天津市河西区2024届高三上学期期末质量调查数学试题（解析版）

PAGEPAGE1天津市河西区2024届高三上学期期末质量调查数学试题第Ⅰ卷参考公式：·球的体积公式，其中表示球的半径.一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题，，，则.故选：D.2.已知直线，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则有，解得，当时，，，，当时，，，，所以：若，，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.函数在上的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗首先，所以函数是奇函数，故排除D，，故排除B，当时，，故排除A，只有C满足条件.故选：C4.某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物.为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间内，按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”.则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（）A.20 B.40 C.60 D.80〖答案〗C〖解析〗高度不低于16cm的频率为，所以“优质苗”株数为.故选：C.5.已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（）A.第30项 B.第36项 C.第48项 D.第60项〖答案〗B〖解析〗设公差为，则，解得，所以，则，令，则，所以是中的第36项.故选：B.6.若，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，因为，所以，即，而，所以.故选：B.7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设球的半径为R，球的截面圆的半径为r，即为正三棱柱底面三角形的内切圆的半径，则，解得，由球的截面性质得：，解得，所以球的体积为，故选：D8.将函数（）的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若函数）的一个极值点是，且在上单调递增，则ω的值为（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得：，又函数）的一个极值点是，即是函数一条对称轴，所以，则（），函数在上单调递增，则函数的周期，解得，则，，故选：A.9.已知双曲线（，），是双曲线半焦距，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，当且仅当，即且时等号成立，则，得.故选：B第Ⅱ卷二、填空题10.设i为虚数单位，则复数=____．〖答案〗〖解析〗故〖答案〗为：11.的展开式中的常数项为____________.〖答案〗40〖解析〗依题意，的展开式的通项为，令可得.故常数项为.故〖答案〗为：4012.已知抛物线的焦点为，以点为圆心的圆与直线相切于点，则__________.〖答案〗〖解析〗，因为以点为圆心的圆与直线相切于点，所以直线与直线垂直，则，解得.故〖答案〗为：.13.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于_________．〖答案〗〖解析〗根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故〖答案〗为0.128.法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.12814.在中，，，，，，且，则_________；的值为____________.〖答案〗〖解析〗因为，，，所以,又，在中，，，所以，,即，解得或（舍去），故的值为：.又,,，故的值为：.故〖答案〗为：15.已知函数，则的最小值是______；若关于x的方程有3个实数解，则实数a的取值范围是______．〖答案〗2〖解析〗根据与大小关系（比较与大小的推理见后附）,可知，设，注意到曲线与曲线恰好交于点，显然，,作出的大致图象如图，可得的最小值是1，从而的最小值是2．由，得．设直线与曲线切于点，，直线过定点，则，解得，从而．由图象可知，若关于x的方程有3个实数解，则直线与曲线有3个交点，则，即所求实数a的取值范围是，故〖答案〗为：2；附：当时，设，则，所以在区间上单调递减，从而，此时；当时，设，区间上单调递减，所以当时，，即；当时，，即；当时，，即．三、解答题16.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）由余弦定理，因为，，所以，整理得，所以.（2）由（1）可知，，由正弦定理可得，因为，所以，又，所以，整理得，所以，解得.（3）由（2）可知，所以所以17.如图所示的几何体中，平面，，，，为的中点，，为的中点.（1）求证：//平面；（2）求点到平面的距离.（3）求平面与平面所成角的余弦值.（1）证明：因为平面，平面，故，，又，即AE，AB，AD两两垂直.以点A为原点，直线AE，AB，AD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，中点，又，即，于是得，，，设平面的法向量，则，令，得，因此，，即，平面，而平面，所以平面.（2）解：由（1）知，，则点F到平面的距离，所以点到平面的距离是.（3）解：由（1）知，平面的法向量，平面的一个法向量为，依题意，，所以，平面与平面所成角的余弦值为.18.已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）过作不平行于坐标轴的直线与椭圆交于，两点，直线交轴于点，直线交轴于点，若，求直线的方程.解：（1）由题意，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为，所以，即，①又因为离心率，②联立①②，解得，所以椭圆的方程为.（2）设，，，，由（1）可知，，，由题意可设直线，则，；联立，得．则，．由直线的方程：，得纵坐标；由直线的方程：，得的纵坐标．若，即，，所以，整理得，代入根与系数的关系，得，解得，所以直线方程：或.19.设等比数列满足，.（1）求数列的通项公式和；（2）如果数列对任意的，均满足，则称为“速增数列”.（ⅰ）判断数列是否为“速增数列”？说明理由；（ⅱ）若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值.解：（1）设等比数列公比为，由，，有，解得，所以.（2）（ⅰ）数列是“速增数列”，理由如下：由，则，，，故，所以数列是“速增数列”.（ⅱ）数列为“速增数列”，，，，任意项，时，.即，当时，，当时，，故正整数k的最大值为63.20.已知函数.（1）若，求图象在处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若存在两个极值点，求证：.（1）解：因为，所以，