微积分基本公式与计算

微积分基本公式与计算2024-01-27目录CONTENTS微分学基本概念与公式积分学基本概念与公式微分方程基本概念与解法泰勒公式与幂级数展开多元函数微分学与重积分无穷级数收敛性判断及求和技巧01CHAPTER微分学基本概念与公式VS设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$Deltax$（点$x_0+Deltax$仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。几何意义函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率。导数定义导数定义及几何意义幂函数$(x^n)'=nx^{n-1}$对数函数$(lnx)'=frac{1}{x}$反三角函数$(arcsinx)'=frac{1}{sqrt{1-x^2}},(arccosx)'=-frac{1}{sqrt{1-x^2}},(arctanx)'=frac{1}{1+x^2}$常数函数$(C)'=0$指数函数$(e^x)'=e^x$三角函数$(sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinx,(tanx)'=sec^2x$010203040506常见函数导数公式二阶导数如果函数$y=f(x)$的导数$f'(x)$在点$x_0$处仍可导，则称$f'(x)$在点$x_0$处的导数为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的二阶导数，记作$f''(x_0)$。高阶导数一般地，如果函数$y=f(x)$的$n-1$阶导数在点$x_0$处仍可导，则称这个导数为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的$n$阶导数，记作$f^{(n)}(x_0)$。高阶导数计算隐函数与参数方程求导隐函数求导：如果变量$x$和$y$满足一个方程$F(x,y)=0$，在一定条件下，我们可以从这个方程中解出$y=f(x)$，称这种方式表示的函数为隐函数。对隐函数求导时，需要对方程两边同时关于自变量求导，然后解出所需的导数。隐函数与参数方程求导$begin{cases}x=varphi(t)隐函数与参数方程求导y=psi(t)end{cases}$确定，其中$varphi(t)$和$psi(t)$都可导，并且$varphi'(t)neq0$，则根据链式法则和复合函数的求导法则，可以求出$frac{dy}{dx}$。隐函数与参数方程求导02CHAPTER积分学基本概念与公式定积分设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，将区间$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间的长度记为$Deltax_i$，在每个小区间上任取一点$xi_i$，作和式$sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Deltax_i$。当$n$趋于无穷大，且小区间的最大长度趋于零时，该和式的极限值称为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，记作$int_{a}^{b}f(x)dx$。要点一要点二不定积分设函数$F(x)$的导数为$f(x)$，则称$F(x)$为$f(x)$的一个原函数。$f(x)$的所有原函数构成的集合称为$f(x)$的不定积分，记作$intf(x)dx=F(x)+C$，其中$C$为任意常数。定积分与不定积分定义对数函数$intlnxdx=xlnx-x+C$幂函数$intx^ndx=frac{1}{n+1}x^{n+1}+Cquad(nneq-1)$指数函数$inte^xdx=e^x+C$三角函数$intsinxdx=-cosx+C,quadintcosxdx=sinx+C$反三角函数$intarcsinxdx=xarcsinx+sqrt{1-x^2}+C$常见函数积分公式03乘法法则$intudv=uv-intvdu$01线性性质$int[af(x)+bg(x)]dx=aintf(x)dx+bintg(x)dx$02积分区间可加性$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{c}^{b}f(x)dx$积分性质及运算法则通过变量代换简化积分运算。常见的方法有三角代换、根式代换等。例如，对于含有$sqrt{a^2-x^2}$的积分，可通过三角代换$x=asint$或$x=acost$将其转化为三角函数积分。换元法适用于被积函数是两个函数乘积的情况。设$u=u(x),v=v(x)$均可导，则$intudv=uv-intvdu$。通过选取合适的$u$和$dv$，使得新的积分更容易求解。分部积分法换元法与分部积分法03CHAPTER微分方程基本概念与解法求解一阶线性微分方程的通解公式$y=e^{-intp(x)dx}(intq(x)e^{intp(x)dx}dx+C)$初始条件求解特解通过给定的初始条件$y(x_0)=y_0$，代入通解公式求解常数$C$一阶线性微分方程的标准形式$y'+p(x)y=q(x)$一阶线性微分方程解法对两边同时积分，得到$intfrac{dy}{g(y)}=intf(x)dx$求解可分离变量微分方程的步骤可分离变量微分方程的标准形式：$frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$将方程改写为$frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$解出$y$关于$x$的表达式可分离变量微分方程解法0103020405齐次方程的标准形式：$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$齐次方程及伯努利方程解法齐次方程及伯努利方程解法求解齐次方程的步骤02作变量替换$u=frac{y}{x}$，将方程转化为关于$u$和$x$的方程03解出$u$关于$x$的表达式，再回代求出$y$关于$x$的表达式01伯努利方程的标准形式：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n$（$neq0,1$）齐次方程及伯努利方程解法求解伯努利方程的步骤利用一阶线性微分方程的解法求解$z$关于$x$的表达式回代求出$y$关于$x$的表达式作变量替换$z=y^{1-n}$，将方程转化为关于$z$和$x$的一阶线性微分方程齐次方程及伯努利方程解法求解高阶线性微分方程的步骤寻找对应的齐次方程$y''+p(x)y'+q(x)y=0$的通解$Y(x)$通解为非齐次方程的通解$Y(x)$加上特解$y*(x)$利用常数变易法或待定系数法求解非齐次方程的特解$y*(x)$高阶线性微分方程的标准形式：$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$高阶线性微分方程解法04CHAPTER泰勒公式与幂级数展开泰勒公式定义泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，它将一个函数在某点的值表示为该点处的各阶导数与对应的幂次乘积之和。泰勒公式的意义通过泰勒公式，我们可以将一个复杂的函数用多项式来近似表示，从而简化函数的计算和分析过程。同时，泰勒公式也是研究函数性质的重要工具，如函数的单调性、极值、拐点等。泰勒公式及其意义指数函数$e^x=sum_{n=0}^{infty}frac{x^n}{n!}$正弦函数$sinx=sum_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$余弦函数$cosx=sum_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$对数函数$ln(1+x)=sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n$（$|x|<1$）常见函数幂级数展开式幂级数性质及运算规则幂级数的性质幂级数具有连续性、可导性、可积性等良好性质，这些性质使得幂级数在微积分学中具有广泛的应用。幂级数的运算规则幂级数的运算包括加法、减法、乘法、除法等，这些运算规则与多项式的运算规则类似。同时，幂级数还可以进行逐项求导和逐项积分等运算。阿贝尔判别法若数列${a_n}$单调有界，且数列${b_n}$单调收敛于0，则级数$sum_{n=1}^{infty}a_nb_n$收敛。若数列${a_n}$单调递减且趋于0，且数列${b_n}$的部分和数列有界，则级数$sum_{n=1}^{infty}a_nb_n$收敛。若存在正整数$N$和常数$C$，使得当$n>N$时，有$|a_n|leqC|b_n|$，且级数$sum_{n=1}^{infty}b_n$收敛，则级数$sum_{n=1}^{infty}a_n$也收敛。若对任意正整数$n$，都有$sqrt[n]{left|a_1a_2cdotsa_nright|}leqM$（$M$为常数），则级数$sum_{n=1}^{infty}a_n$收敛。狄利克雷判别法比较判别法柯西判别法函数项级数收敛性判别法05CHAPTER多元函数微分学与重积分多元函数极限与连续性010203多元函数连续性的定义与判定多元函数在一点连续与间断的判定方法多元函数极限的定义与性质偏导数计算法则及应用一阶偏导数的定义与计算隐函数的偏导数计算高阶偏导数的定义与计算偏导数在几何与物理中的应用01020304全微分的定义与性质全微分存在的条件与判定全微分的计算方法全微分在近似计算中的应用全微分概念及计算方法二重积分计算技巧二重积分的计算方法与技巧二重积分在几何与物理中的应用二重积分的定义与性质极坐标系下二重积分的计算06CHAPTER无穷级数收敛性判断及求和技巧比较判别法通过比较级数与已知收敛或发散级数的大小关系来判断其收敛性。比值判别法利用级数相邻两项之比的极限值来判断级数收敛性。根值判别法通过求级数各项绝对值的n次方根的极限来判断级数收敛性。常数项级数收敛性判断方法收敛半径的确定利用比值判别法或根值判别法求出幂级数的收敛半径。收敛域的确定根据幂级数的定义，结合收敛半径，确定幂级数的收敛域。幂级数收敛半径和收敛域确定01通过构造正项级数并判断其收敛性，进而判断函数项级数的一致收敛性。WeierstrassM判别法02利用部分和序列的单调性和有界性来判断函数项级数的一致收敛性。Dirichle