天津市河北区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试卷（解析版）

PAGEPAGE1天津市河北区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由直线，可得斜率为，设直线的倾斜角为，可得，所以.故选：C.2.若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则点到另外一个焦点的距离（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗B〖解析〗由椭圆方程可知，解得.又椭圆上一点M到两焦点的距离和为，所以M到另一个焦点的距离为.故选：B3.双曲线的实轴长是（）A.2 B. C.4 D.4〖答案〗C〖解析〗双曲线方程变形为，所以，实轴长为.4.抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由得，故抛物线的准线方程为.故选：D5.已知为等比数列，若，，则（）A. B.8 C.16 D.〖答案〗B〖解析〗因为为等比数列，设的公比为，则，，两式相除可得，所以，所以，故选：B.6.已知数列是等差数列，是其前n项和，，则（）A.160 B.253 C.180 D.190〖答案〗B〖解析〗设数列的首项为，公差为，因为，所以，解得，所以，故选：B7.以下命题正确的是（）A.直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则l与m垂直B.直线l的方向向量，平面的法向量，则C.两个不同平面的法向量分别为，，则D.平面经过三点，向量是平面的法向量，则〖答案〗C〖解析〗对于A项，因为，所以不垂直，所以l与m不垂直，故A错误；对于B项，因为，所以，所以或不垂直，故B错误；对于C项，因为，所以，所以，故C正确；对于D项，因为，，向量是平面的法向量，所以，，即，解得，故D错误.故选：C.8.数列满足，且，则的值为（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗因数列满足，且，可得，可得数列是以三项为周期的周期数列，所以.故选：C.9.下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根据题意，依次分析选项：对于A，，有，是递减数列，不符合题意，对于B，，有，是递减数列，不符合题意，对于C，，则，，不是递增数列，不符合题意，对于D，，有，由于，则恒成立，是递增数列，符合题意故选：D．10.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆：的蒙日圆为：，则椭圆的离心率为（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，分别与椭圆相切，显然.所以点在蒙日圆上，，即，所以椭圆的离心率.故选：D二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.〖答案〗填在题中横线上，11.已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是，则它的标准方程为______.〖答案〗〖解析〗因为抛物线的顶点是坐标原点，焦点是，所以，解得，所以抛物线方程为.故〖答案〗为：12.已知，，若a，b，c三个数成等差数列，则b=__________，若a，b，c三个数成等比数列，则b=__________．〖答案〗①5②〖解析〗若a，b，c三个数成等差数列.所以.若a，b，c三个数成等比数列.所以故〖答案〗为：5，.13.圆在点处的切线方程为________．〖答案〗〖解析〗圆心为，，所以切线斜率为，所以直线方程为，即故〖答案〗为：14.已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式______．〖答案〗〖解析〗当时，，解得：；当时，，，则数列是以为首项，为公比的等比数列，.故〖答案〗为：.15.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为.若，则点的坐标为______；双曲线的渐近线方程为______.〖答案〗①或②〖解析〗抛物线的焦点，准线方程为，设双曲线的方程为，故，设，则，解得，代入抛物线方程可得，解得，所以的坐标为；因为，解得，，所以双曲线的渐近线方程为.故〖答案〗为：或；三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤16.已知圆．（1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：（2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值．解：（1）由，得，则圆的标准方程为，圆的圆心坐标，半径为．（2）由，得圆心到直线的距离为，则圆心到直线的距离，得或．17.正四棱柱中，为中点，为下底面正方形的中心．求：（1）异面直线与所成角的余弦值；（2）直线与平面成角；（3）点到平面的距离．解：（1）在正四棱柱中，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，因为，，为中点，为下底面正方形的中心，所以，，，，，，，所以异面直线与所成角的余弦值为.（2）由（1），，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，设直线与平面所成角为，则，又，，所以直线与平面所成角为.（3）由（2）可得，，平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为.18.已知数列是公比大于0的等比数列，数列是等差数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）设，求数列的前项和.解：（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，由，得，即，解得或（舍），故；由，得，解得，故；综上，的通项公式为的通项公式为.（2）由（1）可得所以，数列的前项和.（3）由（1）可得，则①②①-②，得，所以，.19.已知椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的中点为.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；（3）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率及四边形