上海市嘉定区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

PAGEPAGE1上海市嘉定区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前6题每题得4分，后6题每题得5分．1.已知集合，，则___________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以.故〖答案〗为：.2.将化为有理数指数幂的形式为__________．〖答案〗〖解析〗由题意可得：.故〖答案〗为：.3.若，则=__________.〖答案〗2〖解析〗由于，所以.故〖答案〗为：.4.已知，用表示____________.〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：.5.已知角的终边经过点，则=__________.〖答案〗〖解析〗因为角的终边经过点，所以，又.故〖答案〗为：.6.已知函数是偶函数，则实数为___________.〖答案〗1.〖解析〗，因为是偶函数，，所以，即.故〖答案〗为：.7.已知，则函数的最大值为_________.〖答案〗4〖解析〗因为，当且仅当，即时等号成立，所以函数最大值为4.故〖答案〗为：4.8.已知，关于的不等式的解集为，则=________.(用表示)〖答案〗〖解析〗因为，关于的不等式的解集为，所以且，3是一元二次方程的两个根，由韦达定理得到，即，所以.故〖答案〗为：.9.若，则的最小值为___________.〖答案〗7〖解析〗因为，所以，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为.故〖答案〗为：.10.已知在上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗因为在上是关于x的减函数，而是增函数，所以由复合函数单调性可知，为上的减函数，故，解得.故〖答案〗为：.11.已知函数的值域为，则实数的取值范围是_________．〖答案〗〖解析〗当时，在上单调递增，所以时，；当时，，①若，则上单调递增，在上单调递减，则时，，即时，，又时，，此时，函数的值域为，不满足题意，舍去；②当时，函数此时值域为，不满足题意，舍去；③当时，在上单调递减，则时，，即时，，因为函数的值域为，又时，；则时，且，不等式，解得：，不等式等价于时，，设（），因为在上单调递增，在上是增函数，所以在上单调递增，又，所以时，等价于，即，则不等式，解得：，所以时，解集为，综上：实数的取值范围是.故〖答案〗为：.12.已知函数若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______________．〖答案〗〖解析〗法1：当时，．因为，而，当且仅当，即时，等号成立，所以的取值范围是，由题意及函数的图像与性质可得，或，如上图所示，解得或，所以所求实数的取值范围是．法2：当时，，即，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的取值范围是；当时，（1）若，则（），它是增函数，此时的取值范围是，由题意可得，解得，又，所以；（2）若，则，函数在上是增函数，此时的取值范围是；而函数在上是减函数，此时的取值范围是，由题意可得，解得，又，所以，综上，所求实数的取值范围是．故〖答案〗为：[-1,5).二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题选对得5分.13.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与〖答案〗C〖解析〗A选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数；B选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数；C选项，，定义域、值域、和对应关系完全相同，是相同函数，C选项正确；D选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.故选：C.14.已知，则的值()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D.15.设集合，，，其中，给出下列两个命题：命题：对任意的，是的子集；命题：对任意的，不是的子集．下列说法正确的是（）A.命题是真命题，命题是假命题B.命题是假命题，命题是真命题C.命题、都是真命题D.命题、都是假命题〖答案〗A〖解析〗由于，即时，一定成立，故是的子集，因此命题是真命题，令，；令，.从而可知，当时，，此时，是的子集，故命题是假命题.故选：A.16.已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则必有且同时成立，即图象夹在和之间，易知，函数的图象大致如图，结合图形可知的整数解只有两个，则其中一个为，另一个为，所以，且，解得.故选：B.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.设全集为，集合，集合.（1）若，求集合；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以，所以，解得，所以，又因为，所以，所以，所以，所以.（2）因为，所以，所以，又因为，且即，所以，所以，所以实数的取值范围是.18.已知，并且是第二象限角．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，且是第二象限角，则，所以.（2）由（1）知，，所以.19.某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益。该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求:①奖金(单位:万元)随投资收益(单位:万元)的增加而增加；②奖金不低于10万元且不超过200万元；③奖金不超过投资收益的20%.（1）设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为:“f(x)恒成立”请你用数学语言表述另外两条奖励方案；（2）已知函数，其中符合公司奖励方案函数模型要求.在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取多少奖金?解：（1）“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加”可以表述为：当时，是的增函数；“奖金不低于10万元且不超过200万元”表述为：函数值.（2）因为函数符合公司奖励方案函数模型要求，则函数在上增函数，有，，，解得，由，不等式恒成立，得，显然，，当且仅当，即时取等号，于是，解得，从而，因此当，时，，当且仅当且时取等号，且，所以在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取195万元奖金.20.已知定义在上的奇函数的表达式为(且).（1）求实数的值；（2）判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围；（3）已知，若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围.解：（1）因为定义在上的奇函数的表达式为(且)，所以，得，此时，则符合题意，所以实数的值为3.（2）在单调递增，证明如下：任取，且，则，因为，且，所以，所以，所以在单调递增；由，即，因为是定义在上的奇函数，所以，因为在单调递增，所以，所以存在，使得成立，因为对称轴为，所以当时，取得最小值，所以，即实数的取值范围为.（3）由题意得，令，即，令，则在有两个不相等的实根，所以，解得，所以实数的取值范围为.21.对于定义域为R的函数，定义，设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当时，总有，则称是的“函数”.（1）判断函数，是否存在“函数”，并说明理由；（2）若非常值函数，是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得；（3）若函数与函数的定义域都是，且均存在“函数”，求实数的取值范围.解：（1）因为，当；当，故，则该函数不存在“函数”.（2）充分性：若，则任取时，总有，所以存