四川省宜宾市屏山县2023-2024学年高二上学期期末数学试题（解析版）

PAGEPAGE1四川省宜宾市屏山县2023-2024学年高二上学期期末数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设直线的倾斜角为，，直线可化为，所以直线的斜率，，故选：D．2.抛掷一个骰子，将得到的点数记为，则，4，5能够构成三角形的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知，抛掷一个骰子，得到的点数可能为1，2，3，4，5，6，基本事件的总数为6，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可知，故，4，5能够构成三角形的取值可以为2，3，4，5，6共5种可能，根据古典概型概率公式，所以，4，5能够构成三角形的概率是为.故选：A3.双曲线的一个顶点为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是（）A. B.C D.〖答案〗C〖解析〗由双曲线的一个顶点为，可知双曲线的焦点在轴上，设双曲线标准方程为：，则，则渐近线方程为，即，由于，则焦点到渐近线的距离为：，所以所求双曲线的标准方程为.故选：C.4.设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（）A.7 B.12 C.15 D.31〖答案〗C〖解析〗设公比为，因为，，成等差数列，所以，则，解得：或0（舍去）.因为，所以，故.故选：C5.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗因为直线与直线平行的充要条件是且，解得或．所以由充分必要条件的概念判断可知：“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件，故选：A6.2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（）．参考数据：A.17.9万亿 B.19.1万亿 C.20.3万亿 D.21.6万亿〖答案〗B〖解析〗依题意，从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列，其中，公比，所以2022年进出口累计总额为（万亿）.故选：B7.如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（

）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗连接，是的中点，，，.故选：B8.已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，由椭圆的性质，可得.过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，.等于的最小值的3倍，.椭圆中，，即，则.，，解得或（舍）.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知曲线，，则（）A.的长轴长为4 B.的渐近线方程为C.与的焦点坐标相同 D.与的离心率互为倒数〖答案〗BD〖解析〗由，即为：，故焦点在轴上，长轴长为，故A错误；焦点坐标为，离心率为，对，渐近线方程为，故B正确；焦点坐标为，与的焦点坐标不相同，故C错误；离心率为，与的离心率互为倒数，故D正确.故选：BD.10.已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是（）A.数列是递增数列 B.C.当取得最大值时， D.〖答案〗ABC〖解析〗等差数列的前项和为，，所以，，所以，所以且，所以等差数列是递减数列，且当时，取得最大值．故D正确，ABC错误．故选：ABC．11.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，AB的中点，则下列结论正确的是（）A.点B到直线的距离为B.直线CF到平面的距离为C.直线与平面所成角的余弦值为D.直线与直线所成角的余弦值为〖答案〗ABD〖解析〗在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，,2,，,0,，,2,，,2,，,2,，则点到直线的距离为：，故A正确；,0,，,1,，,1,，,2,，,,，,1,，,2,，,1,，设平面的法向量,,，则，取，得,2,，由于分别为的中点，所以且，因此四边形为平行四边形，故,又平面,平面,所以平面，直线到平面的距离为，故B正确；设直线与平面所成角为，则，故C错误；,2,，,,，设直线与直线所成角为，则，故D正确．故选：ABD．12.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详析九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（）A. B.C.， D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，，A正确；对于B，由每层球数变化规律可知：，B错误；对于C，当时，；当时，满足，；，C正确；对于D，，，D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知数列、是等差数列，其中且，那么______．〖答案〗〖解析〗由数列、是等差数列可得：，.因为，，所以，，所以.故〖答案〗为：14.已知直线与圆相交于两点，则__________.〖答案〗4〖解析〗设圆心到直线的距离为，因为，所以.故〖答案〗为：4.15.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．〖答案〗4.5〖解析〗如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，将代入，得，所以．设，代入，得．所以拱桥到水面的距离为．故〖答案〗为：4.5.16.从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与C反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点发出，经C两次反射后又回到了点，历时秒．若CS的离心率之比为，则______．〖答案〗6〖解析〗在图①中，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得，两式相减得，所以的周长为，在图②中，的周长为，因为光速相同，因为C与S的离心率之比为，即，所以.故〖答案〗为：6.四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知的顶点坐标为，，.（1）求边上的高的长.（2）求的面积.解：（1）由题意，直线的方程为：，即.故点到直线的距离即为边上的高的长，所以（2）因为，所以的面积为：.18.等差数列前项和为.已知且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）设等差数列的公差为，由,则，解得则；（2）由（1）得则19.数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的值和第25百分位数；（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在内的概率．解：（1）,因为第一组的频率为，，第二组的频率为，，所以第25百分位数在第二组，设为，则，所以第25百分位数为30.（2）年龄在的市民人数为，年龄在的市民人数为，用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，年龄在的人数为人，设年龄在的4人为，，，，年龄在的2人为，，从这6为市民中抽取两名的样本事件为，共15种，其中2名年龄都在内的样本事件有种，所以两名幸运市民年龄都在内的概率为．20.已知数列的前n项和．（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为等差数列，求数列的前n项和．解：（1）因为，当时，，所以，当时，，又，解得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故（2）因为，所以，，，，所以，所以21.如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.（1）证明：平面平面；（2）当时，求二面角余弦值.解：（1）因为底面，平面，所以.四边形是直角梯形，，，因为，所以.所以，所以.又因为，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解法一：以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设点的坐标为，因为，所以，即，所以.所以.设平面的一个法向量为，则，取，则，得.又因为平面，所以平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则.所以，二面角的余弦值为.解法二：取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设点的坐标为，因为，所以，即，所以.所以.设平面的一个法向量为，则.取，则，则.又因为平面，所以平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则.所以二面角的余弦值为22.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且线段的中点为，该抛物线的焦点到准线的距离不大于3.（1）求抛物线