四川省成都市2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题（解析版）

PAGEPAGE1四川省成都市2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将〖答案〗书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试结束后，只将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据空间直角坐标系中点坐标的特征可知，关于原点对称的点的坐标需要把横坐标、纵坐标、竖坐标都变为原来的相反数，所以点关于原点对称的点的坐标为.故选：D2.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题知,所以,且抛物线开口向上，所以其准线方程为:.故选:D3.据统计，2023年12月成都市某区域一周指数按从小到大顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（）A.45 B.50 C.51 D.53〖答案〗B〖解析〗由这组数据共个，因为不是整数，所以这组数据的25百分位数为第个数据，即：.故选：B4.圆与圆的位置关系是（）A.相交 B.内切 C.外切 D.内含〖答案〗C〖解析〗圆的圆心，半径；圆的圆心，半径；则，则，故两圆外切.故选：C.5.已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题知，椭圆焦点为，设该双曲线方程为，半焦距为，则，，即，又，解得，，所以双曲线方程.故选：A6.如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（）A.1 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗因为点为棱的中点，所以，因为四面体的棱长都是2，所以，故选：B7.连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上面的点数.事件“第一次得到的数字是2”；事件“第二次得到的数字是奇数”；事件“两次得到数字的乘积是奇数”；事件“两次得到数字的和是6”.则（）A.事件和事件对立 B.事件和事件互斥C.事件和事件相互独立 D.〖答案〗D〖解析〗对于A，事件“第二次得到的数字是奇数”=“第二次得到的数字是1，3，5”，所以事件和事件互斥但不对立；对于B，事件发生时，即“第二次得到的数字是1，3，5”，若“两次得到数字的和是6”也发生，则此时只需“第一次得到的数字是5，3，1”，即事件发生时，事件也有可能发生，故B错误；对于C，由题意，“两次得到数字的和是6”可能有：五种情况，即，而事件和事件同时发生即为一种情况，所以，但，故C错误；对于D，由题意，而事件和事件同时发生的概率，所以.故选：D.8.已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗的圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，故直线与圆相离，由题意得⊥，⊥，且与全等，则四边形的面积为，可得⊥，四边形的面积为，故，其中，故，要想最小，只需最小，显然当⊥直线时，最小，最小值为，此时.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在男子跳水10米台比赛中，某运动员发挥出色.在他的第一跳中，10位裁判给出的分数为：9.0，9.1，9.3，9.5，9.5，9.7，9.9，10，10，10，对该组数据下列说法正确的有（）A.众数为10 B.平均数为9.5 C.极差为9 D.中位数为9.6〖答案〗AD〖解析〗A选项，10出现了3次，出现次数最多，故众数为10，A正确；B选项，平均数为，故平均数为，B错误；C选项，极差为，C错误；D选项，从小到大排列，第5个数和第6个数的平均数为中位数，即，D正确.故选：AD10.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则下列说法正确的有（）A.过点且平行于的直线的方程为B.直线的方程为C.点的坐标为D.边的垂直平分线的方程为〖答案〗ABC〖解析〗对于A，设过点且平行于的直线的方程为，则，解得，所以过点且平行于的直线的方程为，故A正确；对于B，由题意知，，∵，∴，所以直线的方程为，即，故B正确；对于C，联立，解得，所以点的坐标为，故C正确；对于D，边的中点坐标为，，所以边的垂直平分线的斜率为，所以边的垂直平分线的方程为，即，故D错误.故选：ABC.11.双曲线的左、右焦点分别为，下列说法正确的有（）A.若，则双曲线的离心率为B.若双曲线的渐近线方程为，则C.若双曲线的焦距为为该双曲线上一点，且，则D.若点为双曲线上一点，且，则〖答案〗ABD〖解析〗对A：时，，所以，则，故A正确；对B：由，故B正确；对C：因为，，所以.又，所以点在双曲线的左支上，由，故C错误；对D：为双曲线上一点，则，又，所以，所以.不妨设在第一象限，，（），且，所以，故D正确.故选：ABD12.如图，在直四棱柱中，，，点在以线段为直径的圆上运动，且三点共线，点分别是线段的中点，下列说法中正确的有（）A.存在点，使得平面与平面不垂直B.当直四棱柱的体积最大时，直线与直线垂直C.当时，过点的平面截该四棱柱所得的截面周长为D.当时，过的平面截该四棱柱的外接球，所得截面面积的最小值为〖答案〗BCD〖解析〗对于A，因为AC为直径，所以，又四棱柱为直四棱柱，所以平面ABC，因为平面ABC，所以，因平面，又平面，所以平面平面，A错误；对于B，由上可知，四边形ABCD为矩形，易知，当四边形ABCD的面积S最大时，棱柱的体积最大，记，则，当，即时，，此时四边形ABCD为正方形，，所以，此时四棱柱为正方体，连接，因为平面，平面，所以，由四边形为正方形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，B正确；对于C，由上可知，当时，四棱柱为正方体，取的中点为P，易知，，又，所以四边形为平行四边形，故，所以，所以四点共面，此时，，所以梯形的周长为，C正确；对于D，易知，正方体的外接球球心为正方体的中心，由对称性可知，球心到M，N的距离相等，记过的截面小圆半径为r，球的半径为R，球心到截面距离为d，的中点为Q，则，故当d取得最大值时，r取得最小值，由求得性质可知，当小圆圆心为的中点时d取最大值，易知，所以，所以，所以小圆面积为，D正确.故〖答案〗为：BCD第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡上13.某校高二年级选择“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”组合的学生人数分别为480，40，120和80，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出72人参加一项活动，则“史政生”组合中选出的学生人数为____________.〖答案〗8〖解析〗由题意，，设在“史政生”组合中应选出的学生人数为，则根据按比例分配分层抽样可得，解得.故“史政生”组合中选出的学生人数为.故〖答案〗为：.14.如图所示，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，为的中点，为的中点，则直线与所成角的大小为____________.〖答案〗〖解析〗设的中点为，连接，因为为的中点，所以有，所以是直线与所成的角(或补角),因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以，显然是圆锥的高，因此与底面垂直，在底面中，因为为的中点，所以，于是，因为，所以，故〖答案〗为：15.九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为____________.5〖答案〗〖解析〗由题意九宫格的中间位置填，位置填偶数，位置填奇数，因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于，所以、位置填或，先从中任意选出一个数填入位置，则有个结果，若填，则填，填，填，填，填，填，填；或填，填，填，填，填，填，填；共包含个结果；所以总的结果个数为个其中符合的情况有，，，，，共个，所以.故〖答案〗为：.16.已知椭圆的左、右顶点分别为，动点均在椭圆上，是坐标原点，记和的斜率分别为；与的面积分别为.若，则的最大值为____________.〖答案〗〖解析〗由椭圆的方程可得，不妨设点在第一象限，点在第二象限，设直线的方程为，代入椭圆方程可得，解得（舍去），所以，因为和的斜率，所以，则直线的方程为，代入椭圆方程得，解得（舍去），所以，则，当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，由椭圆及直线的对称性，满足条件时的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.为保障食品安全，某质量监督检验中心从当地海鲜市场的10000条鱼中随机抽取了100条鱼来测量其体内汞的含量，测量指标为：（单位：）.将所得数据分组后，画出了如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值，并估计该样本的中位数；（2）已知当鱼体内汞含量的测量指标超过时，就不符合可食用标准.用样本估计总体，求这一批鱼中约有多少条不符合可食用标准.解：（1）由，解得.因为，所以中位数位于.所以中位数为：.（2）由题意，抽取的100条鱼测量指标超过的频率为.由样本的频率分布，估计10000条鱼中不符合可食用标准有（条）.所以用样本估计总体，这一批鱼中约有500条不符合可食用标准.18.已知为坐标原点，圆为的外接圆.（1）求圆的标准方程；（2）过原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.解：（1）设的外接圆的方程为.均在圆上，解得，所以圆的方程为.所以圆的标准方程为.（2）由（1）知圆心，半径为，因为直线被圆截得的弦长为，所以点到直线的距离为.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，两边同时平方得，解得或.当直线的斜率不存在时，不满足条件.所以直线的方程为或.19.如图，在三棱台中，若面，，空间中两点分别满足.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.解：（1），，由向量共面的充要条件可知，向量共面，又平面，平面；（2）平面，平面..又因为，所以两两互相垂直.以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.于是，则因为，,取平面的一个法向量为.设平面法向量，平面与平面的夹角为，由，得，令，得，则..所以，平面与平面的夹角的余弦值为.20.在平面直角坐标系中，动点与点的距离和它到直线的距离之比是.（1）求动点的轨迹方程；（2）过点的直线与点的轨迹交于两点，与直线交于点，若，求的方程.解：（1）设点，由题意可得：，将上式两边平方，并化简，得，即.故点的轨迹方程为.（2）当直线斜率为0时，由题有，不合题意.当直线斜率不为0时，设，由，得，即，由消去，得化简得，解得或（舍去）.解得.所以，直线的方程为或.21.某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成.如图所示，部件是由元件A与元件组成的串联电路，已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率为，且元件工作是相互独立的.（1）求部件正常工作的概率；（2）为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大.已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的.现设计以下三种方案：方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；方案二：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；方案三：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联.则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？解：（1）记事件分别表示元件正常工作，则，事件表示正常工作，由元件工作是相互独立的.则.（2）设方案一、二、三正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为元件，记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则.事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立，则.所以；同理得：；.又因为，，所以选择方案三可以使部件正常工作的概率最大.22.已知抛物线上一点到焦点的距离为