四川省雅安市2024届高三零诊考试数学试题（文）（解析版）

PAGEPAGE1四川省雅安市2024届高三零诊考试数学试题（文）一､选择题1.设表示有限集合A中元素的个数.则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗因为，又，所以，故，故则是的充要条件.故选：C.2.已知复数，则的共轭复数是（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以共轭复数.故选：B.3.等于（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗.故选：B.4.已知函数，则函数的零点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗设，设，则.又，所以1是函数的一个零点；因，，所以，.又，，所以，.根据零点的存在定理，可知，，使得，即是函数的一个零点；因为，，所以，.又，，所以，.根据零点的存在定理，可知，，使得，即是函数的一个零点.结合函数图象以及的增长速度可知，当或时，函数没有零点.综上所述，函数的零点为1，，，共3个零点.故选：C.5.下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（）A.样本的平均数 B.样本的中位数C.样本的众数 D.样本的标准差〖答案〗D〖解析〗由题意，平均数、众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋势.一般地,对数值型数据集中趋势的描述,可以用平均数和中位数,对分类型数据集中趋势的描述,可以用众数.方差、标准差和极差均是度量样本数据离散程度的数字特征.故选：D.6.设，则的大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗易知.故选：B.7.在等比数列中，若，，则等于（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗等比数列，若，则或，验证不成立；故，，，两式相除得到，即，.故选：D.8.已知函数的定义域为恒成立.当时,,则不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以关于对称，所以，因为，所以，因为，，故在上单调递增，所以在上单调递减，因为，，所以，当时，，结合单调性可知，当时，，结合单调性可知，故的解集为.故选：A9.已知函数，下列结论中：①当时，的最小值为3；②函数是奇函数；③函数的图象关于点对称；④是图象的一条切线，正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗①当时，,,当且仅当即时等号成立，所以最小值是3，正确；②函数，记，其定义域是，，因此是奇函数，正确；③的图象关于原点对称，把它向右平移一个单位，再向上平移一个单位得的图象，因此的图象关于点对称，正确；④，由得或，，，因此直线和都是函数图象的切线，④正确，故选：D．10.已知函数（且），设T为函数的最小正周期，，若在区间有且只有三个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知为函数的最小正周期，故，由得，即，由于，故，在区间有且只有三个零点，故，且由于在上使得的x的值依次为，故，解得，即，故选：D11.质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，当和从圆与轴正半轴的交点同时出发，且点的角速度是点的角速度大小的2倍.当点第一次运动到射线与圆的交点时，点运动到点处，此时等于（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示，设，因为射线的方程为，可得，因为，所以，所以点，则，因为点的角速度是点的角速度大小的2倍，可得，则，所以点，则，又由，设，即，所以，，即.故选：C.12.已知函数,设,则等于（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，，，，.故选：B.二､填空题13.写出一个最小正周期为1的偶函数______．〖答案〗〖解析〗因为函数的周期为，所以函数的周期为1.故〖答案〗为：.（〖答案〗不唯一）14.执行如图中的程序框图，如果输入的，则输出的所在区间是________．〖答案〗〖解析〗该程序框图的功能是求的值域，当时，；当时，；所以输出的所在区间是.故〖答案〗为：.15.已知，若，则的最小值为___________.〖答案〗1〖解析〗由已知，则，得，，则，设，，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，，所以的最小值为.故〖答案〗为：1.16.已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则的最小值为___________.〖答案〗〖解析〗是偶函数，所以，是奇函数，所以，两式联立解得，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，因此最小值是．故〖答案〗为：．三､解答题（一）必考题17.在圆的内接四边形中，.（1）求的长和的大小；（2）求四边形的面积和圆的面积.解：（1）在四边形中，四点共圆，则与互补，且为锐角.设，则，故，如图所示：在中，由余弦定理，得，即--①，在中，由余弦定理，得，即--②，由①和②解之得，，为锐角所以；（2）由，知，四边形的面积等于与面积之和，故在中，由正弦定理得，（设为的半径），所以，故，所以圆的面积为.18.“一带一路”是促进各国共同发展，实现共同繁荣的合作共赢之路.为了了解我国与某国在“一带一路”合作中两国的贸易量情况，随机抽查了100天进口贸易量与出口贸易量（单位：亿人民币/天）得下表：进口出口3218468123710（1）估计事件“我国与该国贸易中，一天的进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿人民币”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的列联表：进口出口（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为“我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量”有关？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）由题中表中的信息可知，在100天中，进口贸易与出口贸易均不超过100的天数为，用频率估计概率，可得所求概率为.（2）列出列联表如下：进口出口64161010（3）由（2）得，所以有99%的把握认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关.19.已知函数在时有极小值.曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.解：（1）由题意，，在中，，在时有极小值.曲线在点处的切线方程为.∴即，，，当时，在上单调递增.当时，在上单调递减.当时，在时有极小值.故符合题意，即为所求.（2）由题意及（1）得，，在中，，即对任意实数恒成立，设，则.当时，，则，故在上单调递增；当时，，则，故在上单调递减；当时，，则，故时有极小值，也就是的最小值，故即为所求.20.已知各项均为正数的数列中，是等差数列，是等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）在等差数列中，首项为，设公差为.则，则，在等比数列中，首项，设公比为则，则，当和时，有，解得或，当时，，则当时，，与矛盾，舍去，当时，恒成立，满足要求，故（2），①，②由①-②得：，.21.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围.解：（1）因，所以.因为，当，即时，，当，即时，，所以在上单调递增，在上单调递减.所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是（2）由（1）知，因为，所以，所以，由题意在上有两个不等实根，即有两个实根且在每个实根两侧的符号不同.设，则，令，得，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.所以，，，所以当时，在上有两个实根.即的取值范围为.（二）选考题【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（2）将曲线的极坐标方程化为直角坐标系方程，并指出它的曲线类型.解：（1）消去参数，得，所以是以为圆心，为半径的圆.将代入其中，则得，整理得这就是的极坐标方程.（2）由曲线的极坐标方程，得，，即，这就是曲线的直角坐标系方程，它表示以为圆心，以2为半径的圆.【选修4-5：不等式选讲】