗_0标,

得到AB=2AH=8k,求得AC=AB=8k,列方程即可得到结论;

（2）过点C作CG_LAB,垂足为点G,在RSACG中，NA